張雙雙， 楊洪濤*， 馬 群， 李 莉

（1.安徽理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué) 安徽省礦山智能裝備與技術(shù)重點實驗室，安徽 淮南 232001）

1 引言

數(shù)控機床在機測量系統(tǒng)（簡稱在機測量系統(tǒng)）由機床和測頭組成，其測量誤差來源于機床幾何誤差、測量系統(tǒng)誤差、測頭誤差等，受空間測量位置、測量速度、溫度等因素的影響［1-4］，在整個測量空間內(nèi)誤差分布復(fù)雜且受到不同速度和空間位置等因素的影響，誤差之間相互抵消或者加強，在不同測量位置下，測量誤差分布規(guī)律存在差異。所以，測量誤差在空間內(nèi)存在著最大測量誤差最小的區(qū)域（最佳測量區(qū)）［5］，將被測工件放置在該區(qū)域進行測量，可以實現(xiàn)低精度儀器高精度測量。

對于最佳測量區(qū)，國內(nèi)外學(xué)者開展了相關(guān)研究，鄭大騰等［6］針對關(guān)節(jié)臂測量機構(gòu)建了最佳測量區(qū)的數(shù)學(xué)模型，并驗證了其存在性。秦自瑞等［7］對測量機的圓編碼器測角誤差進行仿真分析，將測量空間劃分成多個誤差小空間并驗證劃分正確性。胡毅等［8］采用蟻群算法求解關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測量機測量空間的最佳測量區(qū)，分析關(guān)節(jié)臂編碼器零位和角度誤差對測量機空間誤差的影響情況，并采用粒子群算法驗證最佳測量區(qū)的實用化。上述學(xué)者所研究的最佳測量區(qū)多數(shù)針對關(guān)節(jié)臂測量機，由于機床在機測量系統(tǒng)的誤差源更多、傳遞關(guān)系更復(fù)雜，不同空間位置下誤差有所差異，測量空間內(nèi)誤差分布規(guī)律非常復(fù)雜［9］，上述算法難以滿足數(shù)控機床在機測量系統(tǒng)最佳區(qū)域確定要求。李莉［10］利用SA-GA算法求解數(shù)控機床在機測量系統(tǒng)點和線測量的最佳測量區(qū)。張宇［11］采用標(biāo)準(zhǔn)環(huán)規(guī)為測量對象，建立了空間誤差和最佳測量區(qū)求解模型，應(yīng)用BAS-PSO算法求解面向圓面測量的最佳測量區(qū)。目前在機測量系統(tǒng)測量對象基本上由點、線、面、球核心要素組成，其中球是最復(fù)雜的核心要素。上述面向?qū)ο蟮淖罴褱y量區(qū)確定方法尚未針對球測量對象，同一個在機測量系統(tǒng)面向不同測量對象的最佳測量區(qū)域是不同的，而且面向不同被測對象的最佳測量區(qū)確定方法也不同，研究成果缺乏普適性。最佳測量區(qū)確定屬于多維尋優(yōu)問題，本文擬以球作為測量對象，采用基于布谷鳥搜索差分進化的混合優(yōu)化算法（Differential Evolution Cuckoo Search，DE-CS），研究適合不同核心要素測量、具有普適性的數(shù)控機床在機測量系統(tǒng)最佳測量區(qū)確定方法，并利用實驗進行驗證。

2 在機測量系統(tǒng)誤差分析與建模

2.1 在機測量系統(tǒng)測量原理

本文研究的在機測量系統(tǒng)由機床本體和測頭組成，如圖1所示。被測工件安裝在XY工作臺上進行X，Y向運動，測頭安裝在Z向主軸上沿Z向運動，被測點三維坐標(biāo)由測頭觸發(fā)機床坐標(biāo)測量系統(tǒng)測量與顯示。為了提高球體測量精度，本文采取六點測球法［12］，在兩個不同Z向高度的圓截面上共選取6個特征采樣點，通過測量軟件讀取其空間位置坐標(biāo)，采用最小二乘法反解出球徑和球心。

圖1 數(shù)控機床在機測量系統(tǒng)Fig.1 CNC machine tool in machine measurement system

在機測量系統(tǒng)的測量誤差主要來源于機床本體幾何誤差和測頭誤差。工作臺沿各方向?qū)к夁M行測量運動時，受機床制造、安裝誤差及環(huán)境因素的影響，機床本體會產(chǎn)生21項誤差（18項位置相關(guān)幾何誤差和3項垂直度誤差），以及熱誤差、運動誤差等。這些誤差受空間位置、運行速度等因素影響，呈現(xiàn)復(fù)雜規(guī)律變化。測頭系統(tǒng)的誤差主要可以分為預(yù)行程誤差、測量方向性誤差、測頭的安裝定位誤差等，目前本文所研究的機床測頭觸測方向、速度暫時無法調(diào)節(jié)，因此本文暫不予考慮。為了有效提高在機測量系統(tǒng)的測量精度，可以將工件放入確定的最佳測量區(qū)內(nèi)，從而能夠?qū)崿F(xiàn)低精度在機測量系統(tǒng)的高精度測量。要確定在機測量系統(tǒng)最佳測量區(qū)，必須建立各單項幾何誤差的精確預(yù)測模型，進而實現(xiàn)測量系統(tǒng)綜合誤差建模預(yù)測。

2.2 在機測量系統(tǒng)誤差建模

2.2.1 單項誤差建模

利用雙頻激光干涉儀和球桿儀對如圖1所示在機測量系統(tǒng)的各單項誤差進行測量與識別，根據(jù)現(xiàn)有實驗條件，確定所取的測量空間范圍為304.487 mm≤X≤504.487 mm，-229.042 mm≤Y≤-29.042 mm，-420.202 mm≤Z≤-220.202 mm。利用測量數(shù)據(jù)和BAS-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行單項誤差建模，其中建立的X軸偏擺角誤差εz(x)預(yù)測模型如式（1）所示，建模結(jié)果如圖2所示，其中x(n)為坐標(biāo)值，v(n)為該方向測量速度值。同理，可得到三軸機床其他單項幾何誤差預(yù)測模型。

圖2 X軸偏擺角誤差擬合結(jié)果Fig.2 X-axis yaw angle error fitting results

2.2.2 綜合誤差建模

由于滾轉(zhuǎn)角誤差較小且對機床總體誤差影響較小，本文忽略誤差建模中的滾轉(zhuǎn)角誤差，因此利用多體系統(tǒng)理論建立的三軸機床的綜合誤差預(yù)測模型如式（2）所示［13］：

其中：δx(x)為X軸定位誤差，δy(x)，δz(x)為X軸方向下Y，Z方向的直線度誤差，εz(x)，εy(x)分 別 為 偏 擺 角 和 俯 仰 角 誤 差；γx，y，γy，z，γx，z分 別是X，Y，Z三移動軸相互之間的垂直度誤差，可利用球桿儀測量得到，分別為-74.5 μm/m，-131.7 μm/m，-65.7 μum/m。

2.2.3 標(biāo)準(zhǔn)球測量誤差模型

本文以標(biāo)準(zhǔn)球體作為較復(fù)雜的測量對象，通過測量包含各點綜合誤差Δx，Δy，Δz的球體6個特征點的三維坐標(biāo)值，如圖3所示，采用最小二乘法計算求解得到誤差影響下的球心坐標(biāo)和球徑，并與標(biāo)準(zhǔn)球的標(biāo)準(zhǔn)球徑對比，得到球體直徑測量的誤差模型如式（3）所示：

圖3 球體測量誤差模型圖Fig.3 Sphere measurement error model diagram

其中：Δd為標(biāo)準(zhǔn)球的外直徑測量誤差，R為待測球的標(biāo)準(zhǔn)球徑，r為誤差影響下的新球徑值。

3 基于DE-CS的最佳測量區(qū)確定方法

在機測量系統(tǒng)測量誤差在整個測量空間內(nèi)分布復(fù)雜，且受到不同速度和空間位置等因素的影響，誤差之間相互抵消或者加強，因此測量誤差在空間內(nèi)存在著連續(xù)且大小不一的分布區(qū)域，該種區(qū)域是連續(xù)變化且有規(guī)律可尋的，其中最大測量誤差相比較為最小的誤差區(qū)域稱作最佳測量區(qū)。

3.1 最佳測量區(qū)求解的函數(shù)模型

由于在機測量系統(tǒng)測量誤差的影響因素和約束條件較多，為了方便研究多維尋優(yōu)問題，首先需要解決的是建立最佳測量區(qū)的求解模型，如式（4）所示：

其中，下標(biāo)LBmin和LBmax分別代表對應(yīng)軸方向位置區(qū)域的下限和上限。以采樣點坐標(biāo)三維上、下限作為約束條件，轉(zhuǎn)為有約束優(yōu)化問題，使得特征點的坐標(biāo)位置未超過劃分的小空間區(qū)域。

由于函數(shù)模型（4）存在多個變量，影響因素較多且復(fù)雜，需要研究選用不同多維尋優(yōu)算法來求解該多維模型，比較各算法求解的誤差值大小，同時對比各算法性能，得到全局搜索能力最強、迭代速度最快的優(yōu)化算法。

3.2 差分進化優(yōu)化的布谷鳥算法

3.2.1 算法原理

（a） CS算法基本原理

布谷鳥算法（Cuckoo Search，CS），其工作機理主要是根據(jù)布谷鳥的尋窩寄生產(chǎn)卵行為和鳥類的萊維飛行。由于其具有參數(shù)少、不易陷于局部最優(yōu)和魯棒性強等特點，因此較為適用于優(yōu)化問題。

①種群初始化，設(shè)置算法參數(shù)：鳥窩數(shù)量為N，發(fā)現(xiàn)概率pa，最大迭代次數(shù)為M，維度為D；

②選擇適應(yīng)度函數(shù)，并且針對鳥窩位置計算適應(yīng)度值，得到最優(yōu)鳥窩位置和最優(yōu)解；

③利用萊維飛行對鳥窩位置進行更新，記錄當(dāng)前最優(yōu)值；

④用隨機數(shù)R作為鳥窩主人發(fā)現(xiàn)寄生蛋的概率，若R＞pa，則隨機改變并更新鳥窩位置；

⑤若算法滿足要求，輸出期望值；否則返回②步驟繼續(xù)運行。

（b） DE-CS算法基本原理

基于差分進化優(yōu)化的布谷鳥算法是基于差分進化搜索的布谷鳥最優(yōu)化算法［14-15］。基于適者生存的自然法則對種群中的個體進行淘汰選擇、保留優(yōu)良個體，使得差分進化得出的最優(yōu)解成為布谷鳥算法的初始解，經(jīng)過布谷鳥算法的迭代搜索，獲得更優(yōu)的鳥窩位置和目標(biāo)解。該算法可以獲得更好的全局搜索能力和更快的收斂能力。本文將利用該算法作為最佳測量區(qū)的確定方法，該算法流程圖如圖4所示。

圖4 DE-CS算法流程圖Fig.4 Flow chart of DE-CS algorithm

（c） DE-CS算法步驟

①生成初始種群，設(shè)置迭代次數(shù)M和發(fā)現(xiàn)概率pa，初始變異算子F0，交叉算子CR，在D維空間生成N個初始位置；

②對初始種群實行變異、交叉、選擇操作，得到新種群用以替換原有種群，得到目標(biāo)問題的最優(yōu)解；

③以DE算法得到的全局最優(yōu)位置作為布谷鳥搜索的初始種群，進行布谷鳥算法搜索操作，更新鳥窩位置，計算適應(yīng)度值；

④將步驟③中得到的更新后的鳥窩位置計算適應(yīng)度，與原有鳥窩匹配的適應(yīng)度值比較，若更優(yōu)則替換該鳥窩位置，記錄當(dāng)前最優(yōu)位置和最優(yōu)解；

⑤取隨機數(shù)R∈[0，1]，若R＞pa，鳥窩主人發(fā)現(xiàn)寄生蛋，隨機改變鳥窩位置；

⑥改變后的鳥窩位置計算適應(yīng)度值，確定全局最優(yōu)位置和最優(yōu)解；

⑦進行判斷操作，若是達到終止條件，則輸出期望最優(yōu)解；否則返回第③步重復(fù)搜索。

3.2.2 求解最佳測量區(qū)

（a）單種優(yōu)化算法尋優(yōu)結(jié)果對比

本文分別采用ACO，CS，DE，ABC，F(xiàn)A等基本最優(yōu)化算法和混合優(yōu)化算法（IA-PSO，QGACS，DE-CS）求解式（4）的誤差最小值，算法參數(shù)設(shè)置如表1所示［16-17］。為了測試上述5種基本智能算法的性能，分別利用5種算法求解在機測量系統(tǒng)小立體空間范圍（該區(qū)域后稱選定小立體空間：304.783 mm≤X≤313.783 mm，-90.133 mm≤Y≤-81.133 mm，-288.019 mm≤Z≤-278.019 mm）內(nèi)的面向球體測量的測量誤差最大值的極小值。5種常用算法搜索迭代結(jié)果如圖5（a）所示，4種基于CS的混合算法如5（b），重復(fù)運行50次結(jié)果對比如表2所示。

表1 5種算法參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings of five algorithms

表2 5種算法50次測試結(jié)果對比Tab.2 Comparison of 50 test results of five algorithms （μm）

圖5 算法搜索對比Fig.5 Comparison of algorithm search

由表2中的對比可知，DE，ABC，CS三者未陷入局部最優(yōu)，但是相較而言CS算法運行50次后平均值最接近全局最優(yōu)值，搜索時間最短，實時性好，綜合尋優(yōu)性能最優(yōu)。因此有必要在CS算法的基礎(chǔ)上，進行更深一步的優(yōu)化，研究基于CS算法的混合智能算法。

（b） 三種基于CS算法改進的混合算法性能對比

本文提出3種基于CS算法優(yōu)化的混合算法和基本的CS算法。其中3種優(yōu)化的CS算法參數(shù)設(shè)置如表3所示［18］。將3種優(yōu)化和基本的CS算法分別用于求解選定小立體空間的最大誤差值，4種算法搜索迭代結(jié)果如圖5（b）所示，重復(fù)運行50次結(jié)果對比如表4所示，可知DE-CS算法的性能要優(yōu)于其他幾種算法，能夠很好地應(yīng)用于最佳測量區(qū)確定。

表3 3種改進的CS算法參數(shù)設(shè)置Tab.3 Parameter Settings of three improved CS algorithms

表4 4種算法50次測試結(jié)果對比Tab.4 Comparison of 50 test results of the four algorithms

為了測試算法參數(shù)對尋優(yōu)性能的影響，改變種群數(shù)量N、變異算子F0、交叉算子CR等參數(shù)，應(yīng)用模型式（4）求解小立體空間的最大測量誤差。DECS算法參數(shù)設(shè)置，其他參數(shù)不變：（1）粒子規(guī)模N=20，40，60，80，100；（2）初始變異算子F0=0.2，0.4，0.5，0.8，0.9；（3）交 叉 算 子CR=0.1，0.3，0.5，0.8，0.9，探 究 算 法 的 性 能最優(yōu)，如表5所示。

表5 改變初始參數(shù)的算法測試結(jié)果Tab.5 Algorithm test results of changing initial parameters

（c） DE-CS算法參數(shù)測試性能對比

可知，針對DE-CS算法的參數(shù)確定為種群數(shù)量N=20、初始變異算子F0=0.8、交叉算子CR=0.9時，該算法收斂穩(wěn)定性最好，全局搜索能力最優(yōu)，因此可以作為在機測量機最佳測量區(qū)的確定方法。

4 最佳測量區(qū)驗證實驗

4.1 球體測量最佳測量區(qū)驗證實驗方案設(shè)計

為了驗證上述面向球體測量的在機測量系統(tǒng)最佳測量區(qū)確定結(jié)果，現(xiàn)搭建如圖6所示的實驗裝置。以沈陽機床廠生產(chǎn)的VMC850E型三軸機床和雷尼紹公司的Primo Radio Part Setter接觸式工件測頭組成的測量系統(tǒng)為對象，將標(biāo)準(zhǔn)球通過可調(diào)夾具安裝在在機測量系統(tǒng)的三維工作臺上，在用于測量機床幾何誤差的雙頻激光干涉儀的有效測量區(qū)域內(nèi)，開展球體測量的最佳測量區(qū)驗證實驗。

圖6 試驗裝置圖Fig.6 Test device diagram

將球徑為38.112 8 mm的標(biāo)準(zhǔn)球體放置于304.478 mm≤X≤475.783 mm，-145.133 mm≤Y≤-45.602 mm，-288.019 mm≤Z≤-226.056 mm的測量空間內(nèi)，將上述測量空間劃分成多個的小立體空間，調(diào)節(jié)可調(diào)三維工作臺帶動標(biāo)準(zhǔn)球體完成不同空間位置處的誤差測量。將球體標(biāo)準(zhǔn)球徑與測量值相比，得到不同立體球體的測量誤差，其中具有較小測量誤差的測量區(qū)域如圖7所示。

圖7 球體測量的測量誤差分布圖Fig.7 Measurement error distribution diagram for sphere measurement

4.2 球體測量最佳測量區(qū)的確定

為對比利用DE-CS算法求解確定和實際測量得到的在機測量系統(tǒng)面向球體測量的最佳測量區(qū)的一致性，采用DE-CS算法，針對第2節(jié)建立的單項誤差模型、綜合誤差模型、球體測量誤差模型，進行全局搜索尋優(yōu)。同樣將上述測量空間劃分成多個9 mm×9 mm×10 mm的小立體空間，進行搜索尋優(yōu)計算得到球體測量的測量誤差分布如表6所示。

從表6可知，在選定測量空間內(nèi)430.783 mm≤X≤439.783 mm，-145.133 mm≤Y≤-136.133 mm，-268 mm≤Z≤-258 mm區(qū)域，球體實測最大測量誤差最小值為3.1 μm，同樣該區(qū)域利用DE-CS算法搜索求解的誤差也為整個測量空間的測量誤差最小值0.710 7 μm，從而可知利用本文研究的誤差模型和DE-CS算法搜索求解可以確定在機測量系統(tǒng)面向球體的最佳測量區(qū)。其中兩者方法確定誤差最小值有差異是由于球體測量夾具等因素帶來了附加誤差。

表6 最大測量誤差分布區(qū)域?qū)Ρ萒ab.6 Comparison of maximum measurement error distribution regions

4.3 最佳測量區(qū)確定方法的普適性驗證

為了驗證上述最佳測量區(qū)確定方法的普適性，對于其他測量對象也具有同樣的效果，本文按照同樣的思路，分類建立面向點、面的測量誤差模型，采用全局搜索的DE-CS優(yōu)化方法計算確定面向點、面的選定區(qū)域內(nèi)的最佳測量區(qū)位置，并利用參考文獻［10］實際測量標(biāo)定的在機測量系統(tǒng)最佳測量區(qū)結(jié)果進行對比，分別如表7～表8所示。由表可知，利用本文研究的DE-CS算法求解的最佳測量區(qū)與實測結(jié)果相符合，且與前期采用不同算法確定的最佳測量區(qū)重合，驗證了本文研究的在機測量系統(tǒng)最佳測量區(qū)確定方法的正確性和普適性。

表7 點測量最佳測量區(qū)對比Tab.7 Comparison of optimal measurement areas for point measurement

表8 圓面測量最佳測量區(qū)對比Tab.8 Comparison of the best measurement areas for circular surface measurement

5 結(jié)論

（1）對于在機測量系統(tǒng)的誤差來源進行了分析，采用激光干涉儀測量幾何誤差，利用BASBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了誤差白化模型，并建立了綜合誤差和面向點、面、球的測量誤差模型。

（2）研究了利用差分進化優(yōu)化的布谷鳥算法（DE-CS），求解搜索空間內(nèi)最大測量誤差最小值，進而確定最佳測量區(qū)位置，并與其他算法進行比較，驗證了其具有搜索能力最強、穩(wěn)定性最佳等特點，并確定了該算法的最優(yōu)初始參數(shù)。

（3）搭建了面向球測量的在機測量系統(tǒng)最佳測量區(qū)的試驗裝置，進行了最佳測量區(qū)的實際測量確定實驗。利用上述方法搜索計算確定的面向球最佳測量區(qū)位置與實驗測量確定的最佳測量區(qū)位置一致，最佳測量區(qū)為：430.783 mm≤X≤439.783 mm，-145.133 mm≤Y≤-136.133 mm，-268 mm≤Z≤-258 mm，實測最大誤差最小值為3.1 μm，算法求解的誤差也為整個測量空間的最小值0.710 7 μm，且可用于面向點、面等其他測量對象的最佳測量區(qū)確定，具有普適性，可用于確定在機測量系統(tǒng)的最佳測量區(qū)。