劉夫剛

(山東省棗莊市第一中學(xué))

復(fù)數(shù)運(yùn)算必須遵循復(fù)數(shù)自身的運(yùn)算法則,有道是“沒有規(guī)矩,不成方圓”,但也要講究策略.那么在復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題中,有哪些策略能幫助我們簡化運(yùn)算、優(yōu)化解題過程呢? 本文舉例說明.

1 應(yīng)用性質(zhì)

利用復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)解題可以幫助我們少走彎路,如設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R),則是實數(shù);又如,若z＝z1z2,則利用這個性質(zhì)可以快速求出復(fù)數(shù)的模.

A.3 B.4 C.5 D.25

(2)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝4＋3i,則|z|＝( ).

故選C.

(2)方法1由于,故選C.

方法2由題意得,故選C.

2 妙用結(jié)論

高考中對復(fù)數(shù)的考查一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中,只求結(jié)果,不求過程.在解答時如果我們能記住一些常用結(jié)論并加以應(yīng)用,那么解題速度與正確率必將大大提高.復(fù)數(shù)運(yùn)算的二級結(jié)論很多,我們應(yīng)注意不斷積累.如i;若ω2＋ω＋1＝0 的兩根為,則.

A.z2≥0 B.

C.z3＝1 D.z2022＝z

3 化“虛”為“實”

所謂化“虛”為“實”,就是化虛數(shù)運(yùn)算問題為實數(shù)運(yùn)算問題.對于含參復(fù)數(shù)運(yùn)算問題,這個方法十分有效,具體方法是將兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件方程化,再通過解方程得到答案.

因為b＞0,所以a＝2,b＝1,即z＝2＋i,又因為復(fù)數(shù)w＝u＋3i(u∈R)滿足,所以,即,整理得(u－2)2＜16,即－4＜u－2＜4,解得－2＜u＜6,即u的取值范圍為(－2,6).

4 數(shù)形結(jié)合

復(fù)數(shù)具有幾何特征,它的幾何意義為數(shù)形結(jié)合解決復(fù)數(shù)問題創(chuàng)造了條件,尤其是對一類復(fù)數(shù)模的最值問題,它為簡化運(yùn)算開辟了一條“綠色通道”.

(2)已知點P(s,t),Q(u,v),|s|＋|t|≤2,u2＋v2＝1,復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點P,Q,若z＝z1＋z2,則|z|的最大值是_________.

圖1

(2)如圖2所示,分別作出點P和點Q的軌跡,點P的軌跡為正方形及其內(nèi)部區(qū)域,點Q的軌跡為單位圓及其內(nèi)部區(qū)域.由三角不等式可得|z|＝|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|＝|OP|＋|OQ|＝3,當(dāng)點P為正方形的頂點,且方向相反時,|z|取得最大值3.

圖2

5 運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式

復(fù)數(shù)的三角形式既有優(yōu)美的運(yùn)算法則,又可將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題來解決.當(dāng)遇到復(fù)數(shù)的高次運(yùn)算或多個復(fù)數(shù)連續(xù)相乘(或除)時,運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算,往往會收獲意想不到的效果.

所以(cos17θ＋cosθ)＋i(sin17θ＋sinθ)＝1,故

由sin217θ＋cos217θ＝1,可得

sin217θ＋cos217θ＝(－sinθ)2＋(1－cosθ)2＝1,

化簡可得sin2θ＋cos2θ－2cosθ＝0,即1－2cosθ＝0,所以,則,故,選A.

當(dāng)然,簡化復(fù)數(shù)運(yùn)算的策略還有很多,如整體代換、巧用共軛復(fù)數(shù)等,但無論采用何種方法,我們必須遵循兩條原則:一是不能違反復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則;二是使運(yùn)算過程得以簡化,不可弄巧成拙.

(完)