王國偉 王玉鳳

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中明確要求教師要確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標，通過數(shù)學(xué)課堂的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，夯實學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，優(yōu)化數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生對問題的分析以及解答能力，形成正確的價值觀念。在初中階段，勾股定理是整個教學(xué)板塊的重要內(nèi)容，教師亟須吸收先進的教育理念，站在學(xué)生的角度思考問題，優(yōu)化學(xué)生思維，滿足不同學(xué)生的實際需要，讓學(xué)生在實踐中摸索，在生活中能夠靈活應(yīng)用。同時，教師必須探索多種途徑，創(chuàng)建豐富且趣味性較強的數(shù)學(xué)課堂，幫助學(xué)生掌握直角三角形三邊的關(guān)系，在不斷實踐和探索的過程中打造高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課堂。本文就北師大版八年級上冊“勾股定理”這一內(nèi)容展開分析，在各種教學(xué)活動的開展下，幫助學(xué)生掌握勾股定理的概念、理解直角三角形三邊的關(guān)系，并能夠根據(jù)課堂所學(xué)靈活解答現(xiàn)實生活中的各種問題，近距離感知數(shù)學(xué)課堂的魅力。

一、史料引出，探究勾股定理的文化背景

教師利用多媒體給學(xué)生播放勾股定理的背景，以趣味性的圖片展示勾股定理的文化背景，引領(lǐng)學(xué)生感知勾股定理，建立初步的學(xué)習(xí)概念，使其深入探索勾股定理的歷史數(shù)學(xué)知識，以此滿足學(xué)生的求知欲望。在問題與現(xiàn)實生活問題的分析下，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生活化學(xué)習(xí)情境，引發(fā)學(xué)生深入思考，讓其從思想上感知數(shù)學(xué)學(xué)科與生活的必然聯(lián)系，為接下來的知識學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

師：大家知道勾股定理嗎？勾股定理在現(xiàn)實生活中有什么作用？（播放勾股定理數(shù)學(xué)視頻）

教師結(jié)合視頻，引導(dǎo)學(xué)生回答問題。

生1：勾股定理是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，但是在他之前勾股定理的原理以及證明已經(jīng)存在很長時間，最后是畢達哥拉斯將勾股定理進行了完善。

生2：勾股定理在幾何學(xué)、建筑等領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用，很多技術(shù)工人都會用到勾股定理，在建房子的時候需要用勾股定理計算，設(shè)計工程圖紙同樣也會用到勾股定理。

生3；在物理學(xué)科中也會運用，比如要求幾個力？如何求出物體的合速度？

生4：古人也會應(yīng)用勾股定理，比如造車。

生5：我讀過《周髀算經(jīng)》，里面夏禹就用勾股定理進行了測量，而且在這本書里還有一位數(shù)學(xué)家用勾股定理測量了太陽的高度，還分析了太陽的直徑。

教師：大家的回答太讓我吃驚了，特別是第五位同學(xué)對勾股定理的理解非常棒，真是一位“數(shù)學(xué)小百科”，看來他對這部分知識的預(yù)習(xí)非常充分，希望大家向他學(xué)習(xí)。勾股定理作為一種實用性極強的數(shù)學(xué)工具，在實際生活中能夠更好地幫助我們解決各種實際問題，接下來讓我們一起深入分析勾股定理的具體內(nèi)容。

二、注重啟發(fā)，探究關(guān)系

探究活動一：

測量物體長度并完善表格內(nèi)容。

教師：剛才我們對勾股定理的應(yīng)用范圍以及相關(guān)的歷史背景進行了簡要分析，現(xiàn)在請大家準備兩把直角三角尺，分別測量這兩把三角尺的三邊長度，并將你所得到的數(shù)據(jù)填寫進表格內(nèi)（見表1）。

教師：剛才大家所獲得的數(shù)據(jù)都已經(jīng)詳細進行了記錄，現(xiàn)在請大家思考三邊長度A、B、C之間有什么關(guān)系，可與同桌討論一下。

探究活動二：

在特殊的等腰直角三角形里，兩個小正方形P和Q的面積之和等于大正方形R的面積，請寫出詳細公式。（見圖1）

學(xué)生：根據(jù)已知條件可知AC2+BC2=AB2

探究活動三：

依據(jù)圖2中的圖形探究下列問題：

任意直角三角形里，若∠C=90°，那么a2+b2=c2，注意：一個小方格的實際長度為1平方厘米。

教師：綜上所述，我們能夠得出什么是勾股定理，請大家結(jié)合上面的例題將勾股定理變式。

a2+b2=c2變式為兩種：

1.a2+b2=c2

2.b2=c2-a2

為簡化學(xué)生對勾股定理概念以及直角三角形三邊關(guān)系的判定，教師在學(xué)生討論的過程中，通過提示、引導(dǎo)、分析等多種方式解答學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，降低學(xué)習(xí)難度。在整個討論過程中，以一種傾聽者的角色了解學(xué)生的真實想法，幫助學(xué)生解答學(xué)習(xí)困惑。

三、案例引入，深入剖析直角三角形三邊關(guān)系的判定內(nèi)容

教師引入具體的生活化案例，旨在幫助學(xué)生回憶前期所學(xué)的知識要點，解決本節(jié)課程的知識難點。在多種案例的分析下，讓學(xué)生有更多的選擇空間，同時，通過小組之間的共同協(xié)作，能夠?qū)Α爸苯侨切稳呹P(guān)系”的相關(guān)知識理解得更加深刻。生活化例題的引入也能讓學(xué)生更直觀地理解以及分析實際生活中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題，優(yōu)化學(xué)生思維，保障學(xué)習(xí)效果。

教師：同學(xué)們，前期大家對“直角三角形三邊關(guān)系”的相關(guān)內(nèi)容有了初步了解，接下來我們以數(shù)字闖關(guān)游戲的方式解答生活中的實際問題?，F(xiàn)在請大家以小組為單位，四五個人為一小組進行小組PK。每一道例題在講解中必須有明確的解題步驟，明確思路，小組內(nèi)可以自由分工合作。在討論結(jié)束之后，我會邀請學(xué)生上臺發(fā)言。

案例一：明明爸爸將一根長為10 m的梯子斜靠在圍墻上，BC長度為6 m，現(xiàn)在請問梯子上端A到墻的底邊垂直距離AB是多少？（見圖3）

案例二：在某城市，強烈的臺風(fēng)將一根高為18米的木質(zhì)旗桿吹裂，隨時都有可能危及周圍居民的生命安全，警察接到報警之后現(xiàn)場決定在斷裂處將旗桿折斷，（斷裂的地方距離地面5米）現(xiàn)在需要劃分安全區(qū)域，通過什么方式可以確定安全區(qū)域的半徑呢？

案例三：星星搬進了新家，在新家的附近有一片湖，現(xiàn)在要求出湖兩岸的距離A和B，星星在C點設(shè)一個木樁，構(gòu)成直角三角形ABC，在測量以后得出AC長度為160 m，BC長度為128 m，現(xiàn)在請算出A點到B點的距離。（見圖4）

教師根據(jù)PPT展示的例題，讓學(xué)生以小組合作的方式現(xiàn)場討論分析，了解直角三角形三邊的關(guān)系，并根據(jù)課堂的知識學(xué)習(xí)得出正確結(jié)論。教師隨機邀請一名學(xué)生上臺講解具體的解題思路，選擇的案例類型不設(shè)限制。

學(xué)生：老師，我來講解案例一，根據(jù)題目的已知條件可以知道AC=10 m，BC=6 m，那么在RT△ABC中：

AB2=AC2-BC2

=100-36

=64

所以AB=8 m

師：在解答這道例題時都有什么考點可以說一說嗎？你認為在解答這種例題的時候需要注意哪些？請簡要說明。

生：在這道例題里，通過勾股定理的相關(guān)知識可以得出最終結(jié)論。我認為在解答這種問題時，從實際問題中抽象出勾股定理是這道例題解答的關(guān)鍵。（1）必須仔細閱讀題目中所給出的關(guān)鍵信息，特別是題目里出現(xiàn)的數(shù)字要重點關(guān)注，根據(jù)所學(xué)知識靈活應(yīng)用；（2）要注意公式應(yīng)用的準確性，比如求b2，那根據(jù)公式可知b2=c2-a2；（3）一定要有明確的解題步驟，書寫要整齊，公式的數(shù)字要寫清楚。

師：非常不錯，這位同學(xué)的講解思路明確，而且他對例題經(jīng)驗的分享也非常實用，希望大家后期可以借鑒這位同學(xué)的解題方法，切實提高數(shù)學(xué)成績。

教師結(jié)合學(xué)生的陳述作出評價，以此幫助學(xué)生分析其他例題。

師：剛才大家針對例題的解答非常詳細，我看到每一名學(xué)生的解題步驟非常仔細，現(xiàn)在請大家分享一下我們?nèi)绾螒?yīng)用勾股定理，可以從具體的解題步驟、你認為最高效的計算方式等方面作出分析。

生1：我認為要確定直角三角形三條邊之間的關(guān)系可以應(yīng)用公式，因為這種公式很簡單，而且非常實用，在很多的例題里面都得到了廣泛應(yīng)用。

生2：在解答時，我認為最重要的是首先必須確定直角三角形的邊，因為勾股定理只能在直角三角形里面才能應(yīng)用。如果確定好是直角三角形之后，勾股定理就非常簡單了。而區(qū)分什么是直角三角形或者是其他三角形，這個時候只需要判定在一個三角形里面是否有一個90度的角，通常用一個小方格標注。其次，在確定三角形三邊可以用勾股定理時，a和b分別表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來表示直角三角形的斜邊，也就是最長的那一條邊。最后，根據(jù)題目要求，結(jié)合勾股定理的公式就能求出答案。這個時候要注意在計算平方的時候先算出已知邊長度的具體平方值，或者可以選擇保留平方。

生3：老師，我認為除了應(yīng)用勾股定理的公式之外，還可以在直角坐標系中求兩點的直線距離，運用這種方式也能夠求出最終的值。

師：非常不錯，特別是第三位同學(xué)在陳述中對于勾股定理的具體應(yīng)用步驟、解題的技巧都進行了重點說明，看來大家對如何判定直角三角形三邊關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)掌握得非常牢固，希望大家在后期的例題中也能夠高效應(yīng)用，提高解題正確率。

四、布置課后作業(yè)，提高學(xué)生對知識的應(yīng)用能力

在作業(yè)設(shè)計中，教師可結(jié)合當前學(xué)生的實際情況，整合教育資源，為學(xué)生創(chuàng)新作業(yè)類型，在多種類型的作業(yè)設(shè)置下滿足不同學(xué)生的實際需要，調(diào)動學(xué)生對當前作業(yè)完成的積極性，保持學(xué)生熱情，實現(xiàn)對知識的鞏固和利用的教學(xué)目標?；A(chǔ)題型的作業(yè)側(cè)重學(xué)生對課堂所學(xué)知識的掌握和理解，便于教師直觀分析學(xué)生的知識吸收情況，提高學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握能力；拓展型作業(yè)可以滿足不同水平學(xué)生的實際需要，在拓寬學(xué)生知識面的基礎(chǔ)之上提高學(xué)生解決實際問題的能力。

例如，讓學(xué)生根據(jù)本節(jié)課堂所學(xué)，以直角三角形三邊關(guān)系為中心建立思維導(dǎo)圖?？蚣芤笏悸非逦?、制作形式簡單直觀。當學(xué)生完成思維導(dǎo)圖之后，以同桌兩人為一組共同分析思維導(dǎo)圖制作中的不足以及優(yōu)勢。比如，有的思維導(dǎo)圖包含的知識點完整、全面，但是整體的設(shè)計形式呆板、缺乏創(chuàng)新；有的思維導(dǎo)圖設(shè)計形式新穎，但是每一個板塊的知識點羅列過于詳細，看起來有點煩瑣。

以這種互相評價的方式，一方面讓學(xué)生去了解自身所存在的不足，并在后期的思維導(dǎo)圖制作中及時查漏補缺，不斷完善；另一方面也能讓學(xué)生在明確自身優(yōu)勢的基礎(chǔ)之上去學(xué)習(xí)他人在思維導(dǎo)圖制作中的優(yōu)點，這種取長補短的方式能為學(xué)生各方面能力的提升打下堅實的基礎(chǔ)。

教師以總結(jié)的方式，讓學(xué)生明確不同形式作業(yè)的必要性，并讓學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自我，克服難題的心理障礙，最后結(jié)束課堂。

（作者單位：1.蘭州市第五中學(xué)；2.蘭州市第三中學(xué)）

編輯：陳鮮艷