周世奇，侯秀慧,2，鄧子辰,2

（1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129；2.復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072）

引言

蜂窩是典型的多孔材料，這種材料以平面內(nèi)單元的二維排列和面外方向平行堆疊的周期性拓?fù)浞植紴樘卣?單胞相互連接形成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)使得蜂窩相較于其他材料具有更高的孔隙率和更低的相對(duì)密度，這也導(dǎo)致了更高的比剛度強(qiáng)度和比能量吸收.單胞的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以顯著地影響這種超輕材料的力學(xué)性能.因此，合理設(shè)計(jì)的微觀結(jié)構(gòu)使蜂窩具有一些超結(jié)構(gòu)屬性，比如負(fù)Poisson 比[1]、負(fù)熱膨脹[2]、負(fù)剛度[3]等.這些特殊的性質(zhì)源于蜂窩不同的微觀幾何拓?fù)?，而不是?gòu)成蜂窩的基體材料.例如將傳統(tǒng)正六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的凸形胞壁替換為凹形胞壁，可以得到相應(yīng)的負(fù)Poisson 比特性，即結(jié)構(gòu)在張力作用下縱向和橫向雙向膨脹而在壓力作用下縱向和橫向雙向收縮.其他拉脹蜂窩結(jié)構(gòu)還包括雙V 形[4]、手性[5]和星形[6-7]胞元等，其中凹角蜂窩結(jié)構(gòu)作為最簡(jiǎn)單也是最經(jīng)典的拉脹蜂窩，受到了廣泛的關(guān)注.以往的研究大多是基于凹角蜂窩基本的物理力學(xué)行為，如壓縮[8]、沖擊[9-10]、熱學(xué)[11]、光學(xué)[12]以及聲學(xué)[13]等領(lǐng)域的應(yīng)用.如Hou 等[14]研究了凹角六邊形蜂窩的能量吸收特性，與傳統(tǒng)蜂窩相比，凹角六邊形蜂窩具有更高的吸能效率.而在低速準(zhǔn)靜態(tài)壓縮荷載作用下，蜂窩結(jié)構(gòu)的胞壁會(huì)發(fā)生屈曲破壞從而喪失穩(wěn)定性.

已有研究表明，蜂窩結(jié)構(gòu)在壓縮載荷作用下發(fā)生屈曲的特性，并不總是作為一種結(jié)構(gòu)缺陷的存在.蜂窩結(jié)構(gòu)的微觀不穩(wěn)定模式作為一種調(diào)制周期性結(jié)構(gòu)宏觀力學(xué)性能的方法已經(jīng)被廣泛采用，比如手性、波傳播、聲子特性以及光學(xué)特性等.Bertoldi 等[15]揭示了多胞結(jié)構(gòu)由于彈性失穩(wěn)而產(chǎn)生負(fù)Poisson 比效應(yīng)的機(jī)理.Yang等[16]利用多胞結(jié)構(gòu)的屈曲提出了一種屈曲致動(dòng)器用于制作軟體機(jī)器人.由此可知，對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)的屈曲分析尤其是凹角蜂窩這種拉脹蜂窩的屈曲分析是十分必要的.Jiménez 和Triantafyllidis[17]研究了矩形和正六邊形蜂窩在軸向壓縮和橫向剪切組合荷載作用下的屈曲，發(fā)現(xiàn)屈曲模式高度依賴于載荷類型.Combescure 等[18]利用群論方法研究了有限應(yīng)變圓形蜂窩的變形模式及其穩(wěn)定性.梁觀坡等[19]基于數(shù)值模擬和理論分析研究了含周期性橢圓孔二維結(jié)構(gòu)的屈曲行為，研究發(fā)現(xiàn)改變孔的幾何參數(shù)，橢圓孔結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)隨之發(fā)生轉(zhuǎn)換.Peng等[20]將變分漸近法擴(kuò)展到凹角蜂窩夾層板的面外屈曲研究，得出在相同條件下，凹角蜂窩夾層板的屈曲載荷大于傳統(tǒng)的蜂窩夾層板.Gavazzoni 等[21]基于材料和幾何非線性以及制造缺陷之間的耦合作用，研究了軟多胞結(jié)構(gòu)局部不穩(wěn)定性的循環(huán)響應(yīng).然而，卻少見(jiàn)針對(duì)負(fù)Poisson 比凹角蜂窩結(jié)構(gòu)面內(nèi)屈曲模態(tài)力學(xué)性能的研究報(bào)道.

本文系統(tǒng)研究了凹角蜂窩的面內(nèi)屈曲特性，在第1 節(jié)中，建立了凹角蜂窩的有限元模型，對(duì)凹角蜂窩在單軸壓縮下的屈曲行為進(jìn)行了數(shù)值模擬.以此為基礎(chǔ)，在第2 節(jié)中建立了凹角蜂窩對(duì)應(yīng)于不同屈曲模態(tài)的屈曲強(qiáng)度解析公式，揭示凹角蜂窩不同屈曲模態(tài)的產(chǎn)生機(jī)理.隨后，在第3 節(jié)中通過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)以上數(shù)值模擬和理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 有限元分析

利用有限元軟件ABAQUS 對(duì)凹角蜂窩在宏觀應(yīng)力下的屈曲進(jìn)行模擬.建立的有限元模型在水平方向上設(shè)置5 個(gè)胞元，在豎直方向上設(shè)置7 個(gè)胞元，將胞壁材料設(shè)置為理想的彈塑性模型，質(zhì)量密度為1230 kg/m3，彈性模量為35 MPa，Poisson 比為0.45.有限元模型是三維殼結(jié)構(gòu)，為了研究凹角蜂窩面內(nèi)屈曲性能，限制模型的面外位移和旋轉(zhuǎn).構(gòu)造的三維凹角蜂窩模型胞壁的面內(nèi)長(zhǎng)細(xì)比均大于1/10，受力情況類似于板殼結(jié)構(gòu)，實(shí)體單元在模擬板殼結(jié)構(gòu)時(shí)容易形成剪力自鎖從而影響計(jì)算結(jié)果，所以本文在進(jìn)行凹角蜂窩面內(nèi)屈曲的有限元模擬時(shí)采用殼單元.模擬沿著平行于水平胞壁和垂直于水平胞壁方向的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮時(shí)，在模型底部的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上設(shè)置固定約束限制模型底部的線位移和轉(zhuǎn)角位移.在模型頂部的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上設(shè)置滑動(dòng)約束限制模型頂部的水平位移和轉(zhuǎn)角位移，如圖1所示.為了描述方便，將平行于水平胞壁和垂直于水平胞壁的方向分別定義為x方向和y方向.用X=σx/(E(t/L)3)和Y=σy/(E(t/L)3)分別表示沿著x方向和y方向的應(yīng)力系數(shù).X=0,Y=1表示沿著y方向的單軸壓縮，X=1,Y=0表示沿著x方向的單軸壓縮.

圖1 凹角蜂窩的有限元模型和邊界條件：（a）沿著x 方向準(zhǔn)靜態(tài)壓縮的邊界條件；（b）沿著y 方向準(zhǔn)靜態(tài)壓縮的邊界條件Fig.1 The finite element model and boundary conditions for the re-entrant honeycomb:(a)boundary conditions for the quasi-static compression along the x direction;(b)boundary conditions for the quasi-static compression along the y direction

對(duì)凹角蜂窩有限元模型劃分網(wǎng)格時(shí)，網(wǎng)格類型設(shè)置為S4R，該單元類型是通用的殼單元類型，并且這種單元類型既適用于薄殼結(jié)構(gòu)，也適用于厚殼結(jié)構(gòu)，比較適合用來(lái)計(jì)算凹角蜂窩這種胞壁長(zhǎng)細(xì)比不同的結(jié)構(gòu).為了確定網(wǎng)格的全局尺寸，進(jìn)行了收斂性分析.收斂性分析選用的有限元模型的幾何設(shè)置、材料屬性、邊界條件和加載條件與前文所述的有限元模型保持一致.根據(jù)圖2所示的收斂性計(jì)算結(jié)果，網(wǎng)格尺寸設(shè)置為5 mm，4 mm，3 mm 時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差較大；網(wǎng)格尺寸為2 mm 時(shí)，曲線開(kāi)始趨于平緩.為確保有限元模擬結(jié)果最終收斂，我們計(jì)算了網(wǎng)格尺寸為1 mm，0.5 mm，0.3 mm，0.2 mm，0.1 mm 的情況，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格尺寸為0.5 mm，0.3 mm，0.2 mm，0.1 mm 時(shí)，計(jì)算結(jié)果基本一致，考慮到有限元模擬研究的簡(jiǎn)潔高效，將網(wǎng)格尺寸設(shè)置為0.5 mm.

圖2 收斂性計(jì)算結(jié)果Fig.2 Convergence calculation results

圖3 列出了凹角蜂窩在單軸壓縮荷載作用下的前十階屈曲模態(tài).當(dāng)凹角蜂窩承受沿著y方向的壓縮載荷時(shí)（X=0,Y=1），前五階屈曲模態(tài)的單胞變形是一致的，而整體屈曲模態(tài)表現(xiàn)為加載方向上的波峰數(shù)逐階遞增，這與單桿壓縮的高階屈曲模態(tài)類似[22].從第六階開(kāi)始出現(xiàn)不同的單胞變形，這是因?yàn)樗x結(jié)構(gòu)的尺寸達(dá)到所能承受的波峰數(shù)的極限從而導(dǎo)致多階屈曲模態(tài)偶連.當(dāng)凹角蜂窩承受沿著x方向的壓縮載荷時(shí)（X=1,Y=0），前八階屈曲模態(tài)的單胞變形保持一致，而整體屈曲模態(tài)沒(méi)有觀察到波峰數(shù)遞增的現(xiàn)象.從第九階開(kāi)始出現(xiàn)不同的單胞變形，同樣考慮是多階屈曲模態(tài)偶連導(dǎo)致的.因此分別提取第一階模態(tài)進(jìn)行理論分析，將沿著x方 向準(zhǔn)靜態(tài)壓縮得到的屈曲模態(tài)命名為屈曲模態(tài)Ⅰ，沿著y方向準(zhǔn)靜態(tài)壓縮得到的屈曲模態(tài)命名為屈曲模態(tài)Ⅱ，如圖4所示.

圖3 凹角蜂窩在單軸荷載作用下的前十階屈曲模態(tài)：（a）沿著y 方向單軸壓縮；（b）沿著x 方向單軸壓縮Fig.3 The 1st 10 buckling modes of the re-entrant honeycomb under uniaxial loading:a）uniaxial compression along the y direction;（b）uniaxial compression along the x direction

圖4 凹角蜂窩的第一階模態(tài)：（a）沿著x 方向準(zhǔn)靜態(tài)壓縮得到屈曲模態(tài)Ⅰ；（b）沿著y 方向準(zhǔn)靜態(tài)壓縮得到屈曲模態(tài)ⅡFig.4 The 1st buckling modes of the re-entrant honeycomb:(a)buckling mode Ⅰ obtained under quasi-static compression along the x direction;(b)buckling mode Ⅱ obtained under quasi-static compression along the y direction

為了研究尺寸效應(yīng)對(duì)凹角蜂窩的屈曲模態(tài)和屈曲強(qiáng)度的影響，設(shè)置了三種不同胞元數(shù)量的凹角蜂窩模型：3 × 4 構(gòu)型、5 × 7 構(gòu)型、7 × 10 構(gòu)型，第一個(gè)數(shù)字代表水平方向的胞元數(shù)量，第二個(gè)數(shù)字代表豎直方向的胞元數(shù)量.這三種構(gòu)型的面內(nèi)長(zhǎng)寬比均等于1，這樣就排除了面內(nèi)長(zhǎng)寬比對(duì)凹角蜂窩屈曲行為的影響.結(jié)果表明：三種構(gòu)型的一階屈曲模態(tài)是相同的；隨著胞元數(shù)量的增加，單胞變形模態(tài)轉(zhuǎn)變的現(xiàn)象會(huì)得到延緩，如圖3和圖5所示；凹角蜂窩的胞元數(shù)量對(duì)屈曲強(qiáng)度的影響可以忽略不計(jì)，如圖6所示，因此后續(xù)研究采用5 × 7 構(gòu)型.

圖5 不同單胞數(shù)量的凹角蜂窩的屈曲模態(tài)：(a)3×4 構(gòu)型沿著y 方向單軸壓縮；(b)3×4 構(gòu)型沿著x 方向單軸壓縮；(c)7×10 構(gòu)型沿著y 方向單軸壓縮；(d)7×10 構(gòu)型沿著x 方向單軸壓縮Fig.5 Buckling modes of the re-entrant honeycomb with different numbers of unit cells:(a)the 3×4 configuration under uniaxial compression in the y direction;(b)the 3×4 configuration under uniaxial compression in the x direction;(c)the 7×10 configuration under uniaxial compression in the y direction;(d)the 7×10 configuration under uniaxial compression in the x direction

圖6 不同單胞數(shù)量的凹角蜂窩的屈曲強(qiáng)度Fig.6 Buckling strengths of the re-entrant honeycomb with different numbers of unit cells

2 理論分析

通過(guò)有限元模擬凹角蜂窩在不同加載方式下的屈曲行為，分別獲得凹角蜂窩沿著x方向和y方向的單軸壓縮屈曲變形模式，并從中提取具有代表性的單胞變形模式為理論分析模型（圖4）.依據(jù) Timoshenko 和Gere 提出的梁柱理論[23]，構(gòu)建承受軸力作用的桿件桿端彎矩和桿端轉(zhuǎn)角位移的關(guān)系.即梁柱結(jié)構(gòu)在軸向力P作用下，當(dāng)其外荷載為一對(duì)順時(shí)針桿端彎矩Ma和Mb時(shí)（見(jiàn)圖7，下標(biāo)a和b分別對(duì)應(yīng)桿件的兩端結(jié)點(diǎn)），梁柱的桿端轉(zhuǎn)角θa和 θb可以使用梁柱方程計(jì)算得到：

圖7 梁柱的桿端轉(zhuǎn)角和桿端彎矩Fig.7 End rotations and end bending moments of the beam-column

利用梁柱理論公式對(duì)凹角蜂窩單胞的每一個(gè)胞壁的桿端彎矩和轉(zhuǎn)角位移建立相應(yīng)的梁柱方程，對(duì)于具有桿端線位移的胞壁還需建立彎矩平衡方程.將這些方程用統(tǒng)一的矩陣公式表示，根據(jù)屈曲臨界條件，即相應(yīng)位移不全為零，可得方程組的系數(shù)矩陣的行列式為零，解行列式得凹角蜂窩屈曲穩(wěn)定方程.

2.1 屈曲模態(tài)Ⅰ

凹角蜂窩整體與胞元的應(yīng)力狀態(tài)和幾何結(jié)構(gòu)如圖8所示，水平桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)a，斜桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)b，水平桿和斜桿的夾角為θ，面外厚度為c.對(duì)于任意的應(yīng)力 σx和 σy，可等效為水平桿和斜桿上的集中力F，P和W，分別為

圖8 一般宏觀應(yīng)力狀態(tài)下的凹角蜂窩結(jié)構(gòu)：（a）凹角蜂窩整體的幾何結(jié)構(gòu)和應(yīng)力狀態(tài)；（b）基礎(chǔ)單胞的幾何結(jié)構(gòu)和應(yīng)力狀態(tài)Fig.8 The re-entrant honeycomb structure under a general macroscopic stress state：(a)the geometric structure and the stress state of the re-entrant honeycomb;(b)the geometric structure and the stress state of the unit cell

由式（2）可得OA，OB和OC桿的軸力分別為Fa，F(xiàn)b和Fc：

這里軸力的符號(hào)規(guī)定為壓力為正，拉力為負(fù).從有限元模擬的屈曲模態(tài)圖4（a）中提取凹角蜂窩的胞元屈曲模態(tài)如圖9所示，虛線表示屈曲前的位置，實(shí)線表示屈曲后的位置.由于OA桿的屈曲變形是中心對(duì)稱的,所以O(shè)A桿兩端的彎矩大小和方向均相等，而OB，OC桿的屈曲變形是關(guān)于過(guò)桿中點(diǎn)的法線對(duì)稱的，所以O(shè)B，OC桿兩端的彎矩大小相等方向相反.OA桿兩端有相對(duì)線位移，而OB，OC桿沒(méi)有.

圖9 凹角蜂窩屈曲模態(tài)Ⅰ的單胞模態(tài)和OA，OC 桿的內(nèi)力示意圖Fig.9 The unit cell modes for buckling mode Ⅰ of the re-entrant honeycomb and the internal forces of rods OA and OC

將OA，OB和OC三根桿的梁柱理論關(guān)系表達(dá)式以及OA桿的彎矩平衡方程表示為式（5）中的矩陣形式：

其中前三行分別表示OA，OB和OC桿的梁-柱理論關(guān)系式，第四行表示O點(diǎn)的力矩平衡，第五行表示OA桿關(guān)于O點(diǎn)的力矩平衡.式（5）中方程的非齊次項(xiàng)不包含桿端彎矩、桿端轉(zhuǎn)角和軸力，所包含的剪力只會(huì)引起靜態(tài)撓度而非屈曲，不影響系數(shù)矩陣的結(jié)果.

由圖9 可知，當(dāng)發(fā)生屈曲時(shí)，α和β不全為0，故式（5）中的方程組存在非零解，系數(shù)行列式等于零.

化簡(jiǎn)后可得

即

式 (8)是關(guān)于qa，qb和qc的關(guān)系式，表示凹角蜂窩在宏觀應(yīng)力狀態(tài)下產(chǎn)生屈曲模態(tài)Ⅰ的應(yīng)力條件.

2.2 屈曲模態(tài)Ⅱ

從有限元模擬的屈曲模態(tài)圖4（b）中提取凹角蜂窩的胞元屈曲模態(tài)如圖10所示，虛線表示屈曲前的位置，實(shí)線表示屈曲后的位置.由于每根桿的屈曲變形是中心對(duì)稱的，所以O(shè)A桿兩端的彎矩大小和方向均相等，OB和OC桿同理.OB，OC桿兩端有相對(duì)線位移，而OA桿沒(méi)有，這與屈曲模態(tài)Ⅰ不同.

將OA，OB和OC三根桿的梁柱理論關(guān)系表達(dá)式以及OB和OC桿的彎矩平衡方程表示為式（9）中的矩陣形式：

其中前三行分別表示OA，OB和OC桿的梁-柱理論關(guān)系式，第四行表示O點(diǎn)的力矩平衡，第五行表示OB桿關(guān)于O點(diǎn)的力矩平衡，第六行表示OC桿關(guān)于O點(diǎn)的力矩平衡.

由圖10 可知，當(dāng)發(fā)生屈曲時(shí)，α和β不全為0，故式（9）中的方程組存在非零解，系數(shù)行列式等于零.

圖10 凹角蜂窩屈曲模態(tài)Ⅱ的單胞模態(tài)和OA，OB 桿的內(nèi)力示意圖Fig.10 The unit cell modes for buckling mode Ⅱ of the re-entrant honeycomb and the internal forces of rods OA and OC

化簡(jiǎn)后可得

即

式(12)是關(guān)于qa，qb和qc的關(guān)系式，表示凹角蜂窩在宏觀應(yīng)力狀態(tài)下產(chǎn)生屈曲模態(tài)Ⅱ的應(yīng)力條件.

2.3 理論結(jié)果分析

根據(jù)式（8）和式（12）的關(guān)系繪制曲線，如圖11所示.圖11 給出了凹角蜂窩在宏觀應(yīng)力狀態(tài)下屈曲模態(tài)Ⅰ和屈曲模態(tài)Ⅱ?qū)?yīng)的應(yīng)力關(guān)系，水平軸和豎直軸分別代表無(wú)量綱化的宏觀應(yīng)力，分別用X=σx/(E(t/L)3)和Y=σy/(E(t/L)3)表示.點(diǎn)線代表屈曲模態(tài)Ⅰ，點(diǎn)劃線代表屈曲模態(tài)Ⅱ.

圖11 凹角蜂窩屈曲模態(tài)Ⅰ和Ⅱ的失效界面Fig.11 Failure surfaces for buckling modes Ⅰ and Ⅱ of the re-entrant honeycomb

兩條曲線的交點(diǎn)出現(xiàn)在第一象限，在交點(diǎn)右邊的區(qū)域，同樣的Y值，屈曲模態(tài)Ⅰ的X值小于屈曲模態(tài)Ⅱ的X值.在這塊區(qū)域包含的任意應(yīng)力狀態(tài)下，凹角蜂窩的屈曲模態(tài)為屈曲模態(tài)Ⅰ.在交點(diǎn)左邊的區(qū)域，同樣的X值屈曲模態(tài)Ⅱ的Y值小于屈曲模態(tài)Ⅰ的Y值.在這塊區(qū)域包含的任意應(yīng)力狀態(tài)下，凹角蜂窩的屈曲模態(tài)為屈曲模態(tài)Ⅱ.也即表明，當(dāng)沿著x方 向的應(yīng)力為主應(yīng)力時(shí)，凹角蜂窩的屈曲變形呈現(xiàn)為屈曲模態(tài)Ⅰ；當(dāng)沿著y方向的應(yīng)力為主應(yīng)力時(shí)，凹角蜂窩的屈曲變形呈現(xiàn)為屈曲模態(tài)Ⅱ.凹角蜂窩在雙軸應(yīng)力狀態(tài)下的優(yōu)先屈曲模式對(duì)雙軸應(yīng)力的比例關(guān)系表現(xiàn)出敏感性.同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)劃線延伸至第三象限，這表明凹角蜂窩在雙軸拉伸的應(yīng)力狀態(tài)下依然會(huì)發(fā)生屈曲變形，而傳統(tǒng)正六邊形蜂窩僅在受壓的狀態(tài)下才會(huì)發(fā)生屈曲變形，這可歸結(jié)為凹角蜂窩不同于一般蜂窩的凹角幾何特征所引起的拉脹效應(yīng).根據(jù)圖11 可得凹角蜂窩在x方向單軸壓縮下的屈曲強(qiáng)度為σx/E=0.076(t/L)3（圖11 中三角形標(biāo)注），在y方向單軸壓縮下的屈曲強(qiáng)度為σy/E=0.158(t/L)3（圖11中菱形標(biāo)注），分別對(duì)應(yīng)著在單軸壓縮下屈曲模態(tài)Ⅰ和屈曲模態(tài)Ⅱ的屈曲強(qiáng)度.這個(gè)結(jié)果表明屈曲模態(tài)Ⅰ的屈曲強(qiáng)度低于屈曲模態(tài)Ⅱ的屈曲強(qiáng)度，因此屈曲模態(tài)Ⅰ可認(rèn)定為整體屈曲模態(tài)，屈曲模態(tài)Ⅱ可認(rèn)定為局部屈曲模態(tài).，

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

采用增材制造技術(shù)制備實(shí)驗(yàn)樣本，3D 打印機(jī)型號(hào)為RAISED3D E2，打印材料采用PolyFlex TPU95A.樣本的長(zhǎng)寬高為129.8 mm×129.2mm×18.3mm，單胞水平桿長(zhǎng)度為18.3mm，斜桿長(zhǎng)度為10.2mm，水平桿和斜桿的夾角壁厚為1 mm，打印層厚為0.025mm.實(shí)驗(yàn)樣本如圖12所示.使用萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)分別對(duì)實(shí)驗(yàn)樣本沿著x方向和y方向進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn).行程位移設(shè)置為20 mm，壓縮速度設(shè)置為1 mm/min，溫度設(shè)置為23 ℃，可認(rèn)定為常溫條件下的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮.

圖12 凹角蜂窩沿著x方向和y 方向單軸壓縮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of experimental and numerical results of re-entrant honeycombs under uniaxial compression along the x and y direction

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論研究、數(shù)值研究的對(duì)比

圖12 展示了凹角蜂窩結(jié)構(gòu)在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮條件下的變形情況.提取實(shí)驗(yàn)結(jié)果中凹角蜂窩完全屈曲變形的模態(tài)圖與第1 節(jié)中有限元模擬的屈曲模態(tài)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)凹角蜂窩結(jié)構(gòu)的整體屈曲變形模態(tài)和單胞屈曲變形模態(tài)在實(shí)驗(yàn)和有限元模擬中保持高度的一致性，如圖12所示.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明凹角蜂窩沿著x方向單軸壓縮時(shí)，屈曲變形模態(tài)表現(xiàn)為屈曲模態(tài)Ⅰ，而沿著y方向單軸壓縮時(shí)，屈曲變形模態(tài)表現(xiàn)為屈曲模態(tài)Ⅱ，這與理論預(yù)測(cè)的結(jié)果一致.

從圖13 中可以看到，實(shí)驗(yàn)樣本分別承受沿著x方向和y方向的單軸壓縮，在應(yīng)變到0.039 時(shí)，沿著x方向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線由近似線性的彈性階段過(guò)渡為平臺(tái)階段，即桿件開(kāi)始發(fā)生屈曲變形；而沿著y方向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的彈性階段在應(yīng)變到0.044 時(shí)才結(jié)束.根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，可以觀察到在發(fā)生屈曲時(shí)，沿著y方向壓縮的曲線會(huì)出現(xiàn)短暫的下降，隨后呈現(xiàn)平臺(tái)關(guān)系.且沿著y方向壓縮的平臺(tái)應(yīng)力明顯高于沿著x方向壓縮的平臺(tái)應(yīng)力，也就是說(shuō)凹角蜂窩沿著y方向的屈曲強(qiáng)度高于沿著x方向的屈曲強(qiáng)度，這與圖11 的結(jié)果一致.將應(yīng)力-應(yīng)變曲線從彈性階段結(jié)束過(guò)渡為穩(wěn)定平臺(tái)階段的這部分應(yīng)力的平均值視為屈曲應(yīng)力，并與數(shù)值和理論研究得到的屈曲強(qiáng)度進(jìn)行對(duì)比，如表1所示.結(jié)果表明理論計(jì)算的屈曲強(qiáng)度與實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究得到的屈曲強(qiáng)度存在一定的誤差，理論結(jié)果略低于實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究的結(jié)果.這是因?yàn)槔碚撗芯渴且园冀欠涓C單胞承受理想的應(yīng)力狀態(tài)為前提，即圖8所示的一般應(yīng)力狀態(tài)，并將這種一般應(yīng)力狀態(tài)等效為單胞所受的集中荷載（即圖8（b）中所示的P，W，F(xiàn)），以此構(gòu)建的矩陣公式（5）和（9）.在實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究中凹角蜂窩所承受的荷載為均勻荷載，這就使得實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究得到的屈曲應(yīng)力值與理論分析得到的應(yīng)力值存在誤差.同時(shí)，還可以看到實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究得到的屈曲應(yīng)力值存在微小誤差，這是因?yàn)閿?shù)值研究中增加了限制凹角蜂窩面外位移的約束而導(dǎo)致的.

圖13 凹角蜂窩沿著x方向和y方向單軸壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.13 Stress-strain curves of the re-entrant honeycomb in uniaxial compression along the x and y directions

表1 實(shí)驗(yàn)、數(shù)值和理論研究得到的凹角蜂窩屈曲強(qiáng)度對(duì)比Table 1 Comparison of buckling strengths of re-entrant honeycombs obtained from experimental,numerical and theoretical studies

4 結(jié)論

通過(guò)有限元仿真分析發(fā)現(xiàn)了凹角蜂窩在宏觀應(yīng)力狀態(tài)下的兩種屈曲模態(tài).為了研究這兩種屈曲模態(tài)的屈曲強(qiáng)度以及產(chǎn)生的機(jī)理，本文采用梁柱理論對(duì)其進(jìn)行了理論分析.根據(jù)梁-柱方程和平衡關(guān)系建立包含桿端彎矩和桿端轉(zhuǎn)角的方程組，利用屈曲臨界條件得穩(wěn)定方程，進(jìn)而得到屈曲強(qiáng)度的解析表達(dá)式.采用增材制造技術(shù)打印凹角蜂窩試件，進(jìn)而對(duì)其屈曲性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.將理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)和有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.結(jié)果表明，通過(guò)改變加載條件，分別獲得凹角蜂窩的兩種屈曲模態(tài)，即屈曲模態(tài)Ⅰ和屈曲模態(tài)Ⅱ.當(dāng)雙軸應(yīng)力中x方向上的應(yīng)力占據(jù)主導(dǎo)地位時(shí)，即σx>σy，凹角蜂窩優(yōu)先產(chǎn)生屈曲模態(tài)Ⅰ.當(dāng)雙軸應(yīng)力中y方向上的應(yīng)力占據(jù)主導(dǎo)地位時(shí)，即σx<σy，凹角蜂窩優(yōu)先產(chǎn)生屈曲模態(tài)Ⅱ.凹角蜂窩具有不同于一般蜂窩的凹角幾何特征，從而產(chǎn)生了負(fù)Poisson 比效應(yīng)；并且這種負(fù)Poisson 比效應(yīng)使得凹角蜂窩在雙軸拉伸的應(yīng)力狀態(tài)下依然會(huì)發(fā)生屈曲變形，而傳統(tǒng)正六邊形蜂窩卻不會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象.本文提出的凹角蜂窩兩種屈曲模態(tài)的穩(wěn)定方程式(8)和(12)，能夠有效預(yù)測(cè)凹角蜂窩在任意應(yīng)力狀態(tài)下的屈曲模式，對(duì)凹角蜂窩因失穩(wěn)而破壞以及利用凹角蜂窩的屈曲實(shí)現(xiàn)特殊力學(xué)性能的研究具有一定的指導(dǎo)意義.