吳曉東 黃端

1) (福建工程學(xué)院管理學(xué)院,福州 350118)

2) (中南大學(xué)計算機(jī)學(xué)院,長沙 410083)

往返式離散調(diào)制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā),無需使用兩臺獨立的激光器也能本地生成本振光,并且信號光與本振光均來自于同一臺激光器,在有效保證系統(tǒng)實際安全性的同時,具有較好的同頻特性.此外,該方案與高效糾錯碼具有良好的兼容性,即使在低信噪比情況下也能獲得較高的協(xié)商效率.然而,基于非可信信源模型的往返式光路結(jié)構(gòu)存在較大的過噪聲,嚴(yán)重限制離散調(diào)制方案的最大傳輸距離.針對這個問題,本文提出基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案,即在探測端部署非高斯態(tài)區(qū)分探測器,采用自適應(yīng)測量方法并結(jié)合貝葉斯推論,可以在滿足低于標(biāo)準(zhǔn)量子極限錯誤概率的情況下無條件區(qū)分出基于四態(tài)離散調(diào)制的四種非正交相干態(tài).本文詳細(xì)分析了所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案的安全性,包括漸近情況與有限長效應(yīng)情況.仿真結(jié)果表明所提出的方案相比于原始方案,即使在有信源噪聲的情況下,其密鑰率與最大傳輸距離仍然有明顯的提升.這些結(jié)果表明本方案能夠有效降低往返式離散調(diào)制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案中非可信信源噪聲對方案性能的負(fù)面影響,在保證系統(tǒng)實際安全性的同時,實現(xiàn)更高效、更遠(yuǎn)傳輸距離的量子密鑰分發(fā).

1 引言

量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution,QKD)[1-3]作為最成熟的量子密碼技術(shù)之一,允許相隔兩地的合法雙方Alice 與Bob 在由攻擊者Eve控制的不安全量子信道下生成安全密鑰.基于量子力學(xué)的基本定律,理想化的QKD 方案已被證明是無條件安全的[4,5].目前采用的QKD 方案主要可分為兩種: 離散變量(discrete variable,DV)QKD[6-8]與連續(xù)變量(continuous variable,CV)QKD[9-12].DV-QKD 主要依賴于造價高昂的單光子探測器技術(shù),而CV-QKD 則是通過采用達(dá)到散粒噪聲的相干探測器來提供安全性.與DV-QKD 相比,CVQKD 由于具有較高的探測效率以及易融于現(xiàn)有的光通信系統(tǒng)而備受關(guān)注.

在眾多類型的CV-QKD 方案中,高斯調(diào)制相干態(tài)(Gaussian modulated coherent state,GMCS)方案的應(yīng)用最為廣泛[13].GMCS QKD 方案在實驗室[14-17]以及現(xiàn)場試驗[18]中均已被證明具有較好的可行性.在傳統(tǒng)的GMCS QKD 實驗方案中,為了獲得用于信號探測的固定相位基準(zhǔn),發(fā)送方Alice將信號光與本振光安排在同一條量子信道中進(jìn)行傳輸[13].然而,這種傳輸方式會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)安全漏洞.目前已報道的針對實際CV-QKD 系統(tǒng)的攻擊策略包括本振光抖動攻擊[19]、波長攻擊[20]、校準(zhǔn)攻擊[21]以及飽和攻擊[22],這些攻擊策略均與CVQKD 系統(tǒng)中本振光的安全漏洞有關(guān).此外,將光強(qiáng)度較高的本振光通過有損信道進(jìn)行發(fā)送會大大降低QKD 的效率.

為了解決這些問題,2015 年,Qi 等[23]與Soh等[24]課題組各自獨立提出單向本地本振(local local-oscillator,LLO)CV-QKD 方案,即在接收端用另外一臺獨立的激光器本地生成本振光.之后,LLO CV-QKD 方案得到進(jìn)一步的拓展研究[25-28].在單向LLO CV-QKD 方案中無需將本振光與信號光一起進(jìn)行傳輸,因此能夠有效抵御針對本振光的攻擊策略.然而,單向LLO CV-QKD 方案在實施過程中存在眾多技術(shù)挑戰(zhàn),比如需要保證所使用的兩臺獨立激光器能夠生成同頻率的信號光與本振光,對信號光進(jìn)行相干探測時需要進(jìn)行相位補(bǔ)償?shù)?此外,單向LLO CV-QKD 系統(tǒng)中存在的由環(huán)境擾動引起的偏振漂移,光纖長度波動以及兩臺獨立激光器頻率的不穩(wěn)定性都會導(dǎo)致單向LLO CVQKD 方案性能及安全性降低.

為了解決單向LLO CV-QKD 方案中存在的不足,2016 年,Huang 等[29]提出本地本振往返式CV-QKD 方案.該方案無需采用兩臺獨立的激光器來實現(xiàn)“本地本振”,因此具有較好的同頻特性.不僅如此,往返式的光路結(jié)構(gòu)可以對系統(tǒng)的偏振變化進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償,從而更能夠適應(yīng)及滿足實地應(yīng)用的需求.

本地本振往返式CV-QKD 方案雖然能夠很好地解決LLO CV-QKD 方案中所存在的不足,保證系統(tǒng)的實際安全性,但往返式GMCS CV-QKD 方案相比于單向點對點GMCS CV-QKD 方案,其系統(tǒng)中存在有更大的過噪聲,并且在低信噪比遠(yuǎn)距離傳輸?shù)那闆r下其協(xié)商效率非常低,嚴(yán)重限制了往返式GMCS CV-QKD 方案的最大傳輸距離.解決這個問題的方法是設(shè)計一種比LDPC 碼更適用于低信噪比環(huán)境下的完美糾錯碼,然而設(shè)計并實施這樣的一種糾錯碼復(fù)雜度高,并且所需的硬件成本也高.而另外一種解決的方法是采用離散調(diào)制.2002年,Silberhorn 等[30]最早將離散調(diào)制用于CV-QKD方案中.2009 年,Leverrier 和Grangier[31]對離散調(diào)制CV-QKD 的安全性進(jìn)行證明并且發(fā)現(xiàn)離散調(diào)制(如四態(tài)調(diào)制)在低信噪比環(huán)境下可以獲得更好的協(xié)商效率,從而實現(xiàn)更遠(yuǎn)距離的量子密鑰分發(fā).在離散調(diào)制CV-QKD 方案中,發(fā)送方準(zhǔn)備一定數(shù)量的非正交相干態(tài)(如四態(tài)調(diào)制,非正交相干態(tài)的數(shù)量為4),并且利用所測量的每個相干態(tài)正則分量的符號來對密鑰率比特進(jìn)行編碼.所測量的正則分量的符號為離散值,即使在低信噪比條件下,也能夠很好地與高效糾錯碼配合使用.因此離散調(diào)制可以有效提高CV-QKD 方案的最大傳輸距離.

雖然高性能零差或外差探測器能夠有效測量所接收到的量子信號,然而相干探測器中所固有的不確定性(電噪聲)仍然會阻礙非正交相干態(tài)的精確分辨[32-34].即使所采用的探測器為理想探測器(量子效率為1),接收方仍然無法獲得精確的測量結(jié)果.傳統(tǒng)的理想探測器僅能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限(standard quantum limit,SQL),SQL 的定義是可以通過直接測量信號光的物理性質(zhì)來區(qū)分非正交相干態(tài)所獲得的最小誤差.實際上,量子力學(xué)允許存在一個被稱為Helstrom 界的誤差下限,這個下限可以通過設(shè)計一種優(yōu)秀的態(tài)區(qū)分策略來獲得[35].2013 年,Becerra 等[32]提出了一種性能良好的態(tài)區(qū)分探測器用于無條件區(qū)分正交相移鍵控(quadrature phase-shift keying,QPSK)調(diào)制中的4 個非正交的相干態(tài).該探測器通過利用光子計數(shù)及以快速反饋的形式進(jìn)行的自適應(yīng)測量的方式,從而接近或達(dá)到Helstrom 界.因此,采用性能良好的態(tài)區(qū)分探測器能夠有效提升CV-QKD 方案的性能[36].

基于上述本地本振往返式光路結(jié)構(gòu)、離散調(diào)制的使用優(yōu)勢,并且針對往返式光路結(jié)構(gòu)中所存在的非可信信源噪聲對方案性能的負(fù)面影響,本文提出基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CVQKD 方案,即在探測端部署非高斯態(tài)區(qū)分探測器.所采用的態(tài)區(qū)分探測器可以滿足在低于SQL 錯誤概率的情況下無條件區(qū)分出基于QPSK 調(diào)制的4種非正交相干態(tài),即使往返式光路結(jié)構(gòu)中存在信源噪聲的情況下,相比于原始往返式離散調(diào)制CVQKD,本文所提出的方案仍能夠有效提升密鑰率與最大傳輸距離,從而能夠獲得更好的系統(tǒng)魯棒性.本文第2 節(jié)詳細(xì)描述了所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案;第3 節(jié)對所提出的方案的安全性進(jìn)行分析,包括漸近情況與有限長效應(yīng)情況下方案的安全性;第4 節(jié)總結(jié)全文.

2 基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案

首先介紹基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 的制備-測量方案,之后介紹與之等價的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 的糾纏模型方案,最后介紹部署在探測端的非高斯態(tài)區(qū)分探測器原理.

2.1 基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 制備-測量方案描述

在基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 的制備-測量(prepare-and-measure,PM)方案中,Alice 將其中一束光強(qiáng)較高的經(jīng)典光進(jìn)行保留,用作本振光,而將另外一束光強(qiáng)較弱的經(jīng)典光(同一個激光器生成)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)的光纖信道后發(fā)送給Bob,如圖1 所示.Bob 在接收到由Alice發(fā)送的經(jīng)典光后,對其進(jìn)行離散調(diào)制.為了簡化分析,此處主要分析離散調(diào)制中的四態(tài)方案[31].在四態(tài)調(diào)制方案中,Bob 從4 種類型的調(diào)制相干態(tài)中隨機(jī)選取其中一種,然后借助于法拉第鏡,經(jīng)過透過率為T、過噪聲為ξ的不可信信道反射回Alice 端.當(dāng)經(jīng)過非可信信道后,探測方Alice 利用分束器將發(fā)送過來的信號光一分為二,其中光強(qiáng)較高的信號光束(包含大多數(shù)光子)用于進(jìn)行零差探測,而光強(qiáng)較低的信號光束(包含少數(shù)光子)則同步發(fā)送到態(tài)區(qū)分探測器中.則Alice 所接收到的混合量子態(tài)γ4=并對其進(jìn)行零差探測,方案中Bob 端的離散調(diào)制方差VB=2α2,Alice 端實際零差探測器的量子效率為η,電噪聲為υel,探測方Alice 的輸入噪聲為χhom.最后,經(jīng)過經(jīng)典后處理,Alice 和Bob 共享一串密鑰.需要指出的是圖1 中所示的信源由不可信第三方Fred 控制,并且為了更好地量化往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案中的非可信信源過噪聲,圖1 中采用增益參數(shù)為g的相位非敏感放大器(phase-insensitive amplifier,PIA)來對方案中的非可信信源過噪聲進(jìn)行描述[29].需要指出的是,在實驗環(huán)境中,往返式結(jié)構(gòu)CV-QKD方案中的非可信信源噪聲包含攻擊者Eve 對信源進(jìn)行竊聽所引入的過噪聲、Alice 進(jìn)行脈沖調(diào)制所引入的噪聲、Bob 端調(diào)制所引入的噪聲以及激光器的相位噪聲[29].在往返式結(jié)構(gòu)CV-QKD 方案中,由于本振光并不隨著信號光一起在信道中傳輸,而是可以直接在Alice 端本地生成,因此不會產(chǎn)生后向散射而引入系統(tǒng)過噪聲.與單向CV-QKD 方案不同的是,在往返式結(jié)構(gòu)的CV-QKD 方案中,Alice端為探測端,Bob 主要負(fù)責(zé)信號調(diào)制,即發(fā)送端.

圖1 基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 制備-測量方案圖.DM 為離散調(diào)制,RNG 為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器,M 為調(diào)制器,QPSK 為正交相移鍵控,PIA 為相位非敏感放大器,FM 為法拉第鏡,BS 為分束器,LO 為本振光,T 表示非可信信道的透過率,ξ 表示信道過噪聲,g 表示相位非敏感放大器的增益參數(shù)Fig.1.Prepare-and-measure version of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection.DM,discrete modulation;RNG,random number generator;M,modulator;QPSK,quadrature phase shift keying;PIA,phase insensitive amplifier;FM,Faraday mirror;BS,beam splitter;LO,local oscillator;T,transmission efficiency;ξ,channel excess noise;g,gain parameters of phase insensitive amplifier.

2.2 基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 糾纏模型方案

由于PM 方案不利于進(jìn)行安全性分析,因此介紹與之等價的糾纏模型(entanglement-based,EB)方案,如圖2 所示.Fred 制備糾纏態(tài),其中模B發(fā)送給Bob,模A0則經(jīng)過非可信信道發(fā)送給Alice.模A0與B的正則分量分別為以及〈 XB〉=〈PB〉=V,其中V=VB+1 并且非可信信源過噪聲ξ0=(g-1)+(g-1)VI.此處VI表示真空態(tài)的噪聲方差,g(g≥1) 表示PIA 的增益參數(shù),用于衡量往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案中的非可信信源過噪聲ξ0的大小[29].Bob 利用外差探測器對模B進(jìn)行測量,而模A0經(jīng)過非可信信道后轉(zhuǎn)換為模A1,Alice 對所接收到的模進(jìn)行零差探測.值得一提的是,在圖2 中,采用透過率為η的分束器以及方差為ν的輔助EPR 糾纏態(tài)來分別模擬Alice 端實際探測器的量子效率與電噪聲.圖2中M1和M2表示輔助EPR 糾纏態(tài)的一對糾纏模,并且M2與A2經(jīng)分束器相互作用后得到模M3與A3.當(dāng)經(jīng)過非可信信道后,探測方Alice 利用分束器將發(fā)送過來的模A1一分為二,即模A2和模C.其中模A2(包含大多數(shù)光子)用于進(jìn)行零差探測,而模C(包含少數(shù)光子)則同步發(fā)送到態(tài)區(qū)分探測器中用于提升系統(tǒng)性能.當(dāng)Alice 和Bob 收集到足夠多相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)時,就可以利用經(jīng)過認(rèn)證的公共信道進(jìn)行參數(shù)估計.最后,經(jīng)過信息協(xié)商和保密增強(qiáng),Alice 和Bob 就可以獲得一串共享密鑰.歸結(jié)于信道輸入端的總附加噪聲χline=1/T -1+ξ,其中T表示信道透過率,ξ表示信道過噪聲.

圖2 基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 糾纏模型原理圖Fig.2.Schematic diagram of the entanglement-based (EB) model of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on state-discrimination detection.

需要指出的是在往返式CV-QKD 方案中,Fred由攻擊者Eve 控制,屬于不可信的第三方.在EB方案中采用糾纏態(tài)來等價描述PM 方案中的帶噪信源,糾纏態(tài)在往返式CV-QKD 方案中本質(zhì)上是雙模糾纏態(tài),其計算方式與傳統(tǒng)的雙模壓縮真空態(tài)的計算方式一樣.而當(dāng)Fred 是中立的第三方時,由于Fred 不受Eve 控制,即與Eve沒有關(guān)聯(lián),在這樣情況下可認(rèn)為Fred 是與Alice及Bob 等價的合法通信方,則此時糾纏態(tài)就變成三模糾纏態(tài)[37-39].

其中I2表示 2×2 的單位矩陣,σ z=diag(1,-1),并且

值得一提的是,在糾纏模型中,Eve 能夠?qū)α孔有诺肋M(jìn)行替換從而可以進(jìn)行糾纏克隆攻擊[40-42].在該攻擊策略中,Eve 制備方差為R的輔助態(tài)|E〉來進(jìn)行信息竊取,所替換的量子信道透過率為T,并且Eve 可以通過調(diào)整R的值來對應(yīng)匹配真實信道的噪聲χline=(1-T)/T+ξ.Eve 將輔助糾纏態(tài)|E〉其中一個模E2注入到分束器其中一個未使用端口,從而獲得模E3,而對另一個模E1進(jìn)行保留.當(dāng)有脈沖經(jīng)過信道時,Eve 都會重復(fù)上述過程,并將所收集到的輔助模E1和E3用量子存儲器進(jìn)行存儲.最后,基于Alice 和Bob 所公布的經(jīng)典通信信息,Eve 能夠精確測量E1和E3的正交值.

圖1 中制備-測量方案與圖2 中糾纏模型方案兩者等價處如下.

1)圖1 制備-測量方案中,由于往返式結(jié)構(gòu)CVQKD 信源是從Alice 發(fā)送給Bob,第三方Fred 可以對該經(jīng)典信源進(jìn)行控制.Bob 在接收到由Alice 發(fā)送的經(jīng)典光后,對其進(jìn)行離散調(diào)制,即從4 種類型的調(diào)制相干態(tài)k=0,1,2,3}中隨機(jī)選取其中一種,然后借助于法拉第鏡,經(jīng)過透過率為T并且過噪聲為ξ的不可信信道反射回Alice,這個過程等效為圖2 中Fred 制備一個方差為V=VB+1 的糾纏態(tài)(記為|Φ〉),其中模B發(fā)送給Bob,模A0則經(jīng)過非可信信道發(fā)送給Alice.Bob 對模B進(jìn)行保留,并用外差探測進(jìn)行投影測量|Φ〉〈Φ|,如果Bob 得到的測量結(jié)果為k,這就相當(dāng)于制備了相干態(tài),從而實現(xiàn)了往返式離散調(diào)制.此處V B=2α2即為圖1中制備-測量模型的調(diào)制方差.

2)圖1 中,在探測方Alice 處實際探測器的量子效率η等效為圖2 中透率為η的分束器,圖1 中實際探測器的電噪聲υel則對應(yīng)于圖2 中方差為ν的輔助EPR 糾纏態(tài)其中一模式M2通過分束器后所引入的過噪聲.對于圖1 中制備-測量方案,探測方Alice 的輸入噪聲為χhom,則圖2 中輔助EPR糾纏態(tài)方差ν的選擇應(yīng)滿足探測器的總噪聲在糾纏模型中同樣為η χhom,因此在圖2 糾纏模型中,

綜上所述,圖1 中的制備-測量方案等價于圖2中糾纏模型方案.

2.3 部署在探測方Alice 處的非高斯態(tài)區(qū)分探測器原理

部署在探測方Alice 處的非高斯態(tài)區(qū)分探測器原理如圖3 所示.該量子探測器可以滿足在低于標(biāo)準(zhǔn)量子極限(standard quantum limit,SQL)錯誤概率的情況下無條件區(qū)分出基于四態(tài)離散調(diào)制的4 種非正交相干態(tài).由圖3 可知,本方案所采用的態(tài)區(qū)分探測器能夠?qū)ο喔蓱B(tài)|α〉進(jìn)行W次自適應(yīng)測量.對于每次探測i(i ∈{0,1,···,W}),態(tài)區(qū)分探測器以當(dāng)前經(jīng)典寄存器中的數(shù)據(jù)為基準(zhǔn),制備一個具有最高概率的預(yù)測量子態(tài)之后利用位移算符D(δi) 對相干態(tài)|α〉進(jìn)行位移變換,使得|α〉位移至隨后采用一個光子數(shù)分辨探測器(photon number resolving detector,PNRD)對位移場的光子數(shù)量進(jìn)行探測.假如探測得到表明預(yù)測態(tài)是正確的,Λ0發(fā)生響應(yīng),主要原因是輸入場在位移置換的作用下被位移至真空,因此PNRD 無法探測到任何光子[32].需要指出的是,此處 Λ0響應(yīng)意味著態(tài)區(qū)分策略對所輸入的量子態(tài)進(jìn)行正確的預(yù)測,預(yù)測成功則給定類別標(biāo)記為h i=0,而預(yù)測失敗類別標(biāo)記則為h i=1 .經(jīng)過i次自適應(yīng)測量后,該策略根據(jù)當(dāng)前標(biāo)記集 ΞHist以及預(yù)測集采用貝葉斯推論,就能計算出所有可能態(tài)的后驗概率.在下一輪中,指定具有最高概率的量子態(tài)作為反饋的輸入態(tài).需要指出的是,在本輪中δi已被加入到預(yù)測集同其他歷史數(shù)據(jù)一起進(jìn)行迭代以計算可能態(tài)的后驗概率.因此,根據(jù)上述分析可知,所有可能態(tài)的概率在每一個反饋階段都在進(jìn)行動態(tài)更新,并且第i次反饋的后驗概率則會轉(zhuǎn)換為第i+1 次反饋的先驗概率.貝葉斯推論的規(guī)則其表達(dá)式可寫為

圖3 非高斯態(tài)區(qū)分探測器原理圖.PNRD 為光子數(shù)分辨探測器Fig.3.Schematic diagram of non-Gaussian state discrimination detector.PNRD,photon-number-resolving detector.

其中,Ppo({|α〉}|δi,hi) 表示后驗概率,Ppr({|α〉})表示先驗概率,Υ(hi|δi,{|α〉}) 表示對量子態(tài)|α〉進(jìn)行位移操作后所觀測到的結(jié)果hi的條件泊松概率,參數(shù)?表示標(biāo)準(zhǔn)歸一化因子.由于貝葉斯推論采用貝葉斯定理來對假設(shè)的概率進(jìn)行更新,屬于統(tǒng)計推論的一種方法,所給的信息越充分,推論也就越準(zhǔn)確.因此,輸入態(tài)|α〉在 經(jīng)過W次自適應(yīng)測量后,能夠由第W+1 的預(yù)測態(tài)|δW+1〉 所決定[34].

從數(shù)學(xué)的角度考慮,標(biāo)準(zhǔn)量子極限區(qū)分采用QPSK 調(diào)制的非正交相干態(tài),其失敗概率的表達(dá)式可寫為

表示QPSK 信號Gram 矩陣的特征值.由于在往返式方案中,Alice 為探測方,并且執(zhí)行零差探測,因此在所提出的方案中將非高斯態(tài)區(qū)分探測器與零差探測器并行部署在探測方Alice 處.基于此,量子態(tài)的探測結(jié)果由零差探測器與非高斯態(tài)區(qū)分探測器共同決定.此處,為了更好地描述態(tài)區(qū)分探測器對往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案性能的提升效果,可定義一個參數(shù),即提升因子Ω,其表達(dá)式可寫為[36]

3 方案安全性分析

本節(jié)在漸近情況[43]以及有限長效應(yīng)情況[44]下對基于非高斯態(tài)區(qū)分探測器的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案進(jìn)行安全性分析.

3.1 方案的漸近安全性

此處主要考慮反向協(xié)商下方案的漸近密鑰率,并且為了簡化分析,主要考慮探測端Alice 執(zhí)行零差探測的情況.為了獲得更加緊的安全界限,本方案假定第三方Fred 由攻擊者Eve 控制,則所提出方案的漸近密鑰率其表達(dá)式可寫為

其中I o(A:B)=ΩoptI(A:B) 表示引入非高斯態(tài)區(qū)分探測器的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案中Alice 與Bob 的互信息量,I(A:B) 表示未引入非高斯態(tài)區(qū)分探測器的原始方案中Alice 與Bob 的互信息量,參數(shù)β表示方案的協(xié)商效率,Ωopt表示所采用的非高斯態(tài)區(qū)分探測器的最優(yōu)提升因子,χ(A:E)表示Eve 從Alice 密鑰中所竊取的信息量Holevo 界.此處將光纖的衰減系數(shù)設(shè)為?,則光纖透過率的表達(dá)式T=10-?L/10,其中L表示光纖長度.原始方案中Alice 與Bob 的互信息量I(A:B)的表達(dá)式可寫為

接下來計算Alice 共扼零差探測器的加性噪聲歸結(jié)到信道輸入端,其表達(dá)式可寫為

其中,參數(shù)η和υel分別表示Alice 探測器的量子效率以及探測器電噪聲方差.

由于信道加性噪聲歸結(jié)到輸入端χline=1/T-1+ξ ξ,其中 表示非可信信道的過噪聲[25].則歸結(jié)到信道輸入端的總噪聲其表達(dá)式可寫為

為了計算參數(shù)χ(A:E),此處假定Eve 無法對Alice 系統(tǒng)中的不完美器件進(jìn)行攻擊.該噪聲評估模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于CV-QKD 實驗中[15,19,28,29].基于此種噪聲評估模型,Eve 和Alice 之間互信息量的Holevo 界χ(A:E) 的表達(dá)式可寫為

接下來分析基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案在漸近情況下的方案性能.涉及的仿真系統(tǒng)參數(shù)分別設(shè)定為V B=0.35,η=0.6,υel=0.05 .所提出方案的漸近密鑰率與傳輸距離在不同增益參數(shù)g=1,1.003,1.005,1.01 下的關(guān)系如圖4 所示,其中協(xié)商效率β=0.8 .此處g值的大小用于衡量非可信信源噪聲的強(qiáng)弱,即g值越大,方案的非可信信源噪聲強(qiáng)度越高.在圖4 中也仿真出了Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi(PLOB)界,該界限表示點對點量子通信性能的最終極限[45].圖4 中實線表示原始往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案的性能曲線,而虛線則表示所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CVQKD 方案的性能曲線.由圖4 可以觀察到,無論是在理想信源的情況(g=1,不存在信源噪聲)還是在實際信源的情況(g ＞1,存在非可信信源噪聲)下,所提出的方案性能始終優(yōu)于原始方案的性能.即使在實際信源的情況下(g ＞1),所提出的方案其漸近密鑰率與安全傳輸距離仍然顯著優(yōu)于原始方案的漸近密鑰率與安全傳輸距離,并且所提出方案的性能更接近PLOB 界.比如當(dāng)g=1.005 時,所提出方案的安全傳輸距離為90.8 km(綠色虛線),而原始方案的最大傳輸距離則不足50 km(綠色實線).這表明所提出的方案能夠有效抵御往返式系統(tǒng)中非可信信源噪聲對其性能產(chǎn)生的負(fù)面影響,相比于原始方案,受非可信信源噪聲的影響更小.

圖4 不同增益參數(shù) g 下基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案的漸近密鑰率和傳輸距離的關(guān)系Fig.4.The relationship between the asymptotic secret key rate of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the transmission distance under different gain g .

圖5 給出了所提出方案的漸近密鑰率與協(xié)商效率β在實際信源 (g=1.005) 以及不同的傳輸距離L=40,50,60,70 km 下的關(guān)系.圖中虛線表示所提出方案的性能曲線,實線表示原始方案的性能曲線.從圖5 可以觀察到,對于所提出的方案,協(xié)商效率β的可使用范圍隨著傳輸距離的增大而減小.相比于原始方案,本文所提出的方案在相同的傳輸距離以及協(xié)商效率下,其漸近密鑰率始終高于原始方案的漸近密鑰率.比如當(dāng)傳輸距離L=40 km 以及協(xié)商效率β=0.8,所提出方案的漸近密鑰率為0.004 bit/pulse,而原始方案的漸近密鑰率僅為0.00066 bit/pulse.不僅如此,所提出方案其協(xié)商效率β的可使用范圍顯著大于原始方案中協(xié)商效率β的可使用范圍.比如在L=40 km 的情況下,所提出方案的協(xié)商效率β的可使用范圍為[0.65,1],而原始方案協(xié)商效率β的可使用范圍僅為[0.775,1].

圖5 在實際信源(g=1.005)與不同傳輸距離 L 下,基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案的漸近密鑰率與協(xié)商效率的關(guān)系Fig.5.The relationship between the asymptotic secret key rate of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the reconciliation efficiency under practical source(g=1.005) and different transmission distance L .

圖6 給出了有無態(tài)區(qū)分探測器時,信噪比隨不同信源條件(增益參數(shù)g的不同)的變化曲線.從圖6 中可以發(fā)現(xiàn)在相同傳輸距離下,是否采用態(tài)區(qū)分探測,信噪比是存在差異的,即引入非高斯態(tài)區(qū)分探測器的方案(本文所提出的方案),其信噪比(實線)高于沒有引入非高斯態(tài)區(qū)分探測器的方案(稱為原始方案)的信噪比(虛線),并且隨著增益參數(shù)g的增大,信噪比逐漸降低.而由圖5 可知,所提出方案其協(xié)商效率的可使用范圍顯著大于原始方案中協(xié)商效率的可使用范圍.主要原因在于所提出的方案的互信息量I o(A:B) 要大于原始方案的互信息量I(A:B),而根據(jù)(17)式可知,互信息量的增大使得本文所提出方案的信噪比 S NRo大于原始方案的信噪比 S NR,因此信噪比的變化使得所提出方案的協(xié)商效率與原始方案的協(xié)商效率適用范圍不同.

圖6 不同傳輸距離下L 下,基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案的信噪比與增益參數(shù)g (不同的信源條件)的關(guān)系Fig.6.The relationship between the signal-to-noise ratio of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the gain g (different source conditions) under different transmission distance L.

3.2 有限長效應(yīng)情況下方案的安全性

在上述漸近安全性分析中,對所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案漸近密鑰率計算的前提是假定Alice 和Bob 可以采用無限多的信號進(jìn)行互換交流.然而這在實驗中是無法實現(xiàn)的,主要原因是實際安全密鑰的長度是有限的.因此有必要考慮有限長效應(yīng)情況下所提出方案的安全性.則反向協(xié)商下所提出方案的有限長密鑰率計算公式為[44]

其中I(A:B),β以及Ωopt的定義在上述分析中已給出.F表示所采集到的有效數(shù)據(jù)總長度,f表示Alice 和Bob 生成最終密鑰所需的數(shù)據(jù)量長度,Q=F -f表示方案參數(shù)估計所需的數(shù)據(jù)量長度,εPE表示參數(shù)估計失敗的概率,Δ(f) 則和保密增強(qiáng)相關(guān)聯(lián),其表達(dá)式可寫為

其中HA表示與Alice 原始密鑰相對應(yīng)的Hilbert空間,表示平滑參數(shù),εPB表示保密增強(qiáng)失敗的概率.由于原始密鑰是基于二進(jìn)制比特來進(jìn)行編碼,因此 d imHA=2 .

由(32)式可計算(25)式中有限長效應(yīng)影響下所提出方案的密鑰率.

接下來分析所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 在有限長效應(yīng)情況下方案的性能.涉及全局的仿真系統(tǒng)參數(shù)與漸近情情況下所采用的仿真系統(tǒng)參數(shù)一致.圖7 給出了在不同的有效數(shù)據(jù)總長度F=108,109,1010下所提出方案的有限長密鑰率與傳輸距離的關(guān)系,并且也給出PLOB 界.圖7(a)—(d)分別對應(yīng)不同強(qiáng)度的非可信信源噪聲,即g=1,1.003,1.005,1.01 .在圖7(a)—(d)中也給出了漸近密鑰率曲線以及PLOB界,用于參照對比.結(jié)合圖7(a)—(d)可以發(fā)現(xiàn),所提出方案的漸近密鑰率(藍(lán)色虛線)總是高于其有限長密鑰率,然而隨著F的增大,所提出方案的有限長密鑰率曲線逐漸趨近于漸近密鑰率曲線以及PLOB 界.此外,即使考慮有限長效應(yīng)情況,所提出的方案其性能(虛線)無論是在理想信源的情況(g=1,圖7(a))還是在實際信源的情況(g ＞1,圖7(b)—(d))始終都要優(yōu)于原始方案的性能(實線).這表明所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測往返式離散調(diào)制CV-QKD 能有效降低有限長效應(yīng),以及系統(tǒng)信源噪聲對方案性能的負(fù)面影響.

圖7 在不同的有效數(shù)據(jù)總長度 F 下基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案有限長密鑰率與傳輸距離的關(guān)系 (a) g=1 ;(b) g=1.003 ;(c) g=1.005 ;(d) g=1.01Fig.7.The relationship between the finite-size secret key rate of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the transmission distance under different total exchanged signals F : (a) g=1 ;(b) g=1.003 ;(c) g=1.005 ;(d) g=1.01 .

4 結(jié)論

本文提出了一種基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CV-QKD 方案,通過在探測方Alice 處部署非高斯態(tài)區(qū)分探測器,在滿足低于標(biāo)準(zhǔn)量子極限錯誤概率的情況下無條件區(qū)分出基于四態(tài)離散調(diào)制的4 種非正交相干態(tài),從而能夠有效彌補(bǔ)往返式光路結(jié)構(gòu)中非可信信源噪聲對方案性能的負(fù)面影響.此外,對所提出的方案進(jìn)行安全性分析,不僅考慮了其漸近安全性,同時也對有限長效應(yīng)情況下方案的安全性進(jìn)行分析,使得所獲得的結(jié)果更符合實際情況.仿真結(jié)果表明本文所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測的往返式離散調(diào)制CVQKD 方案相比原始方案,無論是在理相信源情況(g=1)、實際信源情況(g ＞1)還是有限長效應(yīng)情況,其性能都有明顯的提升.不僅如此,本文所提出的方案其協(xié)商效率β的可使用范圍顯著大于原始方案中協(xié)商效率β的可使用范圍.這表明所提出的基于非高斯態(tài)區(qū)分探測往返式離散調(diào)制CVQKD 方案能夠有效降低有限長效應(yīng)以及系統(tǒng)信源噪聲對方案性能的負(fù)面影響.因此本文所提出的方案在保證系統(tǒng)實際安全性的同時能夠?qū)崿F(xiàn)更高效、更遠(yuǎn)傳輸距離的量子密鑰分發(fā).