江蘇省啟東折桂中學(xué)(226200) 陳建超

江蘇省啟東市大江中學(xué)(226215) 李衛(wèi)星

反比例函數(shù)的定義中,形如y=(k≠0)的函數(shù)則稱y是x的反比例函數(shù).定義中的解析式則顯露出了一切,k是圖像任意一點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的乘積,這是代數(shù)意義;而|k|是此點(diǎn)與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的面積,這是幾何意義.數(shù)有數(shù)的好處,形有形的妙處,如若能挖掘其中數(shù)與形的關(guān)系并恰當(dāng)?shù)乩?則能為后續(xù)教育教學(xué)提供簡(jiǎn)潔有力的技巧和方法.

1 不期而遇

案例1如圖1,?OAC的頂點(diǎn)A在雙曲線y=上,點(diǎn)C在x軸上,直線AC與雙曲線y=只有唯一公共點(diǎn),且AC與y軸不平行,則S?OAC=____.

圖1

此題是以反比例函數(shù)為背景求解面積的問(wèn)題.求解三角形的面積無(wú)非利用底乘高或者進(jìn)行面積比例的轉(zhuǎn)化,在直角坐標(biāo)系的大背景中,自然地想到設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)解方程解題,設(shè)出A(a,),關(guān)注AC與雙曲線y=只有唯一公共點(diǎn)可以利用“?”法或求導(dǎo)法.①設(shè)AC:y=kx+?ak與雙曲線y=聯(lián)立解公共點(diǎn)得方程kx2+(?ak)x?9=0,只有一個(gè)公共點(diǎn)則?=(?ak)2+36k=0?k=?易得出C(2a,0),此時(shí)AC兩點(diǎn)的坐標(biāo)都求出了則S?OAC=②直線AC與雙曲線y=只有唯一公共點(diǎn)即相切,聯(lián)想到求雙曲線在A點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)y′=也就是直線AC的解析式斜率,后面的解法就與上述類同.

從上述解法可以看出,殊途難歸難在參數(shù)很多、十分繁瑣,那是否有什么方法能夠?qū)⑵洹懊霘ⅰ蹦? 回歸反比例函數(shù)的本質(zhì)y=,k的意義是雙曲線上的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的面積為|k|,不難發(fā)現(xiàn)結(jié)果和這個(gè)k一樣,兩者有何聯(lián)系嗎?“k”實(shí)際就是圖2中OB·AB=9,那么易得出2OB=OC,則看出三線合一,那么?OAC是等腰三角形.這種是y=的特殊情況下,當(dāng)比例系數(shù)為k又如何? 結(jié)論是否一致呢? 當(dāng)雙曲線的解析式為y=時(shí),因?yàn)锳C與雙曲線相切,通過(guò)函數(shù)解析法求解得出xA=2xC,可以發(fā)現(xiàn)在?OAC中三線合一,?OAC是等腰三角形.

圖2

設(shè)計(jì)意圖在解決這幅直觀上十分簡(jiǎn)單的圖形所生成的題目時(shí),運(yùn)用解析法是一定能夠解出的,但是可以發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程中參數(shù)設(shè)得雜而多,十分繁瑣.那么一個(gè)如此簡(jiǎn)單的基本函數(shù)模型就一定要用解析式法解決嗎,還有更加簡(jiǎn)便的方法呢?

2 入木三分

上述案例不經(jīng)意間生成了一個(gè)等腰三角形,為什么在雙曲線與直線坐標(biāo)軸能總是形成等腰三角形? 要想吃透這一數(shù)學(xué)性質(zhì),就要明白題目的生成,且看:

案例2如圖3,直線y=mx交雙曲線y=于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),直線PA,PB分別交x軸于M,N兩點(diǎn),求證:PM=PN.

圖3

抓住題中細(xì)節(jié),給出了兩個(gè)解析式便引導(dǎo)我們從以解析式的角度解決問(wèn)題.解析法:A點(diǎn)是一個(gè)特殊的交點(diǎn),設(shè)A(a,),由于圖形的對(duì)稱性,B(?a,?),P是雙曲線上的任意一點(diǎn),不妨再設(shè)出一個(gè)未知數(shù),以不變應(yīng)萬(wàn)變,P(b,),已知A點(diǎn)與P點(diǎn)的坐標(biāo)可得lP A解析式y(tǒng)=同理lP B:y=分別令y=0 得出xM=b+a,xN=b?a,即得出xM+xN=2xP,得證PM=PN.

在不同的題目中發(fā)現(xiàn)都有類同情況的等腰三角形,他們之間有何聯(lián)系嗎? 看下圖

不難發(fā)現(xiàn)在P、A兩點(diǎn)的不斷變換的過(guò)程中?PMN永遠(yuǎn)是等腰三角形,然而當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合的時(shí)候也就是部分“殊途同歸”之時(shí),這不就是案例1 中的原題再現(xiàn)嗎? 也就是兩個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到特殊情況下形成了案例1,此時(shí)也是達(dá)到了部分同歸即案例基礎(chǔ)就是這個(gè)特殊情況.從雙曲線的k的幾何意義是一個(gè)矩形面積逐步生成等腰三角形,在直線與坐標(biāo)軸相交的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)隱藏的直角三角形斜邊的中線,從特殊情形到一般情形,層層遞進(jìn)、雙向可逆.

設(shè)計(jì)意圖教學(xué)過(guò)程中需要教會(huì)學(xué)生能透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì),從特殊現(xiàn)象思考到一般現(xiàn)象.不難發(fā)現(xiàn)解析式法的參數(shù)比上面的案例1 更多了,學(xué)生在利用這種解法時(shí)往往會(huì)因?yàn)閰?shù)雜多而失去了推演的動(dòng)力,結(jié)果也只會(huì)不了了之,解析法只是單純利用坐標(biāo)的代數(shù)關(guān)系,并未利用到雙曲線的本質(zhì),即萬(wàn)變不離其宗的“k”的意義.上述過(guò)程中都有等腰三角形的生成,幾何方法在這里是否能用呢? 在這里想嘗試運(yùn)用直觀的幾何解法可計(jì)無(wú)所出,無(wú)法找出連接點(diǎn),從而導(dǎo)致殊途難歸.

3 苦心追求

在追求以“k”的性質(zhì)將解題由抽象代數(shù)函數(shù)簡(jiǎn)化成直觀的幾何法時(shí),首先明白雙曲線是一個(gè)具有視覺(jué)詩(shī)意化的圖形,他是具有對(duì)稱性的,有一種規(guī)則美感.都說(shuō)大道無(wú)形,可有時(shí)往往會(huì)表現(xiàn)出規(guī)則的形狀,雙曲線即是體現(xiàn)了這一點(diǎn).而圖形是在以x、y軸為漸近線的正中間,可以理解成曲線的“中點(diǎn)”(如下圖4的弧BC中點(diǎn))與原點(diǎn)是整幅圖形的對(duì)稱中心.等腰三角形也是一左右對(duì)稱的圖形,由于對(duì)稱這一性質(zhì),那雙曲線與坐標(biāo)軸又有何關(guān)于對(duì)稱而產(chǎn)生的聯(lián)系呢?

圖4

案例3在如圖4的雙曲線的的背景下,直線AD交雙曲線y=于B、C兩點(diǎn),求證AB=CD.在雙曲線上,∵xB·yB=xC·yC=k,∴BE·化簡(jiǎn)得出AB=CD.

這種方法也只是利用了一下k的性質(zhì),解法也只是代數(shù)式,那么究竟如何追求到用純粹的幾何求解呢?

在圖4中是否可以證明EF//AD? 放眼三角形中,S?EBF=S?EBG,S?CF E=S?F CH,可以得出他們的面積均為然而這兩個(gè)三角形都有相同的底EF,得出AD//EF,同理如下圖,連接HG、BH、CG,S?BHG=S?HGC=易得出HG//AD,放小了看直接得出四邊形ABGH與四邊形CDGH都是平行四邊形,那么就得到AB=HG=CD.這邊也就是用到了k的性質(zhì)得出的面積不變.

設(shè)計(jì)意圖在這里可以看出,解決這個(gè)問(wèn)題的核心是“k”的性質(zhì),通過(guò)“k”與構(gòu)造相似三角形以比例方程得出任意一條直線交雙曲線同側(cè)的兩點(diǎn)及坐標(biāo)軸的兩點(diǎn),就近的兩點(diǎn)的距離是相等的,也就是圖中的AB=CD.可以發(fā)現(xiàn)AB與CD就是上述所說(shuō)以原點(diǎn)與雙曲線“中點(diǎn)”為中心的對(duì)稱線段,在以對(duì)稱圖形為背景中的線段也是有一定規(guī)律可循的.在等腰三角形中是鄰邊相等而在這AB=CD也可以看作鄰邊相等,那么,兩者之間的聯(lián)系究竟如何? 能否為幾何法解題提供幫助呢?

4 終成正果

案例2 幾何法

觀察圖5與案例2 可謂是換湯不換藥,題目中求解的PM=PN,實(shí)際上就是BF=BD,那么已知上述證得AB=CD,該如何求解呢? 又如何求得BF=BD的關(guān)系呢? 顯然要證得?BFD是一個(gè)等腰三角形,證明等腰三角形的方法有證明角相等、證明邊相等、證明三線合一,可是放眼望去在這里面不是很好得出.試著用結(jié)論的角度反推,若?BFD是等腰三角形,還能發(fā)現(xiàn)什么? 在這時(shí)我們的視角就不能僅僅局限于?BFD,放眼望去在?CBE中又能推出什么結(jié)論呢,做BC的中點(diǎn)連接OH,可以發(fā)現(xiàn)OH是?CBE斜邊BE的中位線,即OH//BF.轉(zhuǎn)向?BFD中又可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形相似,一個(gè)套一個(gè)地相似,若結(jié)論BF=BD成立,那么OH=DH也一定成立,如何證明,這時(shí)候我們的慣性思維就往往定格在了下面的兩個(gè)三角形上而無(wú)法關(guān)注到直角坐標(biāo)系本身是一個(gè)直角三角形,在Rt?AOD中很清楚地看出,OH是斜邊AD上的中線,易得出OH=HD進(jìn)而推出BF=BD,那么案例2 的結(jié)論就得出了.

圖5

情境對(duì)比案例1 和2 都是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),聯(lián)系k的性質(zhì)進(jìn)而闡述開(kāi)的一系列問(wèn)題.可以說(shuō)圖1是圖5的特殊情況,因?yàn)閳D5中的AD直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)他與雙曲線相切也就是只有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的時(shí)候就是上述的特殊情況了.而不難發(fā)現(xiàn)圖1的OA=OC,也就是圖5中BE經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的情況下所產(chǎn)生,所以這是動(dòng)點(diǎn)的特殊狀態(tài),是兩個(gè)關(guān)于雙曲線對(duì)稱的點(diǎn)“合二為一、殊途同歸”的結(jié)果.如圖6到圖8的演變過(guò)程.

圖6

圖7

圖8

這就是從圖形一般到特殊再到一般的過(guò)程,在變化的過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)雙曲線上特定的點(diǎn)與x軸所構(gòu)成的三角形都是等腰三角形,OH是隱藏的中線.但由于雙曲線有著對(duì)稱性,在y軸上形成的三角形也有著等腰三角形.從演變的過(guò)程體現(xiàn)出特殊與一般的變化美,雙曲線的對(duì)稱美,構(gòu)成定律的法則美.

設(shè)計(jì)意圖教給學(xué)生最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)本質(zhì),每種題目都有起源地,尤其是基本概念與基本性質(zhì),但述其根源還是最原始的定義.此題的核心就是反比例函數(shù)“k”所具備的性質(zhì).讓學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的藝術(shù),在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中開(kāi)拓自己的思維,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

5 教學(xué)目的

5.1 教育教學(xué)首先是人的教學(xué)

加里寧曾說(shuō)“很多教師常常忘記他們應(yīng)該是教育家,而教育家也就是人類靈魂工程師.”教師教學(xué)是有價(jià)值有意義的,不僅僅只是教會(huì)學(xué)生解幾道題、掌握一定技巧方法,而是從中學(xué)會(huì)做人的道理,通過(guò)克服困難、解決問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的毅力以及頑強(qiáng)拼搏的信心,使其從不會(huì)解到突破思維慣性障礙.追求用k的性質(zhì)解題就是這種咬定青山不放松的努力,教師應(yīng)幫助學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀作為執(zhí)教理念,從而真正成為人類靈魂的工程師.在這里從學(xué)生的思維出發(fā),對(duì)于解析法如何從令學(xué)生繁瑣的多參數(shù)變成單參數(shù),從由k產(chǎn)生的代數(shù)變成純幾何法,都需要教師的精準(zhǔn)提煉,不僅教會(huì)學(xué)生此題如何解,更是教學(xué)生如何明白解題的目的.

對(duì)于學(xué)生個(gè)體而言,價(jià)值觀的教育是培養(yǎng)其成為一個(gè)人,成為一個(gè)更好的自己.孔子早就談過(guò)人的四種基本素質(zhì)“興、觀、群、怨”,興,激發(fā)人的生命力,在這具體就是指如何發(fā)現(xiàn)雙曲線與坐標(biāo)軸構(gòu)成等腰三角形,如何發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維;觀,提高人的觀察力與判斷力,怎樣觀察、抓住題目中的細(xì)節(jié),不放過(guò)任何一個(gè)蛛絲馬跡,判斷哪個(gè)條件是對(duì)解題有用,哪些是累贅、可有可無(wú)的;群,培養(yǎng)人的責(zé)任心,具有對(duì)題目把控的整體意識(shí),能發(fā)現(xiàn)題目是如何生成,例如如何完成上述的從殊途難歸再到殊途同歸,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng),從一般到特殊、從群體到個(gè)體的大局觀;怨,啟發(fā)人的獨(dú)立思考的能力,拋出問(wèn)題后讓學(xué)生能否獨(dú)立思考解決,給學(xué)生k的性質(zhì),在這題中怎么用、如何用、為什么這么用、得出什么結(jié)論.這才是真正意義上的素質(zhì)教育.

5.2 教學(xué)是質(zhì)疑釋疑的過(guò)程

沒(méi)有疑問(wèn),學(xué)習(xí)教學(xué)就無(wú)動(dòng)力而言.通過(guò)設(shè)疑創(chuàng)趣,即學(xué)生在沒(méi)有問(wèn)題時(shí)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)學(xué)生思考的興趣、觸起靈動(dòng),產(chǎn)生問(wèn)題,再試著把問(wèn)題一層推進(jìn)一層形成蝴蝶效應(yīng),促進(jìn)研究問(wèn)題的深入、促使思維深度的發(fā)展.可以利用蘇格拉底提問(wèn),即產(chǎn)婆術(shù):在教學(xué)生的過(guò)程中,并不直截了當(dāng)?shù)匕褜W(xué)生所應(yīng)知道的知識(shí)告訴他,而是通過(guò)討論問(wèn)答、變式訓(xùn)練等方式來(lái)使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣、積極思考,逐步引導(dǎo)學(xué)生自己最后得出正確答案的方法.在本題中,提問(wèn):直線的解析式的核心是什么?“比例系數(shù)k與截距b”,雙曲線的核心是什么?“解析式k的本質(zhì)”,兩者的聯(lián)系是什么,為什么會(huì)總是產(chǎn)生等腰三角形? 解析法如此繁瑣,能不能用幾何法、面積法求解呢? 激發(fā)學(xué)生對(duì)這些提問(wèn)的思考與學(xué)習(xí)興趣.最后通過(guò)變式等方法引導(dǎo)學(xué)生一切的一切都是歸源于雙曲線k的性質(zhì).通過(guò)多感官角度把問(wèn)題看深入再挖掘問(wèn)題,如從大局到部分、從一般到特殊、從群體到個(gè)體,解決原有問(wèn)題,繼續(xù)研究新產(chǎn)生的問(wèn)題,這樣層層遞進(jìn)、一環(huán)扣一環(huán),形成一個(gè)良好的教育教學(xué)系統(tǒng).

5.3 教學(xué)最重視過(guò)程與發(fā)展

《教父》中一句經(jīng)典:花一秒鐘能看透事物本質(zhì)的人和花一生也看不透事物本質(zhì)的人自然是不一樣的命運(yùn).在平常的教學(xué)中不光要關(guān)注教育結(jié)果,更要重視過(guò)程,成功不是一蹴而就的,是要通過(guò)一定漫長(zhǎng)的過(guò)程而達(dá)成的.在教學(xué)過(guò)程中,知識(shí)概念是輸出,學(xué)習(xí)的過(guò)程中只是單一得輸入而不輸出,學(xué)到的東西就很難消化吸收,只有輸出,以輸出倒逼輸入,學(xué)習(xí)的效果才會(huì)好.在本題中只知道雙曲線和直線解析式形式、表象是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,在教師灌溉了這些知識(shí)后,應(yīng)幫助學(xué)生不斷探索、解決問(wèn)題,將所學(xué)的整合成自己所特有的知識(shí)概念,消化成輸出量,再在學(xué)習(xí)過(guò)程中注重這一概念的應(yīng)用.當(dāng)然學(xué)生不僅要知道如何解決問(wèn)題,更應(yīng)理解其本質(zhì)內(nèi)涵,充分理解知識(shí)原理,反反復(fù)復(fù)推敲、深有體會(huì)才會(huì)更好地解決問(wèn)題,才能把問(wèn)題看深看透.因?yàn)橛袝r(shí)我們不可能在問(wèn)題之內(nèi)找到答案,答案往往在問(wèn)題之外.當(dāng)我們的視角站位發(fā)生變化或者是把問(wèn)題上升到一個(gè)新的、更高的、不一樣的層面時(shí)才有可能得出答案,而這一層面很有可能就是原理.注重k 的本質(zhì)可以延伸出多種變式,通過(guò)對(duì)比得出異同點(diǎn),從厚積薄發(fā)到頓悟,將一系列的雙曲線問(wèn)題看透,真正做到知識(shí)活用、一通百通,學(xué)生的思維會(huì)應(yīng)思考原理本質(zhì)而發(fā)生變化,大腦結(jié)構(gòu)和功能也會(huì)因此改變.