李尉 代京京? 溫叢陽 宗夢雅 李勝南 王智勇?

1) (北京工業(yè)大學,先進半導體光電技術(shù)研究所,北京 100124)

2) (陜西科技大學,材料原子分子科學研究所,西安 710021)

本文對環(huán)形激光陣列的Talbot 效應進行了研究,利用Gyrator 正則變換推導了極坐標下環(huán)形激光陣列的Talbot 效應和自成像條件,并進一步分析了其在分數(shù)Talbot 距離處的成像規(guī)律.通過FDTD Solutions 軟件對環(huán)形激光陣列在分數(shù)Talbot 距離處的空間分布、相位分布進行模擬,得到與理論計算相一致的結(jié)果.通過與一維激光陣列分數(shù)Talbot 效應的空間分布、相位分布情況進行對比分析,環(huán)形激光陣列可有效消除一維激光陣列的Talbot 邊緣效應,獲得等光強分布的Talbot 自再現(xiàn)像,擴展了Talbot 效應在環(huán)形激光相干陣列鎖相的應用.

1 引言

自1836 年Talbot[1]報道了周期性物體的衍射自成像效應以來,對Talbot 效應的研究和應用逐步深入.尤其是對分數(shù)Talbot 效應的理論解釋[2],進一步拓寬了Talbot 效應的應用范圍,更加引起研究人員對Talbot 效應的重視.目前,Talbot 效應和分數(shù)Talbot 效應已在光學圖形處理[3,4]、光學精密測量[5]、光信息存儲[6]、原子光學[7-9]、陣列照明[10,11]等領(lǐng)域得到了廣泛應用.隨著半導體激光技術(shù)的不斷發(fā)展,由半導體激光器組成的周期性陣列其光場同樣具有Talbot 效應,值得人們研究.根據(jù)分數(shù)Talbot 效應[12],人們開展了半導體激光陣列Talbot 外腔鎖相的研究[13,14].通過激光陣列Talbot 外腔鎖相技術(shù),可以提高激光陣列互注入耦合效率[15],實現(xiàn)激光低階模式選擇,有效改善大陣列半導體激光器的遠場光束質(zhì)量,獲得近衍射極限的相干激光輸出[16].由于鎖相后的激光陣列具有高簡并度和相干性,亦可將其應用于量子測量技術(shù),實現(xiàn)以高度相干的激光操縱玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)形成原子密度光柵[17,18].因此,激光陣列的Talbot 效應在未來高功率、高光束質(zhì)量半導體激光器以及量子測量領(lǐng)域蘊藏著廣闊的實用前景.

一維激光器陣列的Talbot 效應是半導體激光陣列Talbot 外腔鎖相研究的一個重要方向[19,20],然而在實際應用中,一維激光陣列難以達到無限單元周期性排布,使得一維激光陣列無法產(chǎn)生理想的Talbot 效應,即存在邊緣效應.與一維激光陣列相比,環(huán)形激光陣列在極坐標系下具有角向無限周期性單元結(jié)構(gòu),可以近似為無限單元的一維周期性陣列結(jié)構(gòu)[21],滿足Talbot 條件.

通常采用笛卡爾坐標系下的分數(shù)傅里葉變換計周期性物體的Talbot 效應[22,23].然而這種方法難以計算環(huán)形激光陣列的Talbot 效應,本文在極坐標系下將環(huán)形激光陣列的Gyrator 變換和菲涅耳衍射相結(jié)合,推導了環(huán)形激光陣列的Talbot 效應,獲得了其Talbot 自成像條件.通過FDTD Solutions 軟件模擬得到環(huán)形激光陣列在Talbot 距離及分數(shù)Talbot 距離處的自成像情況,通過與一維激光陣列分數(shù)Talbot 效應的光場、相位分布情況對比分析,在分數(shù)Talbot 距離處均得到了相一致的結(jié)果,并且有效消除了邊緣效應,從而將Talbot效應從一維周期性陣列推廣到了環(huán)形周期性陣列,擴展了Talbot 效應在環(huán)形激光陣列的應用,為環(huán)形激光陣列鎖相研究提供了Talbot外腔方法.

2 環(huán)形激光陣列的Talbot 效應

環(huán)形激光陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示,紅色圓表示激光發(fā)光單元,r0為環(huán)形結(jié)構(gòu)的半徑,θ0為相鄰發(fā)光單元間的圓心角.

圖1 環(huán)形激光陣列Fig.1.Ring laser array.

在極坐標下,環(huán)形激光陣列發(fā)光單元的分布方式可以用梳狀函數(shù)和狄拉克函數(shù)表示:

其中r0是環(huán)形結(jié)構(gòu)的半徑,θ0是相鄰發(fā)光單元間的圓心角.激光陣列每一個發(fā)光單元為高斯光束,則發(fā)光單元在初始位置的光場可以表示為

其中,E0=|E(0)|,ω0是高斯光束的束腰半徑.采用Gyrator 變換對(1)式和(2)式形成的初始光場分布做頻域分析.極坐標系下Gyrator 變換的積分核函數(shù)可寫為

其中α為Gyrator 變換的階數(shù).由此可得極坐標系下的Gyrator 變換表達式為[23]

由于極坐標系下初始光場分布函數(shù)是可分離變量的,并且α=π/2 時,Gyrator 變換得到的頻域分布可以用零階貝塞爾恒等式表示為

其中J0為零階貝塞爾函數(shù).采用菲涅耳傳遞函數(shù)計算環(huán)形激光陣列在自由空間傳輸后的光場分布,此時觀察平面上得到的場分布頻譜可以表示為

此時,可以得到環(huán)形激光陣列的Talbot 距離ZT為

上述結(jié)果表明,環(huán)形激光陣列的Talbot 距離與相鄰發(fā)光單元間圓心角和半徑的平方成正比,與激光波長成反比.

3 分數(shù)Talbot 效應及仿真模擬

根據(jù)第2 節(jié)計算的環(huán)形陣列Talbot 效應,可以進一步分析得到其分數(shù)Talbot 效應.并使用FDTD Solutions 有限元分析對基模高斯光束環(huán)形陣列在分數(shù)Talbot 距離處的光場分布和相位分布進行模擬,模擬結(jié)構(gòu)示意如圖2 所示,圖中紅色實心圓為發(fā)光單元,虛線平面代表相應的觀察面.

圖2 仿真模型示意圖Fig.2.Schematic diagram of simulation model.

圖3 所示為環(huán)形激光陣列分數(shù)Talbot 效應模擬結(jié)果,其光場分布均為歸一化之后的結(jié)果.如圖3(a),(f)所示,由28 個發(fā)光單元組成的激光陣列具有相同的光強和初始相位.如圖3(b),(g)所示,光束傳輸?shù)?/4ZT平面時,子像元數(shù)量為發(fā)光單元2 倍,子像元光強相同,相鄰子像元相位差為 π/2 .如圖3(c),(h)所示,在1/2ZT平面,Talbot 子像元數(shù)目與發(fā)光單元相同,但是子像的空間位置沿角向方向產(chǎn)生了半個周期的偏移,子像元光強與發(fā)光單元相同,相鄰子像元相位相同.如圖3(d),(i)所示,在3/4ZT平面呈現(xiàn)數(shù)量為發(fā)光單元2 倍的Talbot 子像元,子像元光強相同,相鄰子像元相位差為-π/2 .如圖3(e),(j)所示,在ZT平面,沿角向產(chǎn)生了空間分布和相位分布與發(fā)光單元相同的自再現(xiàn)像.

為了對比環(huán)形周期陣列與一維周期陣列的Talbot 效應,同樣模擬了一維基模高斯光束陣列的分數(shù)Talbot 效應,模型中一維基模高斯光束陣列的發(fā)光單元與上述環(huán)形陣列發(fā)光單元保持相同參數(shù),模擬結(jié)果如圖4 所示.將圖4 與圖3 相比,可以明顯地觀察到一維激光陣列與環(huán)形激光陣列的一致性和差異.二者在1/4ZT平面、1/2ZT平面、3/4ZT平面以及ZT平面的Talbot 子像元數(shù)目和空間位置以及相鄰子像元的相位差具有一致性.然而,從圖4 可以看出,一維激光陣列的Talbot 效應存在明顯的邊緣衰減效應,其Talbot 子像元的光強在陣列邊緣處逐漸降低,并且傳輸距離越遠,衰減效果越明顯.這是由于一維激光陣列無法構(gòu)成無限單元的周期分布,陣列邊緣處不能實現(xiàn)理想的Talbot 效應.然而環(huán)形激光陣列在極坐標系下沿角向可以視為無限延伸的周期分布,因此不存在邊緣衰減效應,Talbot 子像元始終保持等光強分布.

圖3 環(huán)形激光陣列Talbot 效應 (a)初始光斑空間分布;(b) 1/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(c) 1/2 Talbot 距離處光斑空間分布;(d) 3/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(e) Talbot 距離處光斑空間分布;(f)初始光源相位分布;(g) 1/4 Talbot 距離處相位分布;(h) 1/2 Talbot 距離處相位分布;(i) 3/4 Talbot 距離處相位分布;(j) Talbot 距離處相位分布Fig.3.The Talbot effect of ring laser array: (a) The initial optical profile;(b) optical profile at 1/4 Talbot distance;(c) optical profile at 1/2 Talbot distance;(d) optical profile at 3/4 Talbot distance;(e) optical profile at Talbot distance;(f) phase distribution of the initial light source;(g) phase distribution at 1/4 Talbot distance;(h) phase distribution at 1/2 Talbot distance;(i) phase distribution at 3/4 Talbot distance;(j) phase distribution at Talbot distance.

圖4 一維陣列Talbot 效應 (a)初始光場分布;(b)1/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(c) 1/2 Talbot 距離處光斑空間分布;(d) 3/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(e) Talbot 距離處光斑空間分布;(f)初始光源相位分布;(g) 1/4 Talbot 距離處相位分布;(h) 1/2 Talbot 距離處相位分布;(i) 3/4 Talbot 距離處相位分布;(j)Talbot 距離處相位分布Fig.4.The Talbot effect of one-dimensional array: (a) The initial optical profile;(b) optical profile at 1/4 Talbot distance;(c) optical profile at 1/2 Talbot distance;(d) optical profile at 3/4 Talbot distance;(e) optical profile at Talbot distance;(f) phase distribution of the initial light source;(g) phase distribution at 1/4 Talbot distance;(h) phase distribution at 1/2 Talbot distance;(i) phase distribution at 3/4 Talbot distance;(j) phase distribution at Talbot distance.

4 結(jié)論

本文將笛卡爾坐標系下的Gyrator 變換應用到極坐標系中,并結(jié)合菲涅耳衍射,通過理論計算和模擬仿真研究了環(huán)形激光陣列結(jié)構(gòu)的Talbot 效應.計算了環(huán)形激光陣列的Talbot 成像條件并分析了其分數(shù) Talbot 效應,計算結(jié)果表明,在偶數(shù)倍1/2 Talbot 距離處,子像和原始發(fā)光單元一致;在奇數(shù)倍1/2 Talbot 距離處子像位置沿角向旋轉(zhuǎn)1/2 周期,子像元數(shù)量無變化;在奇數(shù)倍1/4 Talbot距離處,子像元數(shù)目增加至發(fā)光單元的2 倍.使用FDTD Solutions 軟件對環(huán)形激光陣列和一維激光陣列的分數(shù)Talbot 效應進行仿真模擬和比較分析表明,基于極坐標系下Gyrator 變換方法得到的環(huán)形激光陣列的Talbot 效應與一維激光陣列Talbot效應變化規(guī)律具有一致性,但消除了一維激光陣列的邊緣衰減效應,可以獲得等光強分布的Talbot子像.本文認為利用環(huán)形激光陣列的Talbot 效應,在圖像光學加密、無掩膜光刻蝕、陣列照明等領(lǐng)域有潛在的應用價值.并且基于環(huán)形激光結(jié)構(gòu)Talbot效應的外腔鎖相設計可使激光輸出模式得到選擇,在互注入鎖相后輸出得到相干光,在高亮度相干激光領(lǐng)域和量子測量領(lǐng)域得到應用.