貴州師范大學數(shù)學科學學院(550025) 高健

貴州省畢節(jié)市大方縣瓢井中學(551617) 陳文清

貴州省黔南州都勻市民族中學(558000) 李昕玲

美國著名研究者杜賓斯基提出基于建構主義的APOS概念教學理論,從活動(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Schema)等四個方面對概念教學指明了思路和方向[1].該理論倡導數(shù)學概念學習是學生自主的、思維內(nèi)化的探索性學習,符合學生的認知發(fā)展規(guī)律和抽象心理建構,體現(xiàn)了學生由外顯行為向內(nèi)隱思維轉變的過程[2].對于實數(shù)教學,首先,在活動階段學生通過探究相關的外顯活動,了解實數(shù)概念的實際背景;其次,在過程階段學生對活動進行思考,不斷進行概括和歸納,進而抽象出實數(shù)的本質(zhì)特征;再次,在對象階段教師引導學生對實數(shù)概念進行深入探究,促進學生對實數(shù)的相關概念進行形式化的定義和理解;最后,在圖式階段教師以習題探究和思維導圖將實數(shù)與其他概念、定理建立聯(lián)系,促使學生構建新的知識圖式.本文將APOS 理論運用到實數(shù)教學中,旨在幫助學生了解實數(shù)概念的背景與意義,深刻理解實數(shù)的本質(zhì)與內(nèi)涵,使學生在自主思考、積極體驗中培育學生數(shù)學核心素養(yǎng).

1 基于APOS 理論的實數(shù)概念教學策略

APOS 理論作為一種建構主義理論,其蘊含的四個階段正好與學生的認知建構和心理發(fā)展規(guī)律相吻合,在一定程度上強調(diào)教師是課堂的組織者,學生是知識學習的主動建構者.根據(jù)實數(shù)知識的特點以及其它影響因素,在利用APOS 理論進行實數(shù)概念教學時主要有以下三種實施策略.

1.1 概念引入與感知——以問題情境激發(fā)學生好奇心

建構主義教學觀強調(diào)知識的學習與運用應具備一定的情境性,以學生原有的知識經(jīng)驗和感性材料為依托,更有利于激發(fā)學生的好奇心和求知欲[3].如果教師只是干巴巴地將數(shù)學概念講出來,那么學生感知到的只是概念本身淺顯的意思,甚至是用數(shù)學術語裝飾的一句話而已,難以觸動學生的認知體驗與思維發(fā)展.實數(shù)概念的引入階段,與APOS 理論的活動階段相匹配,此時教師應該在學生以往對自然數(shù)、有理數(shù)知識的學習基礎上,設計科學合理的問題情境,注重情境的創(chuàng)設與學生的日常生活經(jīng)驗和認知發(fā)展規(guī)律相結合,幫助學生初步感知無理數(shù)的來源過程,這樣不但可以精煉教學語言,而且也利于學生切身體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的不解之緣.

1.2 概念理解與深化——以師生互動滿足學生求知欲

無論是社會實踐,還是教學活動,其形成過程不是僅僅靠個體來完成,而是通過探究討論、互動交流來實現(xiàn).對于數(shù)學課堂教學,互動太少容易造成“灌輸式”、“填鴨式”教學,而互動太多又容易導致整堂課重難點不突出.因此,教師幫助學生對概念進行理解和深化時,更需要啟發(fā)引導、合理互動、適當追問,在互動交流中潛移默化地促使學生進行數(shù)學概念的建構.針對實數(shù)概念教學,此過程與APOS 理論的過程、對象兩階段吻合,此時學生基于活動階段的體驗對無理數(shù)的特點有了初步的認識,教師應在此基礎上利用數(shù)軸引導學生對有理數(shù)和無理數(shù)知識進行再建構,以追問的形式加強學生對實數(shù)概念的理解和深化.

1.3 概念拓展與延伸——以動手操作促進學生新認知

數(shù)學學科的特點與其他學科有所不同,并不單單只靠聽、看、想就能學會學懂,而是需要動手操作“做”出來的.對于一個新概念、新知識,無論是創(chuàng)設情境進行導入,還是互動交流促進理解,最終要通過學生動手操作落實到實踐中,進而轉化為學生內(nèi)隱的技能和本領.采用APOS 理論進行實數(shù)概念教學時,概念的拓展與延伸與圖式階段相類似,但此階段的形成是由淺入深的,不是只靠一節(jié)課就能達成,需要學生在后期的知識擴充中進行再認知與再建構,不斷更新完善達到新的思維高度.因此,教師應在前三個階段的基礎上,以習題變式引導學生動手操作、以思維導圖促進學生建立知識體系,強化學生對實數(shù)的理解和運用,幫助學生在大腦中構建清晰的知識網(wǎng)絡.

2 基于APOS 理論的實數(shù)概念教學設計

2.1 活動階段(創(chuàng)設情境、自主探究)

內(nèi)容1教師利用多媒體向?qū)W生展示一片土地上兩個邊長相同的正方形籬笆,然后將其轉變?yōu)閮蓚€邊長為1 的平面圖形,通過動畫模式分別畫出兩個正方形從左到右的一條斜對角線,試問:這兩個邊長為1 的正方形籬笆能否圍成一個面積為2 的籬笆呢? 如果可以,那么圍成的新籬笆邊長為多少呢?

圖1

師生活動:教師鼓勵學生動手操作,引導學生首先把課前準備的兩張邊長相等的小正方形紙片沿對角線對折并裁開,然后將得到的四個直角三角形進行組合,進而組成一個面積為2 的大正方形,最后引導學生運用數(shù)學的思維將現(xiàn)實問題抽象為求解方程的數(shù)學問題,進而得出新籬笆的邊長.

意圖:教師通過多媒體展示現(xiàn)實生活中的籬笆形狀,引導學生探究現(xiàn)實生活中存在的數(shù)學問題,調(diào)動學生探究新知的熱情;同時,鼓勵學生動手操作感受“兩個小正方形組成一個大正方形”的形成過程,將現(xiàn)實問題自然過渡到數(shù)學問題,明確無理數(shù)的表現(xiàn)形式,深刻感受數(shù)學概念的現(xiàn)實背景與意義,為后續(xù)實數(shù)的判斷和分類提供認知準備.

2.2 過程階段(有效引導、抽象概念)

內(nèi)容2由內(nèi)容1 得到新圍成的籬笆邊長為,而在有理數(shù)分類中既不是整數(shù)也不是分數(shù),那么它應該是什么數(shù)呢?

2.3 對象階段(合作探究、深化理解)

內(nèi)容3教師通過多媒體呈現(xiàn)下述三個小問題,并組織學生進行小組合作探究交流.

圖2

圖3

(2)如圖,線段OB為數(shù)軸上方邊長為1 的小正方形對角線,若OA=OB且點A在O點右邊,試問:數(shù)軸上A點對應的數(shù)是多少? 它在哪兩個整數(shù)之間?

(3)如果在數(shù)軸上標出所有有理數(shù),那么數(shù)軸能被填充滿嗎?

師生活動:教師組織學生進行小組討論,在討論過程中進行巡視,發(fā)現(xiàn)學生非常輕松地解決了問題(1),但對于問題(2),大部分學生花費較多的時間進行思考和討論,經(jīng)過小組合作最終在紙上畫出數(shù)軸,并畫出邊長為1 的小正方形,利用畫“圓弧與數(shù)軸相交”的方式得出A 點在數(shù)軸上的位置.最后,學生在探究問題(3)時便有如魚得水的感覺.經(jīng)過問題(2)中在數(shù)軸上的表示方法,學生發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上除了可以表示有理數(shù),其實也可以表示無理數(shù),因此得出結論:將所有有理數(shù)都標到數(shù)軸上,數(shù)軸不會被填滿.學生探究之后,教師通過PPT 演示的方式展示無理數(shù)在數(shù)軸上表示的動畫過程,幫助學生進一步理解和感受實數(shù)與數(shù)軸的關系.

如:

圖4

圖5

2.在數(shù)軸上畫出?的對應點.

師生活動:教師幫助學生梳理思路,以O為原點,A為數(shù)軸上2 的對應點,畫一個長為2、寬為1 的矩形OABC,可知OB為矩形的對角線且長為,以O為原點、OB長為主旋轉畫弧便可得到?的對應點,教師通過PPT 進行演示,學生可以直觀清晰地看到實數(shù)?在數(shù)軸上表示的過程,之后進行總結歸納.

3.通過上述問題探究,因勢利導向?qū)W生展示兩個問題:

(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)之間有何關系?

(2)數(shù)軸上左邊的點表示的數(shù)與右邊的點表示的數(shù),哪邊的數(shù)大呢?

師生活動:教師組織同桌兩人進行討論,之后請同學代表進行總結歸納:(1)每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示,反過來數(shù)軸上的每一個點都可以表示一個實數(shù),即實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的;(2)數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大[4].

意圖:學生通過小組合作,探討數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的關系,教師將數(shù)和圖形聯(lián)系在一起,用一條數(shù)軸將“數(shù)”與“形”有機結合,使學生體會到通過數(shù)軸可以直觀地比較兩個實數(shù)的大小,進一步向?qū)W生滲透數(shù)形結合的思想.

4.在之前的數(shù)學學習中,我們掌握了有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值的求法,那么學習了實數(shù)概念之后,實數(shù)的相反數(shù)、絕對值求法是否與有理數(shù)求法一致呢? 請同學們觀察下列所列舉的數(shù)字:(相鄰兩個5 之間9 的個數(shù)逐次加1),同桌兩人合作求出所列舉數(shù)的相反數(shù)和絕對值,并寫在草稿紙上.

師生活動:教師引導同桌兩人進行合作探究,在巡視過程中,發(fā)現(xiàn)學生基于前半節(jié)課對實數(shù)概念的學習,在思考此問題時理解能力有所提升,大部分同學經(jīng)過討論之后很快寫出了結果.之后教師與學生互動,大部分學生認為有理數(shù)相反數(shù)、絕對值的求法與實數(shù)相反數(shù)、絕對值的求法是一致的,因為實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù),是在有理數(shù)基礎上對數(shù)系的擴充,因此在實數(shù)范圍內(nèi),其相反數(shù)、絕對值的意義是完全一樣的.

意圖:類比有理數(shù)的相關概念,建立實數(shù)的相反數(shù)和絕對值等概念,加強學生對實數(shù)概念的理解和應用,以習題探究為導向,幫助學生深刻體會它們的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的意義是一致的.

2.4 圖式階段(遷移應用,拓展延伸)

圖式1:習題練習:

(2)若x,y,z為實數(shù),且滿足|x?3|++|z+1|=0,求的值.

(3)變式:已知m,n互為倒數(shù),p是q的相反數(shù),f是一個非零實數(shù),試求的值.

意圖:以習題和變式練習為操作手段,強化學生對實數(shù)概念及其相關性質(zhì)的理解和記憶,促進學生對知識的建構和運用,將實數(shù)與其他數(shù)學概念、法則、運算律、性質(zhì)等進行有機結合,內(nèi)化學生頭腦中的思維體系.

圖式2:課堂小結:

經(jīng)過上述三個階段的學習,學生對實數(shù)概念及其相關性質(zhì)有了深刻的認識和理解,此時教師和學生一起對本節(jié)課的知識進行歸納總結,以思維導圖的方式建立學生對實數(shù)的認知結構.

意圖:在實數(shù)概念形成的基礎上幫助學生建立思維導圖,將實數(shù)與其相關聯(lián)的節(jié)點間建立非人為的邏輯關系,確保實數(shù)知識以一種穩(wěn)固的心理圖式存在于學生的頭腦中,促使學生從感性認知上升為理性認識.此階段的學習是循序漸進的過程,后期函數(shù)、方程等知識的學習還會與實數(shù)建立密切的聯(lián)系,使學生在原有認知結構的基礎上加強學生對實數(shù)概念的深入理解[5].

圖6

3 基于APOS 理論的教學反思

本次關于實數(shù)的教學,以APOS 理論為指導,通過恰當?shù)膯栴}情境引領課堂教學,鼓勵學生善于思考、大膽交流,引導學生在探究過程中主動學習,取得好的學習效果.

3.1 情境問題驅(qū)動,激發(fā)學生興趣

問題情境的創(chuàng)設,應當具備科學性、合理性、及時性,能夠與學生的認知發(fā)展規(guī)律和日常生活經(jīng)驗有機結合,確保設計的問題既有一定的難度和探究價值,又是學生自主或合作探究可以解決的問題,使學生在知識的探究和學習中,體會數(shù)學思想、感悟數(shù)學本質(zhì)、理解知識內(nèi)涵.在“實數(shù)”的教學設計中,選擇了兩個情境:一是列舉現(xiàn)實生活中的正方形籬笆問題引導學生動手操作、積極探究、交流討論,總結出無理數(shù)的相關性質(zhì);二是播放多媒體視頻,讓學生直觀地感受“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應”的關系,增強學生對實數(shù)的認識.學生通過自主探究、同桌討論對實數(shù)進行分類,進而得出實數(shù)的分類和表示方法,增強學生的學習自信心和語言溝通能力,幫助學生體驗成功的快樂,促進學生數(shù)學思維能力的提升,從“要我學”變?yōu)椤拔乙獙W”,深刻體會知識學習的樂趣和價值.

3.2 循序漸進引導,培養(yǎng)學生思維

利用APOS 理論進行數(shù)學概念教學是一個科學的選擇,該理論所涉及的四個階段正好與學生的學習發(fā)展規(guī)律相吻合.但對于數(shù)學概念教學,從過程階段到對象階段乃至圖式階段,其間需要經(jīng)過不斷的重復和建構,APOS 理論所涉及的四個階段可能在一節(jié)課時間中不能完全進行,因此教師在進行概念教學時應注重循序漸進,層層引導,避免只趕進度不講效率,切實以提高學生的認知發(fā)展水平和數(shù)學思維能力為目標.在“實數(shù)”教學中,特別是圖式階段,通過思維導圖幫助學生建立實數(shù)知識體系,促使學生對實數(shù)的概念和性質(zhì)進行認知建構,但這種建構并不是一節(jié)課、一個教學片段可以完成的,在之后的數(shù)學學習過程中還需進一步更新和完善.例如:后期學習的函數(shù)與方程知識,是對實數(shù)知識的再認知、再建構.

3.3 注重數(shù)學表達,促進學生交流

貴州師范大學呂傳漢教授曾提出“教思考、教體驗、教表達”的三教教育理念,強調(diào)表達是學習的一種軟能力,提倡讓學生運用數(shù)學語言表達世界,在表達交流中增強學習體驗[6].教師在運用APOS 理論進行概念教學時要及時關注學生在每個階段的學習狀態(tài)和語言能力的輸出,及時改變教學策略對癥下藥,引導學生“善于思考、積極探究、敢于表達”.基于數(shù)學本身的高度抽象性和嚴密邏輯性,如果學生思維混亂、表達不清,就容易陷入“不知其然,更不知其所以然”的泥潭中,難以體會數(shù)學的價值和意義.因此,在課堂教學中教師要注重引導學生善于運用數(shù)學語言思考問題、研究問題、解決問題,一方面要強調(diào)師生、生生之間的數(shù)學交流活動,另一方面要關注學生與知識本身的認知表達,使學生既會思數(shù)學,又敢說數(shù)學.