童明雷，韓孟納，楊廷高，趙成仕，朱幸芝

1．中國(guó)科學(xué)院 國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600 2．中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

脈沖星是大質(zhì)量恒星超新星爆發(fā)或雙星吸積塌縮后形成的帶強(qiáng)磁場(chǎng)的中子星，其旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的輻射束可被地面射電望遠(yuǎn)鏡或空間高能探測(cè)器接收。因其超高溫、超高壓、超高密度、超強(qiáng)磁場(chǎng)、超強(qiáng)電場(chǎng)、超強(qiáng)引力場(chǎng)等極端物理?xiàng)l件，脈沖星成為天文和物理研究的天然實(shí)驗(yàn)室。脈沖星是20世紀(jì)60年代的四大天文發(fā)現(xiàn)之一。脈沖星的觀測(cè)和理論研究自發(fā)現(xiàn)以來(lái)已持續(xù)了50多年，是天體物理領(lǐng)域重要的研究對(duì)象。

國(guó)內(nèi)外對(duì)脈沖星的射電觀測(cè)已長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年之久，隨著各種地面大型射電望遠(yuǎn)鏡的陸續(xù)建成，天文學(xué)家對(duì)脈沖星的形成、輻射機(jī)制、內(nèi)部結(jié)構(gòu)及旋轉(zhuǎn)特征等進(jìn)行了深入研究［1］。值得一提的是，2020年12月1日，因饋源平臺(tái)墜落導(dǎo)致受損嚴(yán)重的阿雷西博射電望遠(yuǎn)鏡（Arecibo）在其服役期間對(duì)脈沖星的觀測(cè)取得了眾多劃時(shí)代成果［2］：1974年Hulst和Taylor發(fā)現(xiàn)了第1個(gè)脈沖星-中子星雙星系統(tǒng)（PSR B1913+16），間接證明了引力波的存在［3］；1982年發(fā)現(xiàn)了第1顆毫秒脈沖星（PSR B1937+21）［4］；1992年Wolszczan和Frail發(fā)現(xiàn)第1顆伴星為行星的脈沖星（PSR B1257+12）［5］，這是人類首次發(fā)現(xiàn)系外行星。隨著Are?cibo的落幕，被譽(yù)為“中國(guó)天眼”的500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）于2021年3月31日對(duì)全球開放，接受來(lái)自全世界的觀測(cè)申請(qǐng)。國(guó)際上，中國(guó)參與了平方公里陣（SKA）項(xiàng)目，并將脈沖星搜尋、脈沖星測(cè)時(shí)及引力檢驗(yàn)作為重點(diǎn)研究方向之一。

深空探測(cè)任務(wù)具有距離遠(yuǎn)、延遲長(zhǎng)、信號(hào)弱等特點(diǎn)，在此條件下高精度導(dǎo)航始終是深空測(cè)控技術(shù)需要重點(diǎn)解決的問(wèn)題。X射線脈沖星導(dǎo)航作為一種新的天文導(dǎo)航方式，通過(guò)觀測(cè)脈沖星輻射的X射線光子，便可獲得高精度的測(cè)距信息與時(shí)間信息［6］。脈沖星輻射的高能X射線集中了絕大部分的輻射能量，易于被小型化探測(cè)器接收，有利于減小航天器有效載荷的尺寸。同時(shí)，脈沖星導(dǎo)航彌補(bǔ)了全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）導(dǎo)航精度隨測(cè)控距離的增加而降低的缺陷，是一種真正意義上的自主導(dǎo)航，適用于廣闊的太陽(yáng)系空間的深空探測(cè)甚至星際飛行任務(wù)的航天器自主導(dǎo)航，近年來(lái)逐漸成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。

脈沖星導(dǎo)航雖然未來(lái)應(yīng)用前景廣泛，但由于X射線探測(cè)器的靈敏度較低，探測(cè)流量極低的毫秒脈沖星還比較困難，因此目前并沒(méi)有實(shí)質(zhì)的應(yīng)用。而利用脈沖星進(jìn)行空間自主守時(shí)有望更早地獲得應(yīng)用。由于脈沖星時(shí)的長(zhǎng)期穩(wěn)定性好，基于射電波段的長(zhǎng)期脈沖星計(jì)時(shí)觀測(cè)資料可以建立脈沖星時(shí)［7-8］。有些觀測(cè)精度較高的脈沖星，利用其2～3年計(jì)時(shí)數(shù)據(jù)就可以建立穩(wěn)定脈沖星時(shí)［9］。對(duì)于既有射電輻射又有X射線輻射的脈沖星，在利用射電波段構(gòu)建脈沖星計(jì)時(shí)模型參數(shù)后可以作為數(shù)據(jù)庫(kù)，聯(lián)合X射線波段的計(jì)時(shí)觀測(cè)用于空間守時(shí)系統(tǒng)。由于脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率變化率通常很小，因此短時(shí)間內(nèi)脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率非常穩(wěn)定，構(gòu)成一種頻率基準(zhǔn)，基于此可以校準(zhǔn)原子鐘的頻率，提高其準(zhǔn)確度。本文將結(jié)合Crab脈沖星射電波段數(shù)據(jù)庫(kù)和X射線計(jì)時(shí)觀測(cè)進(jìn)行空間自主守時(shí)研究，利用脈沖星改正空間原子鐘的頻率偏差而不依賴于地面。

脈沖星導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星（XPNAV-1）是由中國(guó)航天科技集團(tuán)第五研究院研制的中國(guó)首顆X射線脈沖星導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星，于北京時(shí)間2016年11月10日在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心由長(zhǎng)征11號(hào)運(yùn)載火箭發(fā)射升空［10］。衛(wèi)星軌道高度500 km，軌道周期94 min。因在執(zhí)行觀測(cè)任務(wù)時(shí)為降低對(duì)探測(cè)器的損害，衛(wèi)星在觀測(cè)時(shí)避開了南大西洋異常區(qū)，每個(gè)觀測(cè)弧段的持續(xù)時(shí)間通常只有30～50 min［11-12］。衛(wèi)星采用整星零動(dòng)量三軸穩(wěn)定姿態(tài)控制方式，搭載了掠入射Wolter-I聚焦型探測(cè)器和準(zhǔn)直型微通道板探測(cè)器［13］。Crab脈沖星（PSR B0531+21）作為天空中最明亮的X射線源之一，成為XPNAV-1衛(wèi)星進(jìn)行在軌標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)源。本文主要對(duì)XPNAV-1衛(wèi)星的Crab脈沖星觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分析研究了星載原子鐘的頻率偏差對(duì)脈沖到達(dá)時(shí)間的影響，據(jù)此進(jìn)一步給出可對(duì)頻率偏差進(jìn)行修正的方法。

1 X射線脈沖星計(jì)時(shí)

與射電脈沖星計(jì)時(shí)不同，X射線探測(cè)器記錄的是X射線光子的到達(dá)時(shí)刻。XPNAV-1衛(wèi)星的公開發(fā)布數(shù)據(jù)［14］包括光子事件文件和軌道文件2類數(shù)據(jù)。由于光子到達(dá)探測(cè)器的時(shí)刻與衛(wèi)星軌道遙測(cè)時(shí)刻并不一致，因此需要在光子到達(dá)時(shí)刻內(nèi)插出航天器的位置與速度。衛(wèi)星在繞地飛行時(shí)，其所處的引力場(chǎng)是在不斷變化的，“多普勒效應(yīng)”“引力紅移”以及視差等效應(yīng)會(huì)使探測(cè)器探測(cè)到的光子到達(dá)時(shí)刻失去周期性，需將光子到達(dá)探測(cè)器的時(shí)刻轉(zhuǎn)換為到達(dá)太陽(yáng)系質(zhì)心（SSB）的時(shí)刻。到達(dá)時(shí)間的轉(zhuǎn)換模型包括：衛(wèi)星繞地運(yùn)動(dòng)和地球公轉(zhuǎn)引起的幾何延遲、引力場(chǎng)中光線彎曲引起的Shap?iro延遲、引力場(chǎng)中時(shí)間尺度變換的Einstein延遲等，具體過(guò)程可見(jiàn)文獻(xiàn)［15-16］中的描述。

1.1 脈沖輪廓折疊

要得到脈沖到達(dá)SSB的時(shí)刻（TOA），需要將光子到達(dá)SSB的時(shí)間序列先進(jìn)行歷元折疊得到積分脈沖輪廓與標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓，再由二者的相關(guān)獲得脈沖到達(dá)時(shí)間。歷元折疊方法是將脈沖星的自轉(zhuǎn)周期均勻劃分為N等份（bin數(shù)），統(tǒng)計(jì)落入每個(gè)bin的光子數(shù)，從而獲得脈沖輪廓。折疊過(guò)程使用Jodrell Bank天文臺(tái)射電觀測(cè)的Crab脈沖星自轉(zhuǎn)模型參數(shù)［17］，使用的2段Crab脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)如表1所示。在公開發(fā)布數(shù)據(jù)時(shí)間跨度內(nèi)，Crab脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)更新過(guò)一次。表1中P1代表第1段自轉(zhuǎn)參數(shù)，P2代表第2段自轉(zhuǎn)參數(shù)。當(dāng)光子到達(dá)時(shí)刻（以約化儒略日表示）<57727時(shí)，使用P1，否則使用P2。

表1 Crab脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)Table 1 Spin parameters of Crab pulsar

在進(jìn)行脈沖輪廓折疊時(shí)，若子相位間隔數(shù)N取值太大，則折疊的脈沖輪廓會(huì)損失信噪比；若N取值太小，脈沖輪廓將過(guò)于平滑，丟失頻域信息。圖1給出了采用第24組數(shù)據(jù)、按不同N（分別取64、128、256、512、1024、4096）折疊的積分脈沖輪廓，顯然脈沖輪廓的信噪比明顯地依賴于N值的選取。表2給出了各脈沖輪廓的信噪比（SNR），計(jì)算公式［18］為

圖1 積分脈沖輪廓隨子相位間隔數(shù)的變化Fig. 1 Variations of integrated pulse profile with number of sub-phase intervals

式中：Npeak為脈沖輪廓主峰的光子數(shù)；Ntotal為觀測(cè)的總光子數(shù)；p為曝光時(shí)間。表2中p均為44735 s。此外，N的取值也與探測(cè)器的靈敏度以及每個(gè)觀測(cè)文件的數(shù)據(jù)量有關(guān)。脈沖星輪廓的SNR只是作計(jì)時(shí)數(shù)據(jù)處理的一個(gè)參考，不能作為唯一標(biāo)準(zhǔn)。盡管表2中N=64的信噪比最高，但其脈沖星輪廓的形狀可能已經(jīng)失真。后面的分析發(fā)現(xiàn)N?。?4，512］的范圍內(nèi)，計(jì)時(shí)結(jié)果很穩(wěn)定。因此如無(wú)特別說(shuō)明，不失一般性地均取N=256［19］。

表2 按不同子相位間隔數(shù)折疊的積分脈沖輪廓SNRTable 2 Signal-to-noise ratio of integrated pulse profile folded by different number of sub-phase intervals

Jodrell Bank天文臺(tái)發(fā)布的Crab脈沖星星歷參數(shù)是基于美國(guó)JPL太陽(yáng)系行星歷表DE200得到的，而JPL歷表參考的時(shí)間尺度是太陽(yáng)系質(zhì)心力學(xué)時(shí)（TDB），因此表1中t0給出的是TDB時(shí)刻。折疊的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓Fig. 2 Standard pulse profile

1.2 脈沖輪廓平滑

當(dāng)脈沖輪廓折疊所用的光子數(shù)過(guò)少時(shí)，得到的脈沖輪廓信噪比會(huì)很低，從而影響脈沖到達(dá)時(shí)間的確定，通常需將輪廓進(jìn)行平滑降噪處理。核回歸作為一種非參數(shù)估計(jì)方法，其對(duì)數(shù)據(jù)的分布特征不附加任何假定，是一種從數(shù)據(jù)本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布特征的方法［20］。定義x處的觀測(cè)量為

式中：yi為x處的已知觀測(cè)量；wi(x)為x處的權(quán)函數(shù)。權(quán)函數(shù)的定義為

其中：h為核寬度，h的大小決定了平滑程度；κ(m)為核函數(shù)。本文比較了3種常用的核平滑方法（Gaussian核平滑、Epanech?nikov核平滑以及Tri-cube核平滑）對(duì)脈沖輪廓的平滑效果。3種核函數(shù)的定義為

式中，κ1(m)、κ2(m)、κ3(m)分別為Gaussian核函數(shù)、Epanechnikov核函數(shù)以及Tri-cube核函數(shù)。

平滑的具體方法是選取其中一組原始積分脈沖輪廓，采用上述3種方法進(jìn)行降噪處理，處理后的結(jié)果如圖3所示。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)使用相同的核寬度時(shí)，相較于其他2種核回歸法，Gaussian核回歸可以有效去除脈沖輪廓中的隨機(jī)噪聲并保留信號(hào)的峰值特征，平滑效果最好。且由于高斯核函數(shù)靈活性比較高，當(dāng)特征數(shù)較小時(shí)，一般采用高斯核回歸平滑含噪聲的信號(hào)。因此下文均采用Gaussian核回歸平滑法對(duì)脈沖輪廓降噪處理。

圖3 脈沖輪廓經(jīng)3種核回歸處理前后的結(jié)果比較Fig. 3 Results of pulse profile before and after being processed by three kernel regressions

1.3 計(jì)時(shí)殘差獲取

計(jì)時(shí)殘差是衡量脈沖星計(jì)時(shí)水平的一個(gè)重要因素，要得到計(jì)時(shí)殘差需要首先獲得TOA數(shù)據(jù)。本文的TOA是采用積分脈沖輪廓與標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓經(jīng)DFT之后在頻域互相關(guān)［21］的方法得到的，頻域互相關(guān)相較于時(shí)域互相關(guān)可以獲得更高的TOA測(cè)量精度。計(jì)時(shí)殘差為測(cè)量的TOA與模型預(yù)報(bào)的TOA之差［22］，即

式中：R(t)表示計(jì)時(shí)殘差；?(t)為脈沖到達(dá)時(shí)刻t對(duì)應(yīng)的相位，N(t)為與?(t)最接近的整數(shù)，ν為所觀測(cè)脈沖星的自轉(zhuǎn)頻率。

將XPNAV-1衛(wèi)星的35組觀測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合Jodrell Bank發(fā)布的Crab脈沖星的射電計(jì)時(shí)模型參數(shù)，并擬合掉2個(gè)波段的零點(diǎn)相位差后得到的擬合前計(jì)時(shí)殘差如圖4所示，圖中脈沖到達(dá)時(shí)刻用約化儒略日（MJD）表示。零點(diǎn)相位差不存在長(zhǎng)期變化趨勢(shì)，在短時(shí)間內(nèi)變化很小，可近似視為常數(shù)［23-24］。圖4的結(jié)果利用了全部數(shù)據(jù)構(gòu)建的標(biāo)準(zhǔn)脈沖星輪廓，得到的計(jì)時(shí)殘差均方根（RMS）值為29.4853 μs。在這35組觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度內(nèi)，Crab脈沖星更新了一次星歷參數(shù)，可以嘗試使用不同星歷的觀測(cè)數(shù)據(jù)段分別構(gòu)建各自的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓，本文暫不討論這種處理方法。圖4中并沒(méi)有出現(xiàn)線性項(xiàng)，說(shuō)明Crab脈沖星射電計(jì)時(shí)模型參數(shù)對(duì)于一個(gè)月的X射線觀測(cè)數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確，計(jì)時(shí)殘差主要由觀測(cè)白噪聲引起。當(dāng)然，可以對(duì)計(jì)時(shí)殘差進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，得到更新后更加準(zhǔn)確一點(diǎn)的自轉(zhuǎn)模型參數(shù)［16］。

圖4 擬合前計(jì)時(shí)殘差Fig. 4 Pre-fit timing residuals

2 X射線脈沖星校準(zhǔn)星載原子鐘

2.1 參考鐘對(duì)脈沖星計(jì)時(shí)的影響

對(duì)于X射線脈沖星觀測(cè)而言，星載原子鐘的穩(wěn)定度與準(zhǔn)確度會(huì)影響光子到達(dá)探測(cè)器時(shí)刻的測(cè)量精度。在理想情況下，原子鐘頻率源的輸出信號(hào)為頻率恒定的正弦波。但由于系統(tǒng)噪聲和隨機(jī)噪聲的存在，頻率源的實(shí)際輸出頻率會(huì)偏離其標(biāo)稱頻率，瞬時(shí)相對(duì)頻率偏差y(t)的定義為

式中：f(t)為頻率源的輸出頻率；f0為標(biāo)稱頻率；x(t)為原子鐘實(shí)際輸出信號(hào)相對(duì)于理想時(shí)間信號(hào)的時(shí)間偏差，可以表示為［25］

式中：x0為初始時(shí)刻時(shí)間偏差；y0為初始時(shí)刻相對(duì)頻率偏差；a為原子鐘頻率漂移；xr(t)為隨機(jī)噪聲項(xiàng)。由于頻率源輸出頻率的不穩(wěn)定以及航天器所處空間磁場(chǎng)環(huán)境的變化，星載原子鐘的輸出頻率與標(biāo)稱頻率之間會(huì)存在一個(gè)頻率偏差，該偏差值會(huì)影響航天器本地時(shí)間的準(zhǔn)確度。

XPNAV-1衛(wèi)星直接接收GPS衛(wèi)星發(fā)播的系統(tǒng)時(shí)間。GPS時(shí)是GPS信號(hào)的時(shí)間基準(zhǔn)，由地面監(jiān)控站和衛(wèi)星上的原子鐘經(jīng)加權(quán)算法得到［26］。GPS衛(wèi)星軌道高度約為20200 km，星載鐘主要受廣義相對(duì)論的“引力紅移”效應(yīng)，若衛(wèi)星發(fā)射之前星載鐘未作頻率調(diào)整，GPS衛(wèi)星鐘的走時(shí)將比地球時(shí)（TT）快。為使GPS鐘的走時(shí)速率與TT一致，GPS衛(wèi)星發(fā)射前將對(duì)原子鐘進(jìn)行頻率調(diào)整，扣除相對(duì)論效應(yīng)，不再以SI秒為單位測(cè)量原時(shí)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需考慮地球的引力場(chǎng)及衛(wèi)星相對(duì)于地心的速度對(duì)星載原子鐘走時(shí)速度的影響。但這種時(shí)間接收方法只適用于地球表面的近地空間，對(duì)于更廣闊的太陽(yáng)系以及星際空間，由于距離問(wèn)題，航天器無(wú)法接收到GPS信號(hào)，只能通過(guò)攜帶的星載鐘來(lái)計(jì)時(shí)。對(duì)于XPNAV-1衛(wèi)星，若用星載原子鐘記錄光子到達(dá)時(shí)刻，則需要考慮廣義相對(duì)論的時(shí)空線元和度規(guī)，將原時(shí)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)時(shí)，并最終轉(zhuǎn)為TDB。對(duì)于地球軌道衛(wèi)星，原時(shí)到坐標(biāo)時(shí)轉(zhuǎn)換公式為［27］

式中：U為地球在衛(wèi)星處產(chǎn)生的引力勢(shì)大小，衛(wèi)星所處的引力勢(shì)與衛(wèi)星的位置有關(guān)；v為衛(wèi)星相對(duì)于地心的速度；c為光速。TT與地心坐標(biāo)時(shí)（TCG）的關(guān)系為［28-30］

式中：LG≡6.969290134×10?10為一常數(shù)。若衛(wèi)星飛行軌道近似為圓軌道，則衛(wèi)星所處的引力場(chǎng)可視為常數(shù)。由式（7）與式（8）可得原時(shí)與地球時(shí)的關(guān)系：

式中：G為引力常量；M為地球質(zhì)量；r為地球半徑；H為衛(wèi)星的軌道高度。若XPNAV-1衛(wèi)星使用自己攜帶的原子鐘，經(jīng)計(jì)算，星載原子鐘相對(duì)于TT走時(shí)的變化率為?2.6941×10?10。

對(duì)于各種波段的脈沖星計(jì)時(shí)觀測(cè)，TOA是由參考鐘記錄的，進(jìn)而通過(guò)時(shí)間轉(zhuǎn)換溯源到更高精度的時(shí)間尺度。脈沖星的計(jì)時(shí)殘差方程［2］：

原子鐘的鐘差、頻率偏差、頻率漂移均會(huì)使記錄的光子到達(dá)時(shí)刻不準(zhǔn)確，最終分別導(dǎo)致擬合前計(jì)時(shí)殘差存在常數(shù)偏差、線性項(xiàng)以及二次項(xiàng)。式中：R為t時(shí)刻的計(jì)時(shí)殘差；R0為t0時(shí)刻的殘差；?v0和?v?分別為v0、v?的修正量；?α、?δ分別為對(duì)脈沖星赤經(jīng)、赤緯的修正；μα、μδ分別為赤經(jīng)方向上的自行與赤緯方向上的自行；A、B為脈沖星位置修正項(xiàng)的系數(shù)。

為研究星載時(shí)鐘的頻率偏差對(duì)X射線脈沖到達(dá)時(shí)間的影響，本文仿真了參考時(shí)鐘存在頻率偏差時(shí)脈沖星光子到達(dá)探測(cè)器的時(shí)刻，這里鐘的相對(duì)頻率偏差取為y0=2.6941×10?10，即衛(wèi)星星載鐘原時(shí)與TT速率的相對(duì)偏差。此時(shí)，第i個(gè)光子的到達(dá)時(shí)間變?yōu)?/p>

式中：ti表示參考時(shí)沒(méi)有頻率偏差時(shí)第i個(gè)光子的達(dá)到時(shí)間。

按照X射線脈沖星計(jì)時(shí)流程重新做處理，得到擬合前計(jì)時(shí)殘差，注意，這里依然用了參考時(shí)沒(méi)有偏差時(shí)構(gòu)建的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓，這是為了避免參考鐘偏差引起的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓變形和信噪比的降低，而這在實(shí)際情況中是比較容易做到的，只需利用Crab脈沖星時(shí)間校準(zhǔn)過(guò)的歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓即可。同時(shí)，為了避免復(fù)雜性，后面的討論和計(jì)算不考慮分段構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓的情況。對(duì)計(jì)時(shí)殘差進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖5所示，擬合斜率為2.6858×10?10，擬合斜率的不確定度為4.2842×10?14。從擬合結(jié)果可以看出，通過(guò)計(jì)時(shí)殘差的擬合斜率值可估計(jì)原子鐘的相對(duì)頻率偏差。因此，可通過(guò)X射線脈沖星觀測(cè)自主校準(zhǔn)星載鐘的頻率偏差，在一定程度上保證星載原子鐘的準(zhǔn)確度。而通過(guò)相對(duì)密集的頻率駕馭，還可以提高星載鐘的穩(wěn)定度。需要指出的是，本文是基于真實(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)仿真了記錄光子到達(dá)探測(cè)器時(shí)刻的原子鐘存在的頻率偏差，這只改變了光子到達(dá)時(shí)刻的時(shí)間溯源，并沒(méi)有仿真脈沖星信號(hào)的本身，因此完全保留了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的噪聲特征。

圖5 星載鐘存在頻率偏差時(shí)的計(jì)時(shí)殘差及線性擬合結(jié)果Fig. 5 Timing residuals and linear fitting results of spaceborne clock with frequency deviation

2.2 不同N值確定的相對(duì)頻率偏差

考慮到不同bin數(shù)對(duì)脈沖星計(jì)時(shí)殘差的影響較大，計(jì)算了當(dāng)參考鐘存在頻率偏差，N取不同值時(shí)相對(duì)頻率偏差估計(jì)值yc的變化情況，結(jié)果如表3所示，同時(shí)給出了相對(duì)頻率偏差的相對(duì)誤差δyc：δyc=（yc?y0）/y0。由表3可知，N取值不同，頻率偏差估計(jì)值與實(shí)際設(shè)定值之間的偏離程度不同。若N取的太大，則脈沖輪廓信噪比太低，會(huì)影響脈沖到達(dá)時(shí)間的測(cè)量精度；若N取的太小，則脈沖輪廓會(huì)過(guò)于平滑，將間接掩蓋頻率偏差引起的計(jì)時(shí)殘差的系統(tǒng)性趨勢(shì)。當(dāng)N取的過(guò)大時(shí)，隨著N的增加，頻率偏差估計(jì)值與實(shí)際設(shè)定值之間的相對(duì)誤差也隨之變大。因此，對(duì)于鐘差漂移的修正，N要取合適的值。也同時(shí)給出了脈沖輪廓經(jīng)高斯平滑后得到的相對(duì)頻率偏差估計(jì)值ys及其與實(shí)際設(shè)定值的相對(duì)誤差δys。比較δyc和δys可知，脈沖輪廓經(jīng)核回歸處理后可有效改正脈沖輪廓低信噪比對(duì)頻率偏差估計(jì)精度的影響。為了更加直觀地反映相對(duì)頻率偏差估計(jì)值隨N值的變化，圖6給出了相對(duì)頻率偏差估計(jì)值與實(shí)際設(shè)定值的差值（即絕對(duì)誤差）隨N的變化趨勢(shì)。如圖6所示，當(dāng)N>512時(shí)，yc誤差的絕對(duì)值隨N增大而增大；而ys基本不隨N值的變化而變化，即對(duì)N的取值不敏感。因此平滑脈沖輪廓有利于減小結(jié)果對(duì)N值的依賴性。由表3給出的相對(duì)頻率偏差估計(jì)值與實(shí)際設(shè)定值之間的相對(duì)誤差可知，如果不平滑脈沖輪廓，則N最好≤512。

表3 不同子相位間隔數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率偏差估計(jì)值及其相對(duì)誤差Table 3 Estimates of frequency deviations correspond?ing to different sub-phase intervals and their relative errors

圖6 相對(duì)頻率偏差估計(jì)值的絕對(duì)誤差隨N的變化Fig. 6 Variations of absolute error of estimated relative frequency deviation along with values of N

2.3 駕馭不同水平的星載原子鐘

基于脈沖星觀測(cè)估計(jì)的星載鐘頻率偏差的不確定度依賴于脈沖星的TOA測(cè)量精度。Crab脈沖星屬于正常年輕的脈沖星，TOA測(cè)量誤差比較大，且其存在周期躍變現(xiàn)象，自轉(zhuǎn)穩(wěn)定性遠(yuǎn)低于毫秒脈沖星。遺憾的是XPNAV-1測(cè)量不到毫秒脈沖星的周期信號(hào)。下面，基于Crab脈沖星的觀測(cè)，討論一下其駕馭星載原子鐘頻率偏差的性能。假設(shè)星載鐘存在10?10、10?11和10?12這3個(gè)不同量級(jí)的相對(duì)頻率偏差，N=256，并利用高斯核回歸平滑脈沖輪廓，所得結(jié)果如表4所示。由表4可知，隨著頻率偏差量級(jí)的減小，該方法得到的頻率偏差估計(jì)值與真值的偏離程度變大。這是由于Crab脈沖星TOA測(cè)量精度不高，導(dǎo)致頻率偏差較小時(shí)對(duì)其估計(jì)精度偏低。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，可通過(guò)觀測(cè)自轉(zhuǎn)更加穩(wěn)定的毫秒脈沖星，獲得更高精度的星載鐘頻率偏差值。另一方面，選用的Crab脈沖星的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度只有1個(gè)月左右，如果數(shù)據(jù)時(shí)間跨度更長(zhǎng)，則其檢測(cè)星載鐘相對(duì)頻率偏差的性能會(huì)更高。當(dāng)然，實(shí)際情況中星載鐘還可能存在頻率漂移，那就需要做二次多項(xiàng)式擬合，并通過(guò)擬合的多項(xiàng)式系數(shù)改正星載原子鐘的鐘差、頻率偏差及漂移項(xiàng)。由于所用數(shù)據(jù)比較短，在模擬鐘差時(shí)只考慮了線性的頻率偏差。

表4 相對(duì)頻率偏差取值不同對(duì)應(yīng)的改正結(jié)果Table 4 Correction results corresponding to different values of relative frequency deviation

在得到星載鐘相對(duì)頻率偏差的估計(jì)值之后，據(jù)此可以駕馭星載鐘的頻率，改正其頻率偏差，使之輸出更準(zhǔn)確的時(shí)間。具體過(guò)程是：根據(jù)脈沖星擬合前計(jì)時(shí)殘差的擬合斜率，即星載鐘頻率偏差估計(jì)值ys，將星載鐘的相對(duì)頻率偏差反向補(bǔ)償一個(gè)因子(1+ys)；駕馭后星載鐘的等效輸出頻率為f′=f(1+ys)，其中f是未經(jīng)駕馭的星載鐘的輸出頻率。這樣就在一定程度上校準(zhǔn)了星載鐘的頻率偏差，提高了其準(zhǔn)確度。圖7給出了星載鐘無(wú)頻率偏差時(shí)擬合前計(jì)時(shí)殘差和星載鐘有頻率偏差又被脈沖星駕馭頻率修正后的計(jì)時(shí)殘差的比較。這個(gè)結(jié)果用了N=256時(shí)的相對(duì)頻率偏差估計(jì)值2.6858×10?10。從圖7可以看出，計(jì)時(shí)殘差不含明顯的趨勢(shì)項(xiàng)，與參考鐘沒(méi)有頻率偏差時(shí)得到的計(jì)時(shí)殘差相比，二者的變化趨勢(shì)基本一致。

圖7 參考鐘經(jīng)頻率偏差修正后的計(jì)時(shí)殘差Fig. 7 Timing residuals after correction of reference clock frequency deviation

3 結(jié) 論

針對(duì)XPNAV-1衛(wèi)星公開的數(shù)據(jù)，分析了利用Crab脈沖星駕馭空間原子鐘頻率的可行性。通過(guò)比較3種核回歸方法對(duì)脈沖輪廓的平滑能力，發(fā)現(xiàn)Gaussian核回歸可以更加有效地降低脈沖輪廓中的隨機(jī)噪聲并保留信號(hào)的峰值特征，提高了計(jì)時(shí)精度?；诖耍抡媪诵禽d原子鐘存在頻率偏差時(shí)的光子到達(dá)時(shí)刻數(shù)據(jù)，研究了鐘的頻率偏差對(duì)TOA及計(jì)時(shí)殘差的影響。結(jié)果表明鐘的頻率偏差會(huì)使計(jì)時(shí)殘差產(chǎn)生線性變化趨勢(shì)，對(duì)其線性擬合獲得了參考原子鐘的相對(duì)頻率偏差。我們計(jì)算了不同bin數(shù)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)脈沖輪廓經(jīng)過(guò)高斯核回歸法平滑后，得到的參考鐘相對(duì)頻率偏差擬合值基本與bin數(shù)無(wú)關(guān)，這減小了因N的取值不同帶來(lái)的不確定性，即提高了脈沖星頻率駕馭的穩(wěn)定性。通過(guò)對(duì)參考原子鐘的頻率駕馭，可校準(zhǔn)其頻率偏差，提高其準(zhǔn)確度。通過(guò)分別仿真星載鐘10?10、10?11和10?12水平的相對(duì)頻率偏差，一月數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的Crab脈沖星校準(zhǔn)星載鐘頻率的相對(duì)誤差分別為0.3%、42%和113%。

下一步，如果能夠利用更長(zhǎng)時(shí)間跨度的Crab脈沖星計(jì)時(shí)數(shù)據(jù)，有利于降低或消除脈沖星本身的噪聲或其他具有周期性的影響因素，進(jìn)而提高相對(duì)頻率偏差的估計(jì)精度。目前星載原子鐘頻率準(zhǔn)確度已達(dá)到10?12量級(jí)甚至更高，為此必須提高脈沖星檢驗(yàn)星載鐘頻率偏差的水平，這需要觀測(cè)自轉(zhuǎn)更加穩(wěn)定、計(jì)時(shí)精度更高的X射線毫秒脈沖星，預(yù)期可以大大提高星載鐘的頻率校準(zhǔn)精度。當(dāng)然，這需要靈敏度更高的X射線探測(cè)器。

通過(guò)密集的原子鐘頻率駕馭，還可以提高其長(zhǎng)期穩(wěn)定度。因此，本文的研究有利于提高空間時(shí)間系統(tǒng)的長(zhǎng)期自主保持能力。