高 輝

?重慶市永川北山中學(xué)校

黃基云

?重慶市永川區(qū)教育科學(xué)研究所

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》對正、余弦定理要求是：“借助向量的運(yùn)算，探索邊長與角度的關(guān)系，掌握正弦定理、余弦定理；能用正、余弦定理解決簡單的實(shí)際問題.”[1]于是新教材(2019人教A版)在內(nèi)容設(shè)置上，“兩邊及其夾角”表示的面積公式未做介紹[2]，也沒有了對三角形解的個數(shù)的探究.那么是不是就意味著這樣的題型就沒有研究的必要了呢？答案是否定的.解三角形一直以來就是高考的重點(diǎn)內(nèi)容、高頻考點(diǎn)，而要更好地理解并掌握正、余弦定理，就要探究三角形解的個數(shù)，才能有效引導(dǎo)學(xué)生深度理解，深度思考，由低階思維到高階思維，由淺層學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí).

1 問題呈現(xiàn)，觸發(fā)思考

問題已知下列各三角形中的兩邊及其一邊所對的角，判斷三角形是否有解；如果有解，請給出解答.

(1)a=10,b=20,A=60°；

本題的條件背景簡單，在學(xué)習(xí)了正、余弦定理之后，學(xué)生都知道這是解三角形的基礎(chǔ)題型(SSA)，用正弦定理和余弦定理都可以，屬于固定套路，固定模型，是低階思維，淺層學(xué)習(xí).但是此題先要確定是否有解，具備一定的開放性.那么怎樣判斷三角形是否有解呢？對于多數(shù)學(xué)生而言，肯定都是嘗試著用正弦定理或者余弦定理去解答.

2 多解剖析，深度理解

方法1：用正弦定理計算出角B的正弦值，如果它的值在區(qū)間(0,1]上，三角形就至少有一解；如果它的值不在區(qū)間(0,1]上，三角形無解.對于有解的情況，可以根據(jù)三角形的性質(zhì)(三角形的內(nèi)角和為180°、大邊對大角等)判斷解的個數(shù).

又B∈(0,π)，則sinB∈(0,1].

因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=60°或120°.

故此三角形有兩解.

點(diǎn)評：通過正弦定理的有效應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)此情境下導(dǎo)致三角形解的個數(shù)變化的根源是正弦函數(shù)，從而揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，并找到知識間的聯(lián)系，有效促進(jìn)學(xué)生對正弦定理的深度理解，讓學(xué)生的思維得到升華.在有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的同時，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

方法2：用余弦定理可以得到關(guān)于邊c的一個一元二次方程，通過判斷方程有無正實(shí)數(shù)根來判斷三角形是否有解.判斷解的個數(shù)，也可以根據(jù)三角形的性質(zhì)(兩邊之和大于第三邊等)來檢驗(yàn)是一解還是兩解.

解析：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA,將a=10,b=20,A=60°代入，并整理得

c2-20c+300=0.

因?yàn)棣?400-1 200=-800<0，所以方程c2-20c+300=0無實(shí)數(shù)解.故三角形無解.

故三角形有兩解.

點(diǎn)評：通過余弦定理的有效應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)此情境下導(dǎo)致三角形解的個數(shù)變化的根源是一元二次方程，在夯實(shí)余弦定理的同時，引發(fā)了深度理解，深度思考，有效促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

以上兩種方法實(shí)質(zhì)上就是代數(shù)法，可以增強(qiáng)學(xué)生對正、余弦定理的理解，進(jìn)一步積累兩個定理應(yīng)用的基本活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).同時也夯實(shí)了三角形的基本性質(zhì)，對其應(yīng)用有了更加深入的思考.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾有詩云：“幾何與代數(shù)是統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”那么用幾何法能解決此題嗎？答案是肯定的.下面我們用幾何法作答.

方法3：已知三角形的兩邊a,b及其一邊所對的角A，那么就可以先作出角A和確定角的一邊b，三角形的第三個頂點(diǎn)B就自然在角的另一邊上，然后畫出已知角所對邊的最小值(過點(diǎn)C作角的另一邊的垂線段，D為垂足)，比較已知邊與此值(或另一條已知邊)的大小關(guān)系來判斷解的個數(shù)，即以點(diǎn)C為圓心，a為半徑畫圓，圓與射線AD的交點(diǎn)(非A點(diǎn))個數(shù)就是三角形解的個數(shù)，如圖1.然后再解三角形.

圖1

解析：(1)由a=10,b=20,A=60°，可得

所以a

所以bsinA

因此三角形有兩解,如圖1所示.

故三角形有兩解.

為了更好地理解和記憶，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想實(shí)數(shù)的幾何意義，可以利用“數(shù)軸”分解的優(yōu)勢，歸納此情境下三角形解的情況：以a為判斷對象，以bsinA,b為數(shù)軸上的分界點(diǎn)，把數(shù)軸分成五個區(qū)域，于是解的個數(shù)對應(yīng)于這些區(qū)域，簡記為“01211”[3].如圖2所示.

圖2

進(jìn)一步，角A為直角或鈍角時，三角形解的個數(shù)該如何判斷呢？顯然當(dāng)a≤b時，無解；當(dāng)a>b時，有一解.當(dāng)然，也可直接通過三角形的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.通過對幾何法的解析，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

點(diǎn)評：此類解三角形問題，代數(shù)法和幾何法均可以解決，但關(guān)鍵在于已知的元素是兩邊及其一邊所對的角，即SSA.其解題模式是固定的，如圖3所示.

圖3

3 拓展探究，深度思考

探究1抓住此類問題的關(guān)鍵，已知條件是SSA型，下面的變式就可以迎刃而解了.

變式1把前面的問題條件改為：

(1)a=10,c=20,A=60°；

探究2如果把其中一邊設(shè)為變量，即知道三角形的一邊一角和解的個數(shù)，能求出它的范圍嗎？

把此方程看作是關(guān)于c的一元二次方程，因此三角形解的個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為一個一元二次方程正實(shí)數(shù)根的個數(shù)問題.易知三角形要有兩解，此方程就要有兩個正實(shí)數(shù)根.

圖4

方法3：(幾何法)結(jié)合圖4知，有兩解的條件為asinB

點(diǎn)評：幾何法在解決此類題型上顯然具有優(yōu)越性.但是在實(shí)際操作過程中，幾何法對于多數(shù)學(xué)生而言是比較困難的.故在教學(xué)中，一定要引導(dǎo)學(xué)生畫圖思考，通過直觀觀察，得出不等式，從而解決問題.

探究3如果已知三角形的一邊一角，還能確定三角形哪些量的范圍呢？

即a=2sinA,b=2sinB.

點(diǎn)評：本題除了以上方法外，也可以用余弦定理結(jié)合基本不等式及三角形的性質(zhì)求得，在這里不再贅述.不難發(fā)現(xiàn)，將解三角形的問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域或者基本不等式求最值問題，既體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性，又體現(xiàn)試題的綜合性，符合高考命題的評價體系.此外還可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否能求三角形面積的范圍.再如，為什么已知的邊和角是相對應(yīng)的？其原因是如果邊與角不對應(yīng)缺乏研究的必要性.

4 題后反思，深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)是自然的，教師要營造一個善于思考的課堂文化氛圍，讓思維自然流淌，自然生長，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂.在新時代的教育背景下，題海戰(zhàn)術(shù)要逐漸遠(yuǎn)離舞臺，因?yàn)檫@不是新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的，它是學(xué)生苦不堪言的源頭.有效脫離題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)定“量”提“質(zhì)”、減“量”提“質(zhì)”就成了亟待解決的問題.一題多解，一題多變，常態(tài)化地對問題進(jìn)行深度理解、深度思考，有效促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)就顯得尤為重要.