王亞含，姚紅光 WANG Yahan,YAO Hongguang

（上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運(yùn)輸學(xué)院，上海 201620）

0 引言

近年來(lái)，航班計(jì)劃在穩(wěn)步調(diào)整，航班運(yùn)行量也在穩(wěn)步增加，但不可避免的航班延誤擴(kuò)散現(xiàn)象一直為航空運(yùn)輸帶來(lái)了許多負(fù)面影響，如旅客的不滿(mǎn)、航空公司成本的損失、航空公司的服務(wù)滿(mǎn)意度受到影響等。2017 年至2020 年全國(guó)客運(yùn)航班公司平均航班正常率穩(wěn)步增長(zhǎng)，但延誤航班的數(shù)量卻在增加[1]。因此，對(duì)航班延誤擴(kuò)散傳播行為的趨勢(shì)變化進(jìn)一步分析有利于掌握其客觀規(guī)律，對(duì)其研究可以為有關(guān)部門(mén)在緩解航班延誤擴(kuò)散問(wèn)題上提供決策依據(jù)。

劉玉潔等人[2]建立的延誤波及模型是分析同一航班鏈下的航班延誤波及情況，基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)從微觀的縱向航班鏈角度來(lái)討論延誤波及的有關(guān)問(wèn)題。丁建立等人[3]結(jié)合有色Petri 網(wǎng)和時(shí)間Petri 網(wǎng)雙理論，對(duì)延誤航班間的關(guān)聯(lián)邏輯關(guān)系建立航班延誤鏈?zhǔn)椒磻?yīng)關(guān)系模型—有色-時(shí)間Petri 網(wǎng)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得出，延誤時(shí)間越長(zhǎng)，影響到下游航班個(gè)數(shù)越多。Wu 等人[4]考察延誤傳播效應(yīng)使用了Copula 函數(shù)，對(duì)緩沖時(shí)間進(jìn)行變量，結(jié)果表明增加緩沖時(shí)間，可降低延誤航班對(duì)下游航班的影響。邵荃等人[5]考慮到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立了有權(quán)有向的網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)某省會(huì)機(jī)場(chǎng)進(jìn)行延誤橫向、縱向波及效應(yīng)的分析。Nakata 等人[6]應(yīng)用傳染病傳播理論分析了運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)下網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥B接性的不同與傳播程度的關(guān)系。

近年來(lái)傳播動(dòng)力學(xué)理論也被逐漸用于空中交通延誤相關(guān)研究中，其中部分學(xué)者建立傳播動(dòng)力學(xué)模型對(duì)航班延誤擴(kuò)散展開(kāi)研究。武喜萍等人[7]以宏觀角度分析航空交通延誤傳播與負(fù)荷容量級(jí)聯(lián)失效模型之間的相似性，并把此模型和SIS 模型進(jìn)行結(jié)合改進(jìn)建立了空中交通延誤傳播SIS 模型，最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了改進(jìn)模型的有效性。王興隆等人[8]從宏觀機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)角度出發(fā)，考慮到機(jī)場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)下延誤傳播具有時(shí)變性，以機(jī)場(chǎng)為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)建了時(shí)變機(jī)場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)延誤傳播模型，根據(jù)其網(wǎng)絡(luò)延誤傳播過(guò)程里機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變機(jī)理，來(lái)進(jìn)行模型仿真并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)參數(shù)分析。Li Shanmei 等人[9]基于平均航班延誤波動(dòng)，從網(wǎng)絡(luò)層面建立了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型下的易感-感染-康復(fù)-易感傳播模型，對(duì)其進(jìn)行相軌跡分析，更好地了解機(jī)場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)下延誤波動(dòng)演化的過(guò)程，并通過(guò)仿真來(lái)模擬模型下機(jī)場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)間的延誤傳播。張兆寧等人[10]為了能夠更好的應(yīng)對(duì)航班延誤大面積擴(kuò)散問(wèn)題，在空中交通網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下基于SEIR 模型相關(guān)理論，建立了航班延誤傳播模型，通過(guò)分析節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變化計(jì)算基本再生數(shù)來(lái)分析預(yù)測(cè)大面積航班在機(jī)場(chǎng)間發(fā)生延誤傳播的過(guò)程變化情況。代曉旭等人[11]建立空中交通擁擠傳播SIR 模型，分析擁擠傳播影響因子和消散因子對(duì)延誤傳播的影響，在結(jié)合實(shí)例過(guò)程中發(fā)現(xiàn)若空中交通擁擠情況較復(fù)雜時(shí)，新的參數(shù)情況則需考慮進(jìn)來(lái)。王晶華等人[12]針對(duì)大面積航班延誤傳播問(wèn)題，基于航班狀態(tài)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建SIR 傳播模型，并對(duì)延誤傳播參數(shù)和消散參數(shù)進(jìn)行分析討論，來(lái)探索大范圍面積的航班延誤傳播的動(dòng)態(tài)過(guò)程和變化規(guī)律。

現(xiàn)通過(guò)分析SIR 模型與延誤擴(kuò)散之間的相似性，將傳統(tǒng)SIR 模型與航班延誤擴(kuò)散行為結(jié)合起來(lái)，建立航班延誤擴(kuò)散SIR 傳播模型，通過(guò)比較不同數(shù)值下相軌線的變化來(lái)分析正常狀態(tài)航班和已延誤并有擴(kuò)散能力的航班二者變化關(guān)系，改變參數(shù)變化，以此更好地理解航班延誤擴(kuò)散的演化趨勢(shì)。

1 航班延誤擴(kuò)散機(jī)理及SIR 模型

1.1 航班延誤擴(kuò)散機(jī)理

一般情況下，航班晚于計(jì)劃的15 分鐘起飛或到達(dá)時(shí)，即視為航班起飛或到達(dá)延誤。據(jù)民航局統(tǒng)計(jì)，近年來(lái)因天氣等一些不可抗力的延誤因素引起的航班延誤一直以來(lái)占較大的比例。而一旦發(fā)生航班延誤現(xiàn)象，由于航班時(shí)刻連續(xù)性、空間有限性以及機(jī)組間相關(guān)性等互相作用原因，延誤則不可避免的會(huì)影響波及到機(jī)場(chǎng)及航空公司下游其他航班，航班延誤擴(kuò)散現(xiàn)象往往產(chǎn)生。

如果沒(méi)有出現(xiàn)航班延誤情況整個(gè)航班計(jì)劃將是一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡的狀態(tài)。假設(shè)出現(xiàn)初始的航班延誤時(shí)，航班計(jì)劃的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)被打破，鑒于航班運(yùn)行是由多個(gè)部門(mén)協(xié)同合作完成，資源之間具有共享性，與此同時(shí)航班延誤擴(kuò)散不僅會(huì)受到多部門(mén)間的制約，還會(huì)受到其他不同因素的影響，例如，跑道、機(jī)場(chǎng)容量、地面設(shè)施、每天初始延誤航班的數(shù)量、航班延誤時(shí)間、飛機(jī)停留所需的服務(wù)時(shí)間、該航班鏈下的機(jī)場(chǎng)總數(shù)、航班總計(jì)劃量、每條航線中航班數(shù)量、航空網(wǎng)絡(luò)中航線數(shù)、空域等這些因素都會(huì)影響航班延誤的擴(kuò)散程度。如果延誤的航班得不到及時(shí)妥善處理，航班計(jì)劃系統(tǒng)魯棒性則會(huì)下降，在航空網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，延誤波及的擴(kuò)散一開(kāi)始由初始航班的延誤通過(guò)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的耦合聯(lián)結(jié)作用影響到下游其他原航班的計(jì)劃，造成“多米諾骨牌”連鎖反應(yīng)，最終會(huì)使得整個(gè)航班運(yùn)行系統(tǒng)將會(huì)被打破，導(dǎo)致航班延誤數(shù)量急劇增加，形成航班延誤擴(kuò)散現(xiàn)象。例如圖1 中，建立由10 個(gè)機(jī)場(chǎng)組成的簡(jiǎn)單航班計(jì)劃模型，機(jī)場(chǎng)下航班間的聯(lián)系通過(guò)航線實(shí)現(xiàn)，除始發(fā)機(jī)場(chǎng)外停留時(shí)間均為一小時(shí)，可以看出，若其中某個(gè)機(jī)場(chǎng)的某個(gè)航班出現(xiàn)延誤，在有限資源相互制約下，可能導(dǎo)致該機(jī)場(chǎng)的其他航班無(wú)法正常按航班計(jì)劃運(yùn)行，產(chǎn)生擴(kuò)散情況。

圖1 航班計(jì)劃模型示意圖

1.2 航班延誤擴(kuò)散SIR 模型分析

傳統(tǒng)SIR 模型可分為三類(lèi)：易感者S，t 時(shí)刻內(nèi)未染病但有可能被該類(lèi)疾病傳染的人數(shù)比例則記為S（t）；染病者I，t 時(shí)刻內(nèi)已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)比例則記為I（t）；移出者R，t 時(shí)刻內(nèi)已從染病者中移出的人數(shù)比例則記為R（t）。而航空網(wǎng)絡(luò)下航班延誤擴(kuò)散屬于時(shí)空傳播動(dòng)力學(xué)范圍，所以上述的傳播機(jī)制在航班延誤擴(kuò)散中也存在。

把SIR 傳播動(dòng)力學(xué)模型傳播過(guò)程按其內(nèi)在規(guī)律類(lèi)比到航班延誤擴(kuò)散過(guò)程中也具有一定的相似特征，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）上游延誤航班將延誤傳播到與之相連的下游其他航班；這就相當(dāng)于已延誤并有擴(kuò)散能力的航班I 可將延誤擴(kuò)散到其他相關(guān)聯(lián)的正常狀態(tài)航班S。

（2）延誤的航班不會(huì)對(duì)正在完成飛行任務(wù)的航班有影響，其延誤擴(kuò)散的連鎖反應(yīng)僅存在于待完成航班中。

（3）延誤航班若能妥善控制延誤擴(kuò)散所造成的風(fēng)險(xiǎn)，則該航班不會(huì)受延誤擴(kuò)散的影響；這就相當(dāng)于待完成該次飛行任務(wù)的航班R 已不受航班延誤擴(kuò)散行為的影響。

所以航班延誤擴(kuò)散SIR 模型下的三種類(lèi)型狀態(tài)，即機(jī)場(chǎng)下正常狀態(tài)航班S，指發(fā)生延誤時(shí)，還未受到延誤擴(kuò)散的影響，其隨時(shí)刻t 的比例變化記為S（t）；機(jī)場(chǎng)下已延誤并有擴(kuò)散能力的航班I，且具有的擴(kuò)散能力還可能影響與之相關(guān)聯(lián)的后續(xù)航班,其隨時(shí)刻t 的比例變化記為I（t）；機(jī)場(chǎng)下已恢復(fù)正常狀態(tài)的航班R，指能控制住延誤擴(kuò)散所造成的風(fēng)險(xiǎn)，不受延誤擴(kuò)散的二次影響，其隨時(shí)刻t 的比例變化記為R（t）。

由以上分析可知，這兩種傳播過(guò)程所涉及到的類(lèi)型狀態(tài)、傳播行為都具有一定程度的相似性，在理論上一定程度的論述了借鑒傳播動(dòng)力學(xué)模型的基本思想來(lái)研究航班延誤擴(kuò)散的合理可行性。

2 航班延誤擴(kuò)散傳播模型

對(duì)于航班延誤擴(kuò)散SIR 模型，假設(shè)一定空域內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)航空網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)行航線數(shù)N 是不變的；不考慮返航、備降和取消航班等其他情況；根據(jù)以上說(shuō)明，基于SIR 的航班延誤擴(kuò)散模型傳播機(jī)制如圖2 所示。

圖2 航班延誤擴(kuò)散SIR 模型

為了方便研究，以公式（1）為傳播過(guò)程中所處狀態(tài)下隨時(shí)間變化的密度表達(dá)方程組：

在式（1）中，方程組分別表示為t 時(shí)刻正常狀態(tài)下航班所占的比例；t 時(shí)刻已延誤擴(kuò)散的航班比例和時(shí)刻航班已恢復(fù)正常狀態(tài)時(shí)所占比例。α 為延誤擴(kuò)散系數(shù)，表示延誤擴(kuò)散航班的傳播概率，在實(shí)際情況下，航班計(jì)劃安排、空域容量等因素影響其取值；β 為延誤消散系數(shù)，表示由延誤擴(kuò)散狀態(tài)恢復(fù)為航班正常狀態(tài)的概率，在實(shí)際情況下，空域容量、機(jī)場(chǎng)容量等因素影響其取值；其二者均為正實(shí)數(shù)，其比值v 表示相對(duì)移除率，表達(dá)式為：

以上方程組不存在解析解，相對(duì)移除率在模型中采用相軌線分析法，對(duì)式（1）計(jì)算可得S（t）與I（t）間的關(guān)系，S-I 相平面上的相軌線方程為：

解得：I+S-vlnS+C=0。

新的函數(shù)關(guān)系為：f（S,I）=I+S-vilnS+C。

不斷地調(diào)整參數(shù)α，β 和初始值S（0），I（0）的取值，從輸出的數(shù)據(jù)及圖形來(lái)觀察航班延誤的傳播規(guī)律。分別取v=0.6、1、5/3，其相軌線如圖3（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）所示，相軌線方向全部為逆時(shí)針。

圖3

對(duì)比以上圖形可得，隨著改變相對(duì)移除率的取值，曲線的峰值也不同，說(shuō)明了延誤擴(kuò)散反應(yīng)程度不一。由圖3（a）、（d），圖3（b）、（e），圖3（c）、（f）可知，通過(guò)改變初始值S（0），I（0）也可影響到航班延誤擴(kuò)散的行為。進(jìn)一步的，如果v 的比值小于1 時(shí)，S（t）呈現(xiàn)單調(diào)下降的趨勢(shì)，I（t）則呈先上升后下降的變化，表明在此情況下，航班延誤擴(kuò)散行為有蔓延現(xiàn)象，延誤航班數(shù)量將到達(dá)某個(gè)峰值，航班延誤擴(kuò)散情況較為嚴(yán)重。反之，如果v 的比值大于1 時(shí)，S（t）和I（t）均呈現(xiàn)單調(diào)下降的趨勢(shì)，甚至下降至0，這表明通過(guò)減少正常航班節(jié)點(diǎn)或增加相對(duì)移除率的情況下，航班延誤擴(kuò)散行為將有效得到控制，延誤擴(kuò)散情況得到緩解。由此可以得到以下結(jié)論：

（1）當(dāng)S=v 時(shí)，該點(diǎn)所在曲線的位置為最高點(diǎn)位置，I（t）達(dá)到峰值，因延誤擴(kuò)散造成航班延誤數(shù)量此時(shí)最多。

（2）當(dāng)S＜v 時(shí)，I（t）值減小，延誤擴(kuò)散狀況得到緩解且進(jìn)入消散階段。

（3）當(dāng)S＞v 時(shí)，I（t）值增大，延誤擴(kuò)散狀況進(jìn)一步加劇。

3 航班延誤擴(kuò)散模型仿真分析

3.1 延誤擴(kuò)散系數(shù)變化下的擴(kuò)散行為分析

（1）賦予一組初始標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)；模型求解方法步驟如下所示：設(shè)定各個(gè)變量和參數(shù)的初始取值，S（0）=0.98，I（0）=0.02，R（0）=0。時(shí)間t 為自變量，因變量則為各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的比例。

（2）輸入有關(guān)參數(shù)，參數(shù)取值參考文獻(xiàn)[11]；把上述數(shù)據(jù)代入公式（1）。

（3）運(yùn)行模型；使用Matlab 對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型仿真。

（4）分析圖形變化。

取β=0.1 保持不變，α 分別取0.15、0.3、0.45、0.6、0.75，觀察I（t）和S（t）的變化，如圖4（a）、（b）所示。

圖4

圖4（a）中隨著時(shí)間t 的增加，I（t）曲線變化為先上升后下降；比較五組數(shù)據(jù)可知，當(dāng)增大延誤擴(kuò)散系數(shù)α，I（t）曲線越陡峭，也更早的達(dá)到峰值，且峰值在不斷變大，其增長(zhǎng)和下降的也更快。圖4（b）S（t）中隨著時(shí)間t 的增加而下降，且當(dāng)延誤擴(kuò)散系數(shù)α 越大，S（t）下降速度越快，最后較早達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)。以上分析可得，在航班延誤傳播過(guò)程中，已延誤并具有擴(kuò)散能力的航班隨時(shí)間的增加則先上升后下降，說(shuō)明延誤擴(kuò)散行為在初期較為嚴(yán)重，到后期逐漸消散。并且系數(shù)α 越大，延誤的航班敏感度較高，則導(dǎo)致延誤擴(kuò)散傳播的現(xiàn)象更嚴(yán)重。所以降低延誤擴(kuò)散率，將有效地緩解航班延誤擴(kuò)散現(xiàn)象。

3.2 延誤消散系數(shù)變化下的擴(kuò)散行為分析

取α=0.8 保持不變，β 分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，觀察I（t）和S（t）的變化，如圖5（a）、（b）所示。

圖5

在圖5（a）中，比較五組數(shù)據(jù)可得I（t）曲線的變化趨勢(shì)隨著延誤消散系數(shù)β 的增大而變得平緩，峰值在不斷減小且出現(xiàn)時(shí)間較靠前；圖5（b）S（t）曲線隨著延誤消散系數(shù)β 的增大其穩(wěn)定值在升高，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)所需的時(shí)間也較長(zhǎng)，表明S（t）轉(zhuǎn)換成I（t）的概率在增大。以上分析可得，在航班延誤擴(kuò)散傳播過(guò)程中，延誤消散系數(shù)β 越大，延誤航班擴(kuò)散行為消散的越快，即已延誤并具有擴(kuò)散能力的航班比例呈減小趨勢(shì)，延誤傳播嚴(yán)重現(xiàn)象得到緩解，最終擴(kuò)散將會(huì)停止。正常狀態(tài)下的航班也將會(huì)達(dá)到平衡。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)分析航班延誤擴(kuò)散行為的傳播現(xiàn)象與傳染病SIR 模型間的相似性，發(fā)現(xiàn)航班延誤擴(kuò)散傳播過(guò)程與傳染病的傳播相結(jié)合有較大可行性。于是基于SIR 模型的基礎(chǔ)上建立了航班延誤擴(kuò)散傳播動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)對(duì)相軌線進(jìn)行分析比較，討論相對(duì)移除率v 的數(shù)值變化與延誤擴(kuò)散行為的關(guān)系，研究得出盡可能讓S 小于v，來(lái)緩解延誤擴(kuò)散行為的嚴(yán)重性；通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析，得出其參數(shù)變化對(duì)延誤及消散的影響。希望在今后的研究中，應(yīng)積極考慮航班狀態(tài)間的轉(zhuǎn)變情況，為減少延誤擴(kuò)散現(xiàn)象提出可行措施與意見(jiàn)。