賀小洋 肖緋雄 楊 強(qiáng) 張遠(yuǎn)維 陳吉永

1西南交通大學(xué)牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610031 2中車大同電力機(jī)車有限公司 大同 037038

0 引言

應(yīng)力譜是評估結(jié)構(gòu)疲勞的基礎(chǔ)，其充分性和完整性將直接影響評估結(jié)果的可靠性[1]。疲勞應(yīng)力譜一般通過相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)、有限元仿真和現(xiàn)場實(shí)測的方法獲得，但當(dāng)部件運(yùn)營狀況復(fù)雜時，通過標(biāo)準(zhǔn)和有限元仿真得到的應(yīng)力譜難以反映零部件實(shí)際服役狀況。因此，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行現(xiàn)場動應(yīng)力測試，根據(jù)測試載荷歷程編制反映結(jié)構(gòu)真實(shí)工作環(huán)境的應(yīng)力譜，是軌道車輛領(lǐng)域普遍使用的疲勞壽命評估方法[2，3]。然而實(shí)際中的動應(yīng)力測試經(jīng)常受到時間、成本和實(shí)驗(yàn)場地等的限制，只能針對機(jī)械結(jié)構(gòu)工作的典型工況進(jìn)行短時間的應(yīng)力時間歷程測量。結(jié)構(gòu)設(shè)計壽命一般長達(dá)數(shù)年到數(shù)十年不等，實(shí)測的數(shù)據(jù)往往僅占全壽命運(yùn)營周期內(nèi)的一部分，難以反映結(jié)構(gòu)在較長時間內(nèi)的抗疲勞服役性能，故需對結(jié)構(gòu)短期內(nèi)測試的動應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行外推。

線性外推方法只是對載荷作用次數(shù)實(shí)現(xiàn)了拓展，難以體現(xiàn)結(jié)構(gòu)受載的隨機(jī)分布特性，雨流矩陣外推法是將應(yīng)力時間歷程轉(zhuǎn)化為雨流矩陣實(shí)現(xiàn)外推的二維外推方法，分為參數(shù)外推和非參數(shù)法（核密度估計法）。由于均值頻次和幅值頻次一般具有明顯的分布特點(diǎn)，早期的參數(shù)法通常采用威布爾分布擬合幅值頻次，正態(tài)分布擬合均值頻次[4]。然而，假設(shè)樣本分布特征受主觀影響較大，對于分布復(fù)雜且隨機(jī)的樣本會產(chǎn)生較大的擬合誤差[5]。為避免對樣本分布的假設(shè)，Dressler K等[6]首先將核密度估計運(yùn)用到載荷譜的外推中，提出了基于雨流矩陣的核密度估計外推方法；宋清椿等[7]將該理論運(yùn)用到農(nóng)業(yè)機(jī)械構(gòu)架應(yīng)力譜編制中，得到了反映構(gòu)架真實(shí)服役情況的載荷譜；牛文鐵等[8]針對核密度估計計算量大的問題，提出了一種修正的核密度估計帶寬計算方法；王秋實(shí)等[9]以實(shí)測動應(yīng)力信號為對象，對核密度估計外推前后的應(yīng)力譜的相關(guān)性等進(jìn)行評價，得到了較為理想的外推結(jié)果。在上述研究中，對核密度估計方法進(jìn)行了相關(guān)研究，但對于電力機(jī)車的相關(guān)研究還不夠全面。

本文以某型電力機(jī)車構(gòu)架拉桿座焊縫附近某點(diǎn)為研究對象，通過現(xiàn)場動應(yīng)力測試和數(shù)據(jù)處理得到了測點(diǎn)幅值-均值雨流矩陣；研究了核密度估計方法中帶寬的選取，并基于統(tǒng)計參數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度對外推前后應(yīng)力譜進(jìn)行對比分析；根據(jù)外推后的長時載荷譜對構(gòu)架焊縫進(jìn)行疲勞壽命估計，以期能夠?yàn)殡娏C(jī)車構(gòu)架焊縫疲勞壽命預(yù)測提供思路。

1 應(yīng)力測試與前處理

軌道車輛在運(yùn)行過程中，輪對的磨損狀況會使機(jī)車車輛的振動增大，導(dǎo)致相關(guān)零部件受力環(huán)境急劇變化[10]。在車輛整個運(yùn)營過程中，單個鏇輪周期內(nèi)包含了車輛在服役過程中的受力演變狀況，所以得到包含輪對不同狀況下的應(yīng)力譜，是進(jìn)行外推和疲勞壽命評估的最好的選擇[11]。

每個鏇輪周期內(nèi)車輛運(yùn)行的里程均不相同，且實(shí)現(xiàn)全程動應(yīng)力測試需要耗費(fèi)大量時間以及巨大的成本，往往難以實(shí)現(xiàn)。本測試只針對鏇輪前期和鏇輪后期2個代表性工況進(jìn)行動應(yīng)力測試，一共測試2次。從車輛日常運(yùn)營主要線路中，選取運(yùn)營環(huán)境復(fù)雜的A站到B站，一個去程和回程作為完整測試區(qū)段。該段是具有典型的長大道、多曲線、多隧道和有短軌的山區(qū)線路。10 ‰～13 ‰連續(xù)坡道線路長度約為45 km，最大坡道為13 ‰，最小曲線半徑為400 m，長度約為267.5 km。模擬實(shí)際列車正常運(yùn)行狀態(tài)，去程空車，回程拉貨，運(yùn)行速度為60～80 km/h，測試過程分為2段，在去程采集結(jié)束后重新采集回程。圖1萬采樣測點(diǎn)的應(yīng)變片位置圖，應(yīng)變片導(dǎo)線通過數(shù)據(jù)線接入機(jī)箱。

圖1 應(yīng)變片位置

最后將采集到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，處理后的數(shù)據(jù)（包含去程和回程）如圖2所示。通過圖2的2組不同時期的動應(yīng)力信號可知，鏇輪前期構(gòu)架拉桿座測點(diǎn)的最大動應(yīng)力為22.27 MPa，最小動應(yīng)力為-25.81 MPa；在輪對磨損程度較高的鏇輪后期，該測點(diǎn)的最大和最小動應(yīng)力達(dá)到了27.06 MPa和-32.88 MPa，同時中高應(yīng)力幅值的循環(huán)頻次也急劇增加，造成了遠(yuǎn)大于鏇輪前期的疲勞損傷。

圖2 動應(yīng)力時域信號

2 核密度理論分析

核密度估計不需要事先對樣本總體分布做出假設(shè)，只通過樣本去估計總體的概率分布密度，是非參數(shù)密度估計法的一種。對于任意數(shù)據(jù)樣本X=(x1，x2，…，xn)，假設(shè)其服從某個連續(xù)分布p（x），則其概率密度曲線可定義為

式中：n為樣本數(shù)量；h為固定帶寬，影響密度曲線光滑程度；k（*）為核函數(shù)，在全局上其值非負(fù)，積分的結(jié)果為1。

在核密度估計中，核函數(shù)相當(dāng)于權(quán)函數(shù)，控制著估計點(diǎn)附近數(shù)據(jù)點(diǎn)的利用程度，其選取不會像帶寬那樣顯著的影響估計結(jié)果[12]。常見的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、Epanechikov核函數(shù)、余弦核函數(shù)、指數(shù)核函數(shù)和四次核函數(shù)等。其中高斯核函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可使得帶寬的計算方法更為簡便，本文選取常用使用的高斯核函數(shù)作為內(nèi)核，即

2.1 帶寬計算

帶寬的選擇關(guān)系著核密度估計的精度，從式（1）可以看出不同的帶寬會導(dǎo)致不同的密度估計結(jié)果。不同帶寬下的核密度結(jié)果反映了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的不同特征，大帶寬提供了未知密度下整體結(jié)構(gòu)的圖像，小帶寬則揭示了未知密度下可能存在或不存在的局部結(jié)構(gòu)[13]。因此，引入積分均方誤差（MISE）來綜合評估擬合概率密度分布與真實(shí)概率密度分布的誤差，當(dāng)最小積分均方誤差最小時，h即為最優(yōu)帶寬。

式中：E(*)為數(shù)學(xué)期望，Bias(*)為樣本偏差，var(*)為樣本方差，o(*)為高階殘余項(xiàng)。

在帶寬的計算中，一般可忽略其中的高階殘余項(xiàng)的影響。當(dāng)積分均方誤差最小，代表擬合誤差最小。對式（3）求h的偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)為0，可得最優(yōu)帶寬為

在式（4）中，核函數(shù)K(u)為已知項(xiàng)，密度函數(shù)p(x)為未知項(xiàng)，從而不能直接求解。一般情況下幅值近似服從正太分布，故計算帶寬時可將p(x)看成正態(tài)分布求解。

在實(shí)際的幅值數(shù)據(jù)樣本中，各個區(qū)域的稀疏程度存在較大差異。以鏇輪前期樣本為例，式（1）中的帶寬是基于整個樣本的固定帶寬，難以兼顧密度差異較大的區(qū)間，如圖3所示。固定帶寬估計結(jié)果在低應(yīng)力幅值處的概率密度偏低，導(dǎo)致中應(yīng)力幅值處的概率密度增加。因此，引入具有自適應(yīng)因子λi，由于每個xi都對應(yīng)一個帶寬。由圖3可知，自適應(yīng)帶寬得到的概率密度曲線與幅值循環(huán)頻次的分布特征較為吻合。

圖3 不同帶寬核密度估計結(jié)果比較

式中：α為靈敏因子，0≤α≤1，通常取0.5。

2.2 實(shí)測數(shù)據(jù)核密度估計

動應(yīng)力測試得到的是載荷-時間歷程信號，難以使用核密度方法進(jìn)行樣本外推。根據(jù)疲勞壽命評估理論，其對應(yīng)的有效載荷幅值、均值和循環(huán)頻次是計算零部件在該位置的疲勞壽命的基礎(chǔ)[12]。雨流計數(shù)法將數(shù)據(jù)量巨大的動應(yīng)力時域信號壓縮成包含疲勞計算所需要的幅值-均值雨流矩陣，即減少計算量，又有利于進(jìn)行載荷譜的外推。在對部件進(jìn)行疲勞壽命評估時，通常認(rèn)為幅值低于5 MPa的動應(yīng)力循環(huán)載荷不造成損傷，可將其過濾掉[14]。鏇輪初期與鏇輪末期構(gòu)架測點(diǎn)應(yīng)力譜見圖4。由于輪對磨損的原因，導(dǎo)致構(gòu)架服役環(huán)境在不斷變化，且鏇輪后期的構(gòu)架應(yīng)力譜的幅值和頻次遠(yuǎn)大于鏇輪初期。如果只基于某單一樣本進(jìn)行外推將會得到過于保守或過于危險的疲勞壽命評估結(jié)果。將鏇輪初期和末期的樣本數(shù)據(jù)等權(quán)重組合，得到更能反應(yīng)結(jié)構(gòu)在一個鏇輪周期下的服役狀況的綜合應(yīng)力譜。經(jīng)過處理過后的綜合應(yīng)力譜的幅值-均值雨流矩陣見圖5。

圖4 輪對不同時期應(yīng)力譜

圖5 應(yīng)力幅值-均值雨流矩陣

應(yīng)力均值不是影響疲勞壽命的主要因素，且由于整個運(yùn)行過程中應(yīng)力均值較小，對最終疲勞評估結(jié)果影響很小，故不考慮均值對疲勞壽命的影響。將處理后幅值樣本作為核密度估計的數(shù)據(jù)輸入，通過Matlab計算得到自適應(yīng)帶寬矩陣，然后再根據(jù)高斯核函數(shù)進(jìn)行核密度估計，就得到如圖6的樣本概率密度曲線。從圖6可以看出，通過核密度估計法所得的概率密度曲線呈現(xiàn)低應(yīng)力幅值概率密度較大于高應(yīng)力幅值的概率密度的特點(diǎn)，與頻率直方圖分布特性比較一致，并且采用自適應(yīng)帶寬算法所得到的概率密度曲線平滑程度也比較好。

圖6 樣本頻率與概率密度曲線

3 外推結(jié)果驗(yàn)證與疲勞壽命評估

3.1 統(tǒng)計參數(shù)評估

為了驗(yàn)證外推結(jié)果的有效性，根據(jù)圖6的概率密度曲線使用蒙特卡洛模擬算法生成3組外推1倍的樣本。當(dāng)核密度外推方法選擇合理時，外推前后的應(yīng)力譜樣本應(yīng)該具有相同的特征。為了客觀評價核密度估計的精度，提出從統(tǒng)計參數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度等2個方面驗(yàn)證外推載荷的有效性。首先選取均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大值作為外推前后樣本之間的評價依據(jù)，表1列出了各個外推樣本與原始數(shù)據(jù)樣本的統(tǒng)計參數(shù)。從表1可以看出均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大值與原數(shù)據(jù)樣本的誤差分別為2.8 %、1.3 %和9.4 %，均在小于10 %。表明外推載荷較好地保留了原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性。

3.2 灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

灰色關(guān)聯(lián)度分析法可計算外推前后樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)度，兩者關(guān)聯(lián)度越高說明基于核密度估計得到的樣本與原始樣本有著較高的相似性[15]，具體過程為

1）對于任意n元素的對比序列，將原始序列g(shù)＝｛g1，g2，…，gn｝和進(jìn)行對比的核密度外推序列g(shù)＇＝｛g＇1，g＇2，…，g＇n｝進(jìn)行歸一化處理。

2）通過2組數(shù)據(jù)的絕對差序列計算關(guān)聯(lián)系數(shù)序列

3）計算關(guān)聯(lián)度γ為

式中：m為絕對差序列的最小值；M為絕對差序列的最大值；φ為分辨系數(shù)，取0.5。

根據(jù)式（7）對外推前后應(yīng)力譜的灰色關(guān)聯(lián)度計算如表1。從表1可以看出3組外推樣本與原始數(shù)據(jù)樣本之間的灰色關(guān)聯(lián)度均在0.9以上，說明兩者之間的趨勢一致性良好，外推數(shù)據(jù)保留了原始數(shù)據(jù)的分布特性。

表1 分析結(jié)果對比

3.3 疲勞壽命評估

為評估測點(diǎn)的安全可靠性，將外推系數(shù)設(shè)為10，對外推十倍后的長時應(yīng)力譜進(jìn)行疲勞壽命評估，并與線性外推后應(yīng)力譜的疲勞壽命分析結(jié)果進(jìn)行比較。對比分析如圖7所示的10倍外推結(jié)果，可見線性外推方法只是對幅值進(jìn)行了循環(huán)頻次的擴(kuò)展，而沒有實(shí)現(xiàn)幅值的外推。核密度外推方法并完成了對幅值的拓展，其外推結(jié)果保留了原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征，反映了車輛運(yùn)行狀況的隨機(jī)性。最后基于Miner線性損傷累積理論[16]，對測點(diǎn)進(jìn)行疲勞壽命評估

圖7 10倍外推后的應(yīng)力譜

式中：D為應(yīng)力譜作用下的累積疲勞損傷，K為外推應(yīng)力譜的階數(shù)，ni為第i階應(yīng)力幅的實(shí)際循環(huán)次數(shù)，Ni為第i階應(yīng)力幅在材料的S-N曲線上對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)。

該測試轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為典型的焊接結(jié)構(gòu)，可參照標(biāo)準(zhǔn)IIW—1823《焊接接頭與部件的疲勞設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行疲勞壽命評估，通過式（6）計算即可得到累積損傷?；诰€性外推10倍計算得到的疲勞損傷為0.011 8，而基于核密度估計外推10倍計算得到的疲勞損傷為0.012 2，對比分析可知，損傷增加了3.39 %，這是由于隨著循環(huán)頻次的擴(kuò)展，核密度估計預(yù)測到了一些短期測試中未出現(xiàn)的較大的幅值載荷，使得基于核密度外推后的應(yīng)力譜計算得到的疲勞損傷增加。

假設(shè)當(dāng)測點(diǎn)損傷累積到1時發(fā)生疲勞破壞，則測點(diǎn)的疲勞壽命可由式（7）計算得到

對核密度外推和線性外推的疲勞壽命評估結(jié)果進(jìn)行對比分析，基于線性外推10倍后計算的疲勞壽命結(jié)果為90.73萬km，而基于核密度估計外推10倍后計算的疲勞壽命結(jié)果為87.94萬km?？梢娀诰€性外推得到的安全運(yùn)營里程偏于危險，基于核密度估計得到的安全運(yùn)營里程更偏于安全。

4 結(jié)語

1）本研究完成了現(xiàn)場車架動應(yīng)力測試，獲得了具有代表性的動應(yīng)力時域信號，并基于核密度估計方法對樣本進(jìn)行了密度估計。結(jié)果表明，核密度估計方法具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，其估計的概率密度曲線與樣本分布特征吻合度較高。

2）通過對外推前后應(yīng)力譜進(jìn)行統(tǒng)計參數(shù)對比分析和灰色關(guān)聯(lián)度的計算，結(jié)果表明外推應(yīng)力譜保留了測試應(yīng)力譜的統(tǒng)計特征和分布特征，與基于線性外推計算疲勞壽命的方法相比，基于核密度估計外推的疲勞壽命評估方法預(yù)測到了其他可能出現(xiàn)的動應(yīng)力幅值循環(huán)，對車輛安全運(yùn)營里程的評估十分有益。