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        妙用反函數(shù)巧解恒成立問題

        2023-03-13 09:12:28林國紅
        高中數(shù)理化 2023年3期
        關(guān)鍵詞:型函數(shù)綜上實(shí)數(shù)

        林國紅

        (廣東省佛山市樂從中學(xué))

        1 問題的呈現(xiàn)與解答

        題目(2020年新高考山東卷21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

        (1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

        (2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        下面從不同視角,給出第(2)問的三種解法.

        解法1 (隱零點(diǎn)法)由題意可知x∈(0,+∞),a∈(0,+∞),aex-1-lnx+lna≥1恒成立.

        令h(x)=aex-1-lnx+lna-1,則h′(x)=,從而h′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        由零點(diǎn)存在定理可知,存在x2∈(x0,x1),使得.此時(shí),當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.因此

        將②③代入①,得

        由lna=1-x2-lnx2,可設(shè)G(x)=1-xlnx(x∈(0,1]),則在(0,1]上單調(diào)遞減,且G(1)=0,可得G(x)≥0,所以lna≥0,解得a≥1.

        綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

        解法2 (同構(gòu)法)由題意可知x∈(0,+∞),a∈(0,+∞).

        由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1,于是elna+x-1-lnx+lna≥1,即

        elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

        令g(t)=et+t,則g′(t)=et+1>0,所以g(t)在R上單調(diào)遞增.

        從而g(lna+x-1)≥g(lnx),則lna+x-1≥lnx恒成立,即lna≥lnx-x+1恒成立.令H(x)=lnx-x+1(x>0),則.于是H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以H(x)≤H(1)=0,可得lna≥0,解得a≥1.

        綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

        解法3 (反函數(shù)法)由題意可知x∈(0,+∞),a∈(0,+∞).由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1,即.

        因?yàn)楹瘮?shù)y=aex-1與函數(shù)互為反函數(shù),所以兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.要使恒成立,只需aex-1≥x在(0,+∞)上恒成立,即在(0,+∞)上恒成立.

        綜上,a的取值范圍是[1,+∞).,則

        對(duì)比三種解法,可知反函數(shù)法在解答此類恒成立問題時(shí),既可以減少運(yùn)算量,又可以避免轉(zhuǎn)化過程中的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn),極大降低難度,解題過程更簡單,是一種“優(yōu)秀”解法.

        2 反函數(shù)法的應(yīng)用舉例

        下面舉幾個(gè)例子展示反函數(shù)法在恒成立問題中的應(yīng)用.

        A.(0,e2] B.(0,e2)

        C.[1,e2] D.(1,e2)

        綜上,選B.

        綜上,a的取值范圍是.

        因?yàn)楹瘮?shù)y=aex-1與函數(shù)互為反函數(shù),所以兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.要使恒成立,只需aex-1≥x在(-1,+∞)上恒成立,即在(-1,+∞)上恒成立.

        綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

        綜上,t的取值范圍是,故選B.

        從以上個(gè)例題不難發(fā)現(xiàn),利用反函數(shù)法解決恒成立問題能降低思維強(qiáng)度,簡化推理和運(yùn)算過程,具有直觀、簡捷、明快的特點(diǎn),解題方法新穎獨(dú)到.另外,數(shù)學(xué)問題的解決,需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中善于鉆研,通過一些習(xí)題的總結(jié)與變式,并重視方法的積累和知識(shí)的儲(chǔ)備,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達(dá)到事半功倍的效果.

        3 反函數(shù)法的思路提煉

        1)反函數(shù)法求解恒成立問題的方法:若F(x)≥G(x)恒成立,且G(x)=F-1(x),則F(x)≥G(x)?F(x)≥x≥G(x).

        2)若不等式中同時(shí)含有同底的指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù),參數(shù)一般在指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)位置,在對(duì)數(shù)型函數(shù)的真數(shù)位置,可以考慮反函數(shù)法.

        3)將原不等式整理變形成互為反函數(shù)后,用分離參數(shù)法,并借助導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值范圍.

        4)常見的互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)如表1所示.

        表1

        鏈接練習(xí)

        1.若aex+lna>2+ln(x+2)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________.

        2.已知f(x)=2ae2x+lna,若f(x)≥lnx恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________.

        3.已知f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(x)>logax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________.

        鏈接練習(xí)參考答案

        (完)

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