彭凡 張秀梅? 劉琳 王秀明

1) (中國科學院聲學研究所,聲場聲信息國家重點實驗室,北京 100190)

2) (中國科學院大學,北京 100049)

3) (中國科學院聲學研究所,北京市海洋深部鉆探研究中心,北京 100190)

聲波在飽含流體孔隙介質中的傳播特性與流體的黏滯性及孔隙介質的非均勻性密切相關.本文在Biot 理論基礎上,考慮了孔隙流體的剪切應力及孔隙結構的非均勻性,采用含黏性流體孔隙介質中的波動理論,研究了孔隙介質中四種體波的頻散和衰減特性,分析了慢橫波對快縱波轉換散射的影響,進一步推導了孔隙地層井孔中的模式波及其聲場的解析解,研究了非均勻孔隙介質中井孔模式波和波列的特征.研究結果表明,含黏性流體孔隙介質中存在慢橫波,慢橫波的頻散很強,其傳播特征受到介質孔隙度、滲透率及孔隙流體黏度的影響.在非均勻孔隙介質中,與慢橫波相關的剪切應力平衡過程不僅導致快縱波的頻散和衰減,還會影響井孔偽瑞利波及斯通利波的傳播特征.本文的工作完善了孔隙介質中聲波傳播的物理機制,為孔隙地層井孔聲波的解釋與應用提供了理論指導.

1 引言

孔隙介質一般是由固體骨架和充填在骨架間的孔隙流體構成,在地下富含油氣的儲層、工程生產和日常生活等涉及的材料中廣泛分布.因此,研究聲波在孔隙介質中的傳播規(guī)律在油氣勘探、材料工程及無損檢測等方面具有重要作用[1-3].Biot[4-6]早年建立的單一流體飽和的孔隙介質彈性波動力學理論,又稱為Biot 理論,目前已成為研究孔隙介質中聲波傳播的基本理論.Rosenbaum[7]利用Biot理論研究了孔隙地層包圍的井孔中聲波的傳播,形成了Biot-Rosenbaum 理論.應用這些理論,學者們更加深入地研究了井孔聲波響應及其與孔隙地層中的巖性和物性參數之間的聯系,發(fā)展了聲波測井數據處理方法并建立了巖石儲層物理解釋模型.例如: 建立了利用聲波時差評估地層孔隙度的公式;提出了利用井孔模式波反演地層滲透率、利用測井聲波的衰減獲取孔隙流體信息等方法[8-10].然而,理論和實際應用研究表明,基于Biot 理論得到的一些結果與實際觀測結果存在很大的差異,多數情況下低估了實際孔隙介質中的頻散與衰減[11-13].究其原因之一,Biot 理論假設所研究的孔隙介質具有宏觀均勻特征,且孔隙中的填充流體為理想流體,這兩個方面的假設往往與實際介質的特性不符.自然界孔隙介質中的流體往往具有黏性應力,并且孔隙介質中普遍存在孔隙結構非均勻的特性[14,15].Biot 理論忽視了這兩方面的影響,這可能使得相關的理論和方法在描述實際問題時呈現明顯的不足.隨著非常規(guī)油氣勘探開發(fā)的深入,對復雜孔隙地層井孔聲場理論的改善越來越重要,這將為井孔聲波的處理和解釋開辟新的應用前景.

孔隙流體黏滯性影響方面,Liu 和 Katsube[16]提出由于流體的黏滯效應,孔隙介質中固、液兩相除相對平動外,還存在相對轉動,因此,固液分界面上會出現一種新橫波,它的高頻散、強衰減也是孔隙介質中波傳能量耗散的原因之一.魏修成等[17]基于Biot 理論,提出了含黏性流體VTI孔隙介質模型,理論上推導出兩種新的慢SV 波和慢SH 波的存在.Gao[18]基于Biot 理論,從液體黏彈性本構關系出發(fā),建立了黏性多孔模型,該模型中會出現一種新的慢橫波,主要在流體中傳播.Sahay[19]從孔隙尺度的本構關系出發(fā),利用體積平均法和牛頓流變理論,推導出了均勻孔隙介質中黏性修正的Biot 理 論(viscosity-extended Biot theory,VEB理論),預測了慢橫波的存在并描述了其傳播特性.

在孔隙介質的非均勻性的影響方面,也有很多學者做了相關工作.由于孔隙內部結構的非均勻性,孔隙流體在波激勵下將發(fā)生局部流體流動,造成彈性波能量的損失.在Biot 理論的框架內,這種機制可以理解為快縱波散射轉化為慢縱波的過程[20,21].Mavco 和Nur[22]基于單個孔隙的非均勻結構提出了噴射流理論.Dvorkin 和 Nur[23]同時考慮了含流體巖石內部的Biot 流與噴射流,提出了BISQ 理論.崔志文等[24]基于BISQ 模型研究了非牛頓流體飽和孔隙介質中彈性波的頻散與衰減.Berryman和Wang[25]采用雙孔模型研究了雙孔雙滲介質中彈性波的頻散與衰減.在真實地球材料中,孔隙結構的非均質性常以隨機方式在空間上分布,隨機方法具有更廣泛的適用性[26,27].Müller 和Gurevich[21]采用隨機分布函數研究了快縱波到慢縱波的轉換散射效應,利用統(tǒng)計波傳播理論分析了相干波場的動態(tài)特性.Müller 和Sahay[28,29]將該方法擴展到含黏性流體孔隙介質中,基于VEB 理論研究了慢橫波的散射對快縱波及慢縱波的影響,該過程涉及孔隙流體黏性邊界層內部的剪應力平衡,與孔隙尺度的非均質性有關.

綜上所述,針對Biot 理論中未考慮流體黏滯性及非均勻性的影響,前人分別開展了一系列的工作.其中,VEB 理論從孔隙尺度出發(fā)引入孔隙流體的黏性應力,彌補了Biot 理論的本構關系中對流體黏性應力項的缺失;同時,隨機轉換散射理論可以分析由非均勻孔隙結構導致的散射衰減,解決了Biot 理論未考慮介質非均勻性的問題.因此,本文的工作綜合這兩方面工作的優(yōu)勢,深入地研究了流體黏滯性及孔隙結構的非均勻性對孔隙介質中聲波傳播的影響,并進一步研究了井孔聲場中模式波及全波的傳播特征.本文的基本結構如下: 首先,描述了VEB 理論的固相與流相的本構關系,結合運動方程,利用平面波分析的方法計算了含黏性流體孔隙介質中四種體波的波數,著重分析了慢橫波的傳播特征隨孔隙介質參數的變化;接著,針對非均勻孔隙結構的影響,利用隨機轉換散射理論,分析了不同非均勻孔隙介質中慢橫波的擴散對彈性波的影響;最后,推導了含黏性流體孔隙介質井孔聲場理論,計算了非均勻孔隙地層中井孔模式波的頻散特征及全波波形,分析了孔隙流體黏度對井孔聲波的影響.

2 含黏性流體孔隙介質波動理論

2.1 VEB 理論

自然界孔隙介質中的流體多為牛頓流體,不僅存在流體壓力,還存在黏性應力.Biot 理論中的本構方程忽略了流體黏性應力.為此,Sahay[19]從孔隙尺度出發(fā),提出了VEB 理論,推導出宏觀均勻含黏性流體孔隙介質的本構關系:

與Biot 理論對比可發(fā)現,VEB 理論中孔隙流體的本構方程多了與黏滯流體速率相關的流體剪切應力項.對于飽含流體孔隙介質的研究,體積黏度可忽略,因此,本文主要考慮流體剪切應力的影響.將本構關系((1)式—(3)式)代入流體飽和孔隙介質的運動方程[6]:

式中,τ為總應力;地層密度ρ=ρfη+ρs(1-η),ρf為孔隙流體密度,ρs為骨架密度;k0為靜態(tài)滲透率(單位為D,1 D=0.986923 × 10—12m2),附加質量ρa=(S-1)ρfη;S為彎曲度;u為骨架位移矢量,w=η(U -u) 為滲流位移矢量,U為孔隙流體位移矢量,上標點號表示對時間求導.假設位移矢量依 e-iωt隨時間變化,可以得到以u和w為基本量的彈性動力學方程:

在橫波波數的求解方法中,利用滲流位移矢量求得的橫波波數存在缺失,因此對于橫波波數的求解使用的是(8)式中的流體位移矢量,得到橫波波數滿足的方程為:

對方程進行求解可以得到兩種縱波和兩種橫波的波數.

2.2 體波頻散與衰減分析

為了分析含黏性流體孔隙介質中體波的傳播特征,根據2.1 節(jié)中求得的體波波數,進一步通過下式計算體波的相速度和衰減:

其中ki表示四種體波的波數;V為相速度;Q -1為衰減.圖1 展示了VEB 理論與Biot 理論中體波的頻散與衰減曲線,計算時所用的相關參數如表1 所列[30].在本文后續(xù)的計算中,若無特別說明,選取的基礎參數均如表1 所列.由圖1(a)—(c)可以看出,均勻孔隙介質中,VEB 理論計算的快橫波、快縱波、慢縱波與Biot 理論一致.此外,由于VEB理論中考慮了流體的黏性應力,因此還多了一種慢橫波(圖1(d)).慢橫波的頻散很強,其相速度隨頻率的增大而增大,衰減隨頻率的增大先減小,當頻率到達Biot 弛豫頻率(10.6 kHz)后,衰減系數保持不變,此時慢橫波為擴散波.Biot 弛豫頻率是劃分黏性主導區(qū)與慣性主導區(qū)的特征頻率[5].慢橫波的相速度小,波長短,它在其產生源附近迅速衰減,因此很難被直接地觀測到.

表1 孔隙介質參數Table 1.Parameters of porous media.

圖1 四種體波的相速度與衰減 (a) 快縱波;(b) 快橫波;(c) 慢縱波;(d) 慢橫波Fig.1.Phase velocity and attenuation of four kinds of body waves: (a) Fast P-wave;(b) fast S-wave;(c) slow P-wave;(d) slow S-wave.

為了進一步研究慢橫波在不同孔隙介質中的傳播特征,接著分析了孔隙介質物性參數(孔隙度、滲透率、孔隙流體黏度)的變化對慢橫波的影響,孔隙度分別取0.1,0.2,0.3;滲透率分別取0.01,0.10 和1.00 D;流體黏度分別取0.0001,0.0010 和0.0100 Pa·s,結果如圖2 所示.

從圖2 中可以看出,慢橫波的相速度隨孔隙度的減小而增大,隨滲透率減小而減小,但高達一定頻率后,孔隙度和滲透率的變化對慢橫波的相速度沒有影響.低于一定頻率時(約10 kHz),黏度越大,慢橫波相速度速度越小,高于一定頻率時(約80 kHz),黏度越大,相速度越大.對于慢橫波的衰減,中低頻率下,孔隙度越小,滲透率越大,流體黏度越小,衰減越小.在圖2(c)中,頻率為10 MHz時,慢橫波的速度可達10 m/s.經計算,頻率更高時,慢橫波的速度可達到幾十上百米每秒,這與盧明輝等[31]的研究結果相近.因此,在多孔材料的無損檢測中,檢測頻率較高時,更容易檢測到慢橫波并進一步研究其傳播特性.

圖2 慢橫波的相速度與衰減隨孔隙介質參數的變化 (a) 孔隙度;(b) 滲透率;(c) 流體黏度Fig.2.Variation of phase velocity and attenuation of slow shear wave with porous media parameters: (a) Porosity;(b) permeability;(c) fluid viscosity.

2.3 非均勻介質中慢橫波對縱波的影響

孔隙介質中,流體的速度場由兩部分組成: 勢流場與黏性邊界層流場[32].儲層巖石是常見的孔隙介質,實驗室測量表明,由于不同的粒度和流體流動通道,巖石存在微觀尺度上的不均勻性[33].非均勻性將導致黏性邊界層中波誘導的渦度擴散,黏性流體中的剪切應力通過渦度擴散平衡,并引起的彈性波衰減和頻散,該過程可視為彈性波到慢剪切波的轉換散射過程[34].Müller 和Sahay[28]將非均勻孔隙介質假設為隨機介質,基于VEB 理論,利用隨機過程理論和統(tǒng)計平滑的方法,研究了快縱波到慢橫波的轉換散射過程,導出了快縱波有效波數表達式:

圖3 均勻及不同非均勻孔隙介質中快縱波的相速度與衰減Fig.3.The phase velocity and attenuation of fast P wave in homogeneous porous medium and different inhomogeneous porous media.

除了與快縱波的相互作用,慢縱波與慢橫波也將產生轉換散射作用.該過程主要發(fā)生在頻率高于Biot 弛豫頻率時,此時慢縱波的衰減較小,為傳播的波,相應有效慢縱波的表達式與(13)式類似.慢縱波主要在流體中傳播,受到隨頻率變化的孔隙流體的運動狀態(tài)的影響.Müller 和Sahay[29]將慢縱波對慢橫波的散射效應轉換為動態(tài)滲透率,提出隨機動態(tài)滲透率模型:

圖4 k(ω)的歸一化幅值與相位Fig.4.Normalized amplitude and phase of k (ω) .

3 非均勻孔隙地層井孔聲場

聲波在井孔中的傳播是聲學測井的物理基礎,能否獲取準確的地層信息,關鍵在于理論分析得到孔隙介質井孔聲場與實際情況是否相符.以往基于Biot 理論的井孔聲場理論未考慮孔隙流體黏性應力及地層非均質性的影響,存在一定的誤差[35,36].本節(jié)根據VEB 理論,推導了含黏性流體的孔隙介質地層中單極子源井孔聲場的解析解,并研究了非均勻孔隙介質中井孔模式波及全波波形的特征.

3.1 井孔聲場理論

在柱坐標系(r,θ,z)下,建立了含黏性流體的非均勻孔隙地層井孔模型,如圖5 所示,井孔半徑a為0.1 m,聲場由位于井軸上的單極子聲源激發(fā),井內充滿理想流體,井外是無限大黏性流體飽和的非均勻孔隙地層.

圖5 非均勻孔隙介質地層井孔模型Fig.5.Borehole model of heterogeneous porous media formation.

由于井內為理想流體,因此井內聲場只有壓縮波,對應的勢函數為φ.而井外孔隙介質地層中不僅含有壓縮波,還有剪切波,因此井外孔隙地層的勢函數為φ p1,φp2,ψs1,ψs2.結合軸對稱井孔問題求解方法,得到井內總聲場表達式如下:

其中k為軸向波數;表示井孔流體的徑向波數;kf為井孔流體波數,Km(x),Im(x)為Bessel 函數.同理,井外無源區(qū)域的聲場勢函數分別為

流體軸向剪應力為零

m矩陣中元素的表達式見附錄.解此方程,可得Af,Ap1,Ap2,As1,As2.至此,井內、井外聲場就完全確定了.

3.2 井孔模式波及波列特征

為了分析非均勻孔隙介質中,慢橫波的散射對井孔聲場的影響,本節(jié)將基于VEB 理論的有效快縱波波數((13)式)和動態(tài)滲透率模型((14)式)代入聲場的計算中,分析三種非均勻程度的孔隙地層中模式波及全波的特征.首先令m矩陣的行列式為零,可得到模式波波數滿足的頻散方程.單極子聲源在快速地層中可以激發(fā)出偽瑞利波和斯通利波,偽瑞利波存在截止頻率.圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)分別顯示了斯通利波,一階偽瑞利波,二階偽瑞利波在不同非均勻程度的孔隙地層中的相速度與衰減.由圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)中可觀測到,與均勻情況相比,模式波的相速度變化不大,且非均勻介質中的相速度略大于均勻介質的相速度.此外,衰減的變化與相速度相比更為明顯,且非均勻介質中斯通利波與偽瑞利波的衰減比均勻介質中的小,但是孔隙介質非均勻性程度的大小對模式波特征的影響不大.在頻率為10 kHz 下,斯通利波在均勻介質中的衰減與其在非均勻程度為0.15 的介質中的衰減相比相差17.0%,一階偽瑞利波的衰減在兩種介質下相比相差36.8%.模式波的變化與孔隙地層中的慢縱波的傳播密切相關.由于孔隙地層的滲透性,井孔模式波的能量被地層慢縱波帶入孔隙地層中,從而造成模式波的頻散和衰減,滲透性越大,模式波的衰減越強.慢縱波與模式波的相互作用與動態(tài)滲透率有關,非均勻孔隙介質中,動態(tài)滲透率的變化受到由慢縱波到慢橫波的轉換散射過程控制,進一步影響到井孔模式波的特征.由圖4可知,隨著頻率的增大,動態(tài)滲透率歸一化幅值變小,表示地層慢縱波帶走的能量減少,從而斯通利波與偽瑞利波的衰減減小.而均勻介質中并未考慮動態(tài)滲透率的影響,因此計算得到的模式波有較大的衰減.

聲波全波列波形能直觀反應地層縱波、橫波、斯通利波等波形的幅度與到時.本節(jié)進一步利用實軸積分法,計算了非均勻含黏性流體孔隙介質中的井孔全波波形,并與均勻介質中的波形進行對比.聲源采用余弦包絡脈沖形式,對應的函數表達式為

式中,f0為聲源中心頻率;T為聲源脈沖寬度.

圖7(a)顯示了常規(guī)單極子測井的井孔全波波形,其中f0為12 kHz,T為0.3 ms,源距為4 m.圖7(b)為8 道陣列全波波形,第一道波形的源距為3.048 m,相鄰道之間的間距為0.1524 m.從圖7(a)可以看出,全波波形按先后順序依次為快縱波、快橫波、偽瑞利波和斯通利波.由于慢橫波的散射作用,井孔接收到的快縱波的到達時間發(fā)生了明顯的滯后,聲壓幅度也減小,介質非均勻程度越大,快縱波到時滯后越多,衰減越明顯,這與圖3的計算結果相符.同時能看出,非均勻介質中的偽瑞利波與斯通利波的幅度與均勻介質中相比,明顯變大,而非均勻程度對模式波的影響不大,這與圖6展示的結果相符.圖7(b)中不同源距下波形的變化與圖7(a)中單道波形的變化一致.

圖6 模式波的相速度與衰減 (a) 斯通利波;(b) 一階偽瑞利波;(c) 二階偽瑞利波Fig.6.Phase velocity and attenuation of mode waves: (a) Stoneley wave;(b) the first order pseudo Rayleigh wave;(c) the second order pseudo Rayleigh wave.

圖7 全波波形 (a) 源距為4 m 時的單道波形;(b) 8 道陣列全波波形Fig.7.Full wave waveform: (a) Single channel waveform at source distance of 4 m;(b) 8-channel array full wave waveform.

以上結果表明,在含黏性流體孔隙介質中,非均勻孔隙尺度上慢橫波的散射作用將對快縱波和慢縱波產生影響,進一步導致井孔模式波傳播特征的改變.快縱波受到孔隙介質非均勻程度的影響較大,而模式波受到非均勻程度的影響較小.均勻介質假設下的井孔聲波中,快縱波的幅值偏大,而偽瑞利波及斯通利波的幅值偏小,這是該假設在實際應用與解釋中存在很大誤差的原因之一.對孔隙介質非均質性的考慮完善了Biot 理論的不足,相應的理論結果對實際孔隙地層中井孔波形的分析具有更好的指導意義.

為了更全面地認識非均勻飽含黏性流體孔隙介質井孔聲波的特征,接著分析了全波波形隨孔隙流體黏度的變化.一般而言,地層溫度隨著深度的增加而變高,這使孔隙地層中流體的黏度也隨之變化.表2 給出了水在三種不同溫度下的黏度.假設孔隙介質非均勻程度Δ=0.05 .圖8(a)和圖8(b)分別顯示了低頻斯通利波測井下(f0=2 kHz,T=1.5 ms)及常規(guī)單極子聲波測井下(f0=12 kHz,T=0.3 ms)的井孔波形隨流體黏度的變化.從圖8(a)和圖8(b)可以看出,低頻下,斯通利波的幅度隨著黏度的減小而減小,而高頻下,偽瑞利波及斯通利波的幅度隨著黏度的減小而增大,快縱波隨黏度的變化不明顯.這表明,孔隙介質中流體的黏度對井孔接收到的模式波有很大的影響,聲源的中心頻率不同,黏度對模式波的影響不同.斯通利波在孔隙介質滲透率反演中具有重要的作用,圖9 進一步給出了斯通利波相速度與衰減隨流體黏度的變化.其中,低頻時,流體黏度越大,斯通利波的速度越小,高頻時,流體黏度對速度基本沒有影響;而對于衰減,低頻范圍流體黏度的變化對衰減的影響很大,且黏度越大,衰減越小,高頻時,黏度的影響減小,但黏度越大,衰減越大.因此,在應用井孔斯通利波進行滲透率等地層信息的提取中,有必要考慮和消除孔隙流體黏度的影響,以減少參數反演的誤差.

表2 水在不同溫度下的黏度Table 2.Viscosity of water at different temperatures.

圖8 低頻斯通利波測井(a)及常規(guī)單極子測井(b)的全波波形Fig.8.Full wave waveform of low-frequency Stoneley wave logging (a) and conventional monopole logging (b).

圖9 斯通利波的相速度與衰減隨孔隙流體黏度的變化Fig.9.Phase velocity and attenuation of Stoneley wave changing with pore fluid viscosity.

4 結論

本文基于VEB 理論和轉換散射理論,推導了非均勻含黏性流體孔隙介質中的波動理論,進一步應用于井孔聲波的計算中,分析了井孔模式波及全波的特征.結果表明:

1) 考慮孔隙流體的黏性應力后,孔隙介質中還存在一種慢橫波,在一定頻率下,孔隙度越小,滲透率越大,孔隙流體黏性越小,慢橫波速度越大,衰減越小;

2) 快縱波到慢橫波的轉換散射過程將導致快縱波的頻散和衰減,孔隙介質的非均勻程度越大,對快縱波的影響越大;

3) 非均勻孔隙介質中的井孔模式波與均勻孔隙介質中明顯不同,在動態(tài)滲透率模型下,模式波的幅度明顯增大.介質非均勻程度對模式波的影響較小,但孔隙流體黏度對模式波的影響較大.不同聲源頻率下,模式波隨孔隙流體黏性的變化規(guī)律存在差異.

附錄 m 矩陣元素的表達式

其中ap1,ap2,as1,as2分別表示滲流流體與骨架中對應的快縱波、慢縱波、快橫波與慢橫波位移勢的比值.