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        利用曲線系 巧解競(jìng)賽題

        2023-03-11 05:37:08梁文勇
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年3期
        關(guān)鍵詞:競(jìng)賽題常數(shù)統(tǒng)一

        梁文勇

        ?江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)

        解析幾何題中常涉及大量的繁瑣計(jì)算,但如果選取適當(dāng)方法,就可以避繁就簡,使問題迎刃而解.曲線系思想是把符合某種條件的一系列曲線用帶有參數(shù)的方程統(tǒng)一表示出來,再根據(jù)題目中的另外條件確定其中的參數(shù)或方程的特征,以此為基礎(chǔ),進(jìn)一步解決問題[1].本文中利用曲線系對(duì)2021年的兩道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題進(jìn)行解答,希望與大家交流.

        原參考答案如下:

        圖1

        進(jìn)一步得

        因?yàn)閍2∈(4,+∞),所以f(a)∈(1,3).

        解:由題意,設(shè)MN的方程為y=k1(x+2),即y-k1x-2k1=0;設(shè)PQ的方程為y=k2(x-m),即y-k2x+k2m=0.因?yàn)橹本€MP,NQ過M,N,P,Q四點(diǎn),所以設(shè)MP,NQ兩直線的統(tǒng)一方程為

        又直線MP,NQ都過點(diǎn)D(1,0),設(shè)其方程分別為x=t1y+1,x=t2y+1,則MP,NQ的方程可統(tǒng)一為(x-t1y-1)(x-t2y-1)=0,展開為x2-(t1+t2)xy+t1t2y2-2x+(t1+t2)y+1=0,其x2的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等,xy的系數(shù)與y的系數(shù)互為相反數(shù),因此①式展開也有x2的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等,xy的系數(shù)與y的系數(shù)互為相反數(shù),則有

        因?yàn)閍2∈(4,+∞),所以f(a)∈(1,3).

        (1)求橢圓C的方程;

        圖2

        這里也是通過A1A2,EF的統(tǒng)一方程的系數(shù)特征,直接找到m,n之間的關(guān)系,避免了繁瑣運(yùn)算.

        通過兩道競(jìng)賽題的解析,我們看到曲線系方法應(yīng)用特征明顯,結(jié)構(gòu)精巧,過程簡捷明快,??蓽p少運(yùn)算,是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好方法,在解題實(shí)踐中可有意識(shí)地加以運(yùn)用.

        作為練習(xí),最后留一道題:

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