周麗

［摘 要］指數函數與對數函數互為反函數，在考試命題中常常被命制在同一道題目中，以考查考生的綜合應用能力。文章結合幾個典型例題對指數函數與對數函數綜合題的求解策略進行分析探討，以幫助學生突破解題難點，拓寬學生的思維路徑，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

［關鍵詞］指數函數；對數函數；綜合題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0014-03

指數函數與對數函數互為反函數，它們之間有著緊密的聯系，在考試命題中常常被命制在同一道題目中，以考查考生的綜合應用能力。面對這類題型，我們該如何破解呢？本文對指數函數與對數函數綜合題的求解策略加以探究，以供大家參考。

一、數形結合策略

因為指數函數與對數函數互為反函數，它們的圖象關于直線[y=x]對稱，當其函數與它們的圖象相交時，比較有關數或者式子的大小可以一目了然。采用數形結合思想解答指數函數與對數函數綜合題的關鍵是找到容易作圖的函數。

［例1］已知正實數[a]、[b]、[c]滿足[a+log2a=b+2b=2c+log2c=4]，則以下結論正確的是（）。

A. [b+log2a>4] B. [a+log2c>4]

C. [2b+c>4] D. [2c+log2b>4]

分析：由已知條件分析出[a]是函數[y=log2x]與[y=4-x]交點的橫坐標，[b]是函數[y=2x]與[y=4-x]的交點的橫坐標，[c]是函數[y=log2x]與[y=4-2x]交點的橫坐標，在同一直角坐標系中畫出圖象，由圖象得出[1a>c]，利用不等式的性質即可判斷出答案。

解：∵[a+log2a=b+2b=2c+log2c=4]，∴[log2a=4-a]，[2b=4-b] ，[log2c=4-2c]，∴[a]是函數[y=log2x]與[y=4-x]的交點的橫坐標，[b]是函數[y=2x]與[y=4-x]的交點的橫坐標，[c]是函數[y=log2x]與[y=4-2x]的交點的橫坐標，如圖1所示，則[1a>c]。

∵[a+log2a=4]，且[a>b] ，∴[b+log2a<4]，故A錯誤；∵[2c+log2c=4]，且[2c>a]，∴[a+log2c<4]，故B錯誤；∵[b+2b=4]，且[c>b]，∴[c+2b>4]，故C正確；∵[c>b>1]，∴[log2c>log2b]，又∵[2c+log2c=4]，∴[2c+log2b<4]，故D錯誤，故選C。

二、構造函數策略

為了解決比較復雜的問題，往往需要先“修路建橋”。對于某些與對數函數和指數函數有關的比較大小問題，當應用簡單的函數的單調性無法解決時，往往需要構造新的函數，并研究和利用該函數的單調性。

［例2］已知[a]、[b]、[c]滿足[a=log5（2b+3b）]，[c=log3（5b-2b）]，則（）。

A. [a-c≥b-c]，[a-b≥b-c]

B. [a-c≥b-c]，[a-b≤b-c]

C. [a-c≤b-c]，[a-b≥b-c]

D. [a-c≤b-c]，[a-b≤b-c]

分析：構造函數[f（x）=25x+35x]，利用其單調性，分[b>1]，[b=1]，[b<1]討論即可。

解：由題意得[5b-2b>0]，即[5b>2b]，則[0<25b<1]，則[b>0]。令[f（x）=25x+35x]， [f（1）=1]，根據“減函數加減函數為減函數”的結論可知[fx]在[R]上單調遞減，當[b>1]時，可得[25b+35b<1]，∴[2b+3b<5b]，兩邊同取以5為底的對數，得[a=log5（2b+3b）3b]，兩邊同取以3為底的對數得[c=log3（5b-2b）>b]，所以[c>b>a]，[-b<-a]，所以[c-b0]，[c-a>0]。所以[a-c>b-c]，故C、D選項錯誤。

當 [b=2]時，[a=log513]，[c=log321]，[c-b=log321-2=log373∈12，1]，[b-a=2-log513=log52513∈0，12]，∴[c-b>b-a]，且[c-b>0]，[c-a>0]，故A錯誤。

下面嚴格證明當[b>1]時，[0

根據函數[hx=53x-23x]在[R]上單調遞增，且[h（1）=1]，則當[b>1]時，有[1<53b-23b]，[∵0<25b+35b<1]， [∴1<125b+35b]。

下面證明：[5b2b+3b<5b-2b3b]，[b>1]。要證[5b2b+3b<5b-2b3b]，即證[15b<（2b+3b）（5b-2b）]，等價于證明[4b+6b<10b]，即證[25b+35b<1]，此式開頭已證明。對[5b2b+3b<5b-2b3b]，左邊分子和分母同除以[5b]，右邊分子和分母同除以[3b]，得[125b+35b<53b-23b]，則[0

故當[b>1]時，[01]，[∴2b+3b>5b]，兩邊同取以5為底的對數得[a=log5（2b+3b）>log55b=b]，對[2b+3b>5b]通過移項得[5b-2b<3b]，兩邊同取以3為底的對數得[c=log3（5b-2b）-a]，所以[c-b>c-a]，且[c-b<0]，[c-a<0]，故[0b-c]。

下面嚴格證明當[0

當[01]，則[b-a=log5125b+35b<0]，則[0<125b+35b<1]，根據函數[hx=53x-23x]在[R]上單調遞增，且[h（1）=1]，則當[0

下面證明：[5b2b+3b>5b-2b3b（b<1）]。要證[5b2b+3b>5b-2b3b]，即證[15b>（2b+3b）（5b-2b）]，等價于證明[4b+6b>10b]，即證[25b+35b>1]，此式已證明。對[5b2b+3b>5b-2b3b]，左邊分子和分母同除以[5b]，右邊分子和分母同除以[3b]，得 [125b+35b>53b-23b]，則[c-b=log353b-23b

三、轉化策略

合理轉化，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，是數學解題的根本途徑。當指數函數與對數函數綜合題中出現不等式恒（能）成立，或已知方程解的情況求參數的取值范圍時，通常采用換元法，將其轉化成簡單函數的最值問題或簡單方程的根分布問題。

［例3］已知函數[f（x）=log4（4x+1）-log42x]，[g（x）=log4a·2x-1-23a]。

（1）若[?x1∈R]，對[? x2∈-1，1]，使得[f（x1）+4x2-m·2x2≥0]成立，求實數[m]的取值范圍；

（2）若函數[f（x）]與[g（x）]的圖象有且只有一個公共點，求實數[a]的取值范圍。

分析：（1）由已知[f（x）min≥m·2x2-4x2]，利用基本不等式求得[f（x）min=12]，可得出[m·2x2-4x2≤12]，令[p=2x2∈12，2]，分離參數可得[m≤12p+p]，利用函數的單調性求出函數[h（p）=p+12p]在[12，2]上的最大值，即可得出實數[m]的取值范圍。

（2）令[t=2x>0]，分析可知關于[t]的方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根，分[a=2]、[a<2]、[a>2]三種情況討論，當[a=2]時，直接求出方程的根，驗證即可。在[a<2]、[a>2]這兩種情況下，利用二次函數的零點分布可得出關于實數[a]的不等式組，綜合可解得實數[a]的取值范圍。

解：（1）[f（x1）+4x2-m·2x2≥0]，即[f（x1）≥m·2x2-4x2]，若[?x1∈R]，使得[f（x1）+4x2-m·2x2≥0]成立，只需要[f（x1）min≥m·2x2-4x2]成立。因為[f（x）=log4（4x+1）-log42x=log44x+12x=log42x+12x]，由基本不等式可得[2x+12x≥22x·12x=2]，當且僅當[x=0]時等號成立，所以[f（x）min=f（0）=log42=12]，則[m·2x2-4x2≤12]，因為[x2∈-1，1]，令[p=2x2∈12，2]，分離參數可得[m≤12p+p]，令[h（p）=p+12p]，其中[p∈12，2]，任取[p1]、[p2∈12，2]且[p1h（p2）]，

當[22≤p1

（2）由（1）可得[f（x）=log4（4x+1）-log42x=log44x+12x=log42x+12x]，由題意知，方程[log4（2x+2-x）=log4a·2x-1-23a]有且只有一個實根，即方程[2x+2-x=a·2x-1-23a]有且只有一個實根，令[t=2x>0]，則方程[t+1t=a2t-23a]有且只有一個正根，即方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根，構造函數[φ（t）=a2-1t2-23at-1]。

①當[a=2]時，[φ（t）=-43t-1]，令[φ（t）=0]，解得[t=-34]，不合題意。

②當[a<2]時，則[a2-1<0]，二次函數[φ（t）]的圖象開口向下，對稱軸為直線[t=2a3（a-2）]，[Δ=-23a2+4a2-1=49a2+2a-4=29（2a2+9a-18）=29（2a-3）（a+6）]，由于[φ（0）=-1<0]，要使得方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根，則[Δ=0，2a3（a-2）>0]，解得[a=-6]。

③當[a>2]時，則[a2-1>0]，[Δ=29（2a-3）（a+6）>0]，設方程[a2-1t2-23at-1=0]的兩根分別為[t1]、[t2]，由韋達定理可得[t1t2=-2a-2<0]，滿足方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根。

綜上所述，實數[a]的取值范圍是[-6?（2，+∞）]。

從以上三個例子的分析不難看出，求解指數函數與對數函數綜合題必須具體問題具體分析，把握住問題的本質，利用數形結合、構造函數、合理轉化、分類討論等策略進行破解。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 王凱閱. 數學文化融入高中數學課堂教學的研究［D］.大連：遼寧師范大學，2023.

［2］? 徐敏嘉.新高考數學創(chuàng)新試題教學實踐策略淺析［J］.延邊教育學院學報，2023（2）：154-158.

（責任編輯 黃桂堅）