唐亞平

一、教學內容分析

“祖暅原理與柱體、錐體的體積”是“探究與發(fā)現(xiàn)”部分的內容。本節(jié)課通過介紹數(shù)學家們的探究過程，讓學生體會數(shù)學建模的過程；通過類比球的體積公式的證明推理，引導學生自主探究牟合方蓋的體積，掌握將復雜幾何體體積問題轉化成已知幾何體組合體的體積問題的數(shù)學建模的方法，培養(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、教學目標

1.了解祖暅原理，學會運用祖暅原理推導柱體、錐體、球的體積公式，并推導出牟合方蓋這一曲面幾何體的體積公式，培養(yǎng)學生直觀想象能力。

2.通過3D動畫演示、牟合方蓋的模具展示以及實驗研究等活動，增強學生的空間想象能力，引導學生體驗由特殊到一般的類比推理數(shù)學研究方法，培養(yǎng)數(shù)學建模的數(shù)學素養(yǎng)。

3.體會轉化思想，培養(yǎng)聯(lián)想拓展的數(shù)學思維能力，了解中國古代數(shù)學家的偉大成就，激發(fā)學生數(shù)學研究的興趣與熱情。

三、教學重難點

重點：運用祖暅原理推導球、牟合方蓋的體積公式。

難點：理解利用祖暅原理求解曲面幾何體的體積公式的類比與轉化思想。

四、教學過程

▲環(huán)節(jié)一：數(shù)學史引入

1.數(shù)學史故事引入：溯祖暅原理之源

中國古代數(shù)學家劉徽在為《九章算術》作注解時發(fā)現(xiàn)其中球的體積公式是錯誤的，于是他構建了一個幾何體“牟合方蓋”，設想通過求解出牟合方蓋的體積，進一步得到球的準確公式，可是劉徽終其一生都沒有求解出牟合方蓋與球的體積。一直到200多年之后，祖氏父子（祖沖之與祖暅）通過“祖暅原理”解決了這一難題。那么，什么是祖暅原理呢？

2.通過實驗得出祖暅原理：明祖暅原理之意

師生活動：學生通過推書實驗回答教師提出的問題。

問題1：把一摞垂直放置于桌面上的紙推得傾斜一些，或者推得更加傾斜，三種狀態(tài)下，這一摞紙的體積發(fā)生改變了嗎？

學生回答：沒有發(fā)生改變。

問題2：這三種狀態(tài)下每張紙的面積發(fā)生改變了嗎？這摞紙的高度發(fā)生改變了嗎？你可以根據這一現(xiàn)象總結出什么規(guī)律？

學生回答：底面積相同、高相同，則體積相同。

師生互動得出祖暅原理：緣冪勢既同，則積不容異。（冪：水平截面的面積；勢：幾何體的高度。）

總結得出祖暅原理的適用條件：（1）高相等（h1=h2）；（2）相同高度的水平截面積總相等（S1=S2恒成立）。則兩個幾何體的體積相等（V1=V2）。

問題3：根據祖暅原理，如何求解這一摞紙的體積？根據祖暅原理，當求解不規(guī)則幾何體的體積時，我們可以怎么做？

學生回答：將不規(guī)則幾何體轉化成我們已經學過的幾何體去求解。

3.練習：辨析祖暅原理之義

題目：一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為2的正六棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為___________。

我們了解了祖暅原理之后，想一想是否可以運用它解決一些幾何體體積的證明問題。

▲環(huán)節(jié)二：新知應用

問題1：已知長方體的體積公式為V=Sh，那么斜棱柱、圓柱等任意柱體的體積公式又是什么呢？可否運用祖暅原理進行論證？

師生活動：學生經過獨立思考后得出任意的柱體都能找到與之同底等高的長方體，由于它們的橫截面積處處相等，高也相等，則所有柱體的體積公式都為V=Sh。

問題2：已知三棱錐的體積V=Sh，那么任意棱錐和圓錐的體積公式是什么？你能用祖暅原理推導任意錐體的體積公式嗎？

師生活動：根據祖暅原理，任何的棱錐、圓錐都可以用與它們等底同高的三棱錐來等價轉化，所以所有錐體的體積公式都是V=■Sh。

任意錐體與柱體可根據祖暅原理等價找到特殊錐體與柱體，讓學生理解從特殊到一般、從已知到未知的數(shù)學思想，為后續(xù)證明球與牟合方蓋的體積公式奠定基礎。

之前球的體積的證明我們用的分割法，能否用祖暅原理探究出球的體積公式呢？

▲環(huán)節(jié)三：實驗證明（探祖暅原理之用）

1.設計實驗

問題1：球的截面是一些什么圖形？這些截面是否具有對稱性？

學會回答：圓。這些截面圓上下對稱。

問題2：根據對稱性，我們可以先求半球的體積，去找與半球同底等高的幾何體，有哪些呢？

學生回答：圓柱、圓錐。

問題3：圓錐的體積小于半球的體積，圓柱的體積又大于半球的體積，它們的體積之間是否具有什么聯(lián)系呢？

問題4：同學們能不能設計一個實驗，驗證我們的猜想？你們需要哪些實驗用具？

學生回答：要同底等高的半球、圓錐、圓柱，最好是空心的。

師生活動：教師提供實驗用具。學生小組派出兩名代表上講臺上做實驗，將紅色液體導入圓錐和半球，再一同導入圓柱中，發(fā)現(xiàn)圓柱的水面高度恰好與半球等高，從而證明猜想。

利用設計實驗，讓學生利用圓柱與圓錐構成組合體去求解半球的體積。實驗很直觀地體現(xiàn)出三者體積之間的關系，激發(fā)了學生討論與探究數(shù)學問題的熱情。

2.運用祖暅原理證明半球的體積：析祖暅原理之理

實驗可能存在誤差，你能用祖暅原理證明我們的實驗結論是正確的嗎？三個幾何體滿足高相等，所以要看它們的截面積之間存在什么聯(lián)系。

問題1：運用祖暅原理的思想，先做__________的截面。

問題2：圓柱與圓錐要如何構成組合體，才能使得在高為h處的截面的面積與半球的截面積相等？（見圖1）

根據祖暅原理，滿足等高，且在各位置的截面積相等，所以體積相等。

等價轉化：半球的體積=圓柱體積-圓錐體積，所以得出球的體積公式：V= R3

在最初引入時，我們介紹了數(shù)學家劉徽與牟合方蓋的故事，能不能運用祖暅原理去探究牟合方蓋的體積公式，解決劉徽的未解之謎呢？

▲環(huán)節(jié)四：拓展探究（求牟合方蓋的體積）

1.探究幾何體牟合方蓋與其內切球的性質

問題1：平面截牟合方蓋及其內切球會形成什么圖形？（見圖2）

師生活動：學生通過觀察老師手中展示的牟合方蓋3D模型，思考問題，并根據空間想象得出問題的答案。教師播放視頻驗證學生的回答。

問題2：它們的截面積之比是多少？

問題3：猜測牟合方蓋與其內切球的體積之比是多少。

師生活動：學生根據截面積的比值求解牟合方蓋的體積公式。

運用祖暅原理，我們發(fā)現(xiàn)它們的體積之比等于截面積之比。

r為其內切球半徑）

2.類比推理：求證牟合方蓋的體積公式

問題1：模仿球的體積推導過程，可將牟合方蓋___________。

問題2：找出與半個牟合方蓋等高同底的幾何體：________________________。

問題3：類比半球的體積，猜想同底等高的正四棱柱、正四棱錐、半個牟合方蓋的體積間有什么關系。

類比于球的體積公式的推導，推導牟合方蓋的體積公式，培養(yǎng)學生邏輯推理與數(shù)學建模的數(shù)學核心素養(yǎng)。相比于計算，該問題的難點是運用祖暅原理去找已知的幾何體與半個牟合方蓋的體積相等，而明確該組合體是如何形成的是關鍵。

問題4：請大家運用祖暅原理探討我們構造的組合體是什么圖形，并求解出牟合方蓋的體積。（見圖3）

師生活動：小組討論組合體的構成形式，并計算高為h時的三個幾何體截面積之間的關系，小組代表上臺展示小組討論的結果，并用數(shù)據嚴格計算得出V半牟=V正四棱柱，從而得出V牟= r3。學生總結運用祖暅原理解決未知幾何體體積的關鍵步驟是什么，從中得到什么啟發(fā)?？偨Y得出祖暅原理的衍生應用：當高相等時，可由截面積之比得出體積之比。

▲環(huán)節(jié)五：歸納總結（凝祖暅原理之髓）

教師總結：我們運用祖暅原理推導出柱體、錐體、球以及牟合方蓋的體積，體會從已知到未知、從特殊到一般以及轉化化歸的數(shù)學思想。祖暅原理的歷史演變過程是數(shù)學家們不斷做出貢獻的過程。從最初的《九章算術》到劉徽的牟合方蓋，再到祖氏父子的祖暅原理，通過數(shù)學家們的不斷努力，球的體積公式被證明。

五、教學反思

（一）可取之處

1.挖教材

通過對教材探究與發(fā)現(xiàn)的深度挖掘，發(fā)現(xiàn)教材中數(shù)學文化的豐富內涵，即演繹了球的體積推導的過程，同時，課本的拓展與延伸內容也非常值得教師進行拓展性教學。

2.探概念

運用不同的數(shù)學幾何模型探究祖暅原理的應用，突出從已知到未知、從特殊到一般的數(shù)學思想，可以為學生以后的學習打好基礎。

3.育素養(yǎng)

通過數(shù)學3D模型培養(yǎng)學生的空間想象能力，通過問題探索引發(fā)學生思考，通過數(shù)學實驗培養(yǎng)學生的動手能力，增強學生的理解；通過對球與牟合方蓋體積推理的探究，培養(yǎng)學生數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（二）改進之處

1.在對牟合方蓋體積計算的討論展示后，可以讓學生發(fā)表不同見解，也可發(fā)布不同的數(shù)學模型，多讓學生展示，讓他們碰撞出不同的思維火花，這樣課堂會更精彩。

2.課堂練習題的設置可以有難度區(qū)分——從淺入深，也可有延伸題型，以激發(fā)學生的探究興趣，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)。

（作者單位：柳州鐵一中學）

編輯：常超波