胡仁強(qiáng)，張 濤，盧柳韻，許常悅

（南京航空航天大學(xué) 飛行器環(huán)境控制與生命保障工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

引言

封閉腔體排液流動(dòng)有諸多的應(yīng)用場(chǎng)景，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)短艙排液、管路排液以及飛機(jī)燃油箱串油等.封閉腔體排液孔的流動(dòng)本質(zhì)上屬于小孔流動(dòng).通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，近年來有關(guān)小孔流量系數(shù)的研究較為廣泛.目前，人們關(guān)于小孔流量系數(shù)的研究主要聚焦于如下兩個(gè)方面：一是小孔流量系數(shù)的影響因素研究；二是小孔流量系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式研究.

小孔流動(dòng)的流量系數(shù)受到諸多因素影響，如小孔幾何參數(shù)、小孔形狀、小孔加工工藝（孔口倒角）等.聶俊領(lǐng)[1]研究了小孔幾何參數(shù)對(duì)流量系數(shù)的影響，當(dāng)小孔的長(zhǎng)度與直徑的比值趨于一個(gè)較大值時(shí)，小孔的流量系數(shù)趨于一個(gè)定值.吳進(jìn)軍等[2]對(duì)鱗片狀孔的流量系數(shù)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明孔的直徑越大，鱗片狀孔的流量系數(shù)也越大.Ding 等[3]研究了飛機(jī)起落架減震器中的小孔幾何參數(shù)（小孔長(zhǎng)度與直徑比l/d、小孔直徑與管道直徑比d/D）及Reynolds 數(shù)對(duì)小孔流量系數(shù)的影響.他們指出Reynolds 數(shù)對(duì)小孔流量系數(shù)的影響較為復(fù)雜，l/d的值越大，小孔的流量系數(shù)越小.曹睿等[4]對(duì)垂直銳邊小孔的流量系數(shù)進(jìn)行了研究，他們發(fā)現(xiàn)，小孔直徑和小孔厚度對(duì)流量系數(shù)存在耦合影響.郭成富等[5]利用實(shí)驗(yàn)手段研究了倒角圓孔的流量系數(shù)，分析了不同倒角的小孔流量系數(shù).研究發(fā)現(xiàn)，倒斜角和倒圓角的小孔流量系數(shù)均大于垂直銳邊孔的流量系數(shù).史維祥和葛思華[6]也對(duì)小孔流量系數(shù)開展了實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明在不同油壓差下，小孔直徑增加，流量系數(shù)顯著上升.此外，基于對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，他們還提出了計(jì)算小孔流量系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式.Webster 等[7]研究了流體的可壓縮性對(duì)帶倒角和不帶倒角的小直徑比銳邊孔板流量系數(shù)的影響，結(jié)果表明，壓縮性對(duì)倒角和未倒角孔的流量系數(shù)影響均很大；與不可壓流體相反，倒角孔的流量系數(shù)比未倒角孔的流量系數(shù)小.

人們?cè)谘芯啃】琢髁肯禂?shù)的厚徑比尺寸影響時(shí)還發(fā)現(xiàn)，小孔存在薄孔和厚孔兩種類型[8].當(dāng)厚徑比小于1.5 時(shí)，小孔流量系數(shù)變化非常劇烈；當(dāng)厚徑比在2 ～ 10 范圍之內(nèi)，且Reynolds 數(shù)大于2 × 104時(shí)，小孔的流量系數(shù)會(huì)保持一個(gè)恒定值[9].雖然人們發(fā)現(xiàn)了薄孔和厚孔的流量系數(shù)不同，但是對(duì)其流動(dòng)機(jī)理的差異分析較少.

為了便于工程應(yīng)用，需要建立小孔流動(dòng)的流量系數(shù)計(jì)算公式.例如，Abd 等[10]利用實(shí)驗(yàn)手段研究了孔徑和Reynolds 數(shù)對(duì)小孔流量系數(shù)的影響，得到了大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并建立了計(jì)算小孔流量系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式.Fu 等[11]試驗(yàn)研究了堰孔的流量系數(shù)，通過量綱分析推導(dǎo)了流量系數(shù)與四個(gè)無量綱參數(shù)的關(guān)系式，并對(duì)流量系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了優(yōu)化和驗(yàn)證.Eghbalzadeh 等[12]通過試驗(yàn)獲取了渠道側(cè)壁孔的流量系數(shù)，提出了考慮孔形狀影響的側(cè)壁孔流量系數(shù)計(jì)算公式.Werth 等[13]提出了用小孔的投影面積和表面積來確定小孔流量系數(shù)的方法，并給出了這兩種方法的計(jì)算公式.除此之外，黃一帆等[14]根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果得到了一種新的經(jīng)驗(yàn)公式，該經(jīng)驗(yàn)公式可以預(yù)測(cè)T 型微通道內(nèi)冪律流體液滴破裂的不同流型.雖然人們已經(jīng)得到了一些經(jīng)驗(yàn)公式，但是這些公式普適性較差.

流量系數(shù)是表征小孔流動(dòng)性能的重要參數(shù)，但小孔的流量系數(shù)受諸多因素的影響.雖然近年來可以見到不少有關(guān)對(duì)小孔流量系數(shù)的研究報(bào)道，但是仍缺乏對(duì)小孔流量系數(shù)影響因素的系統(tǒng)研究.此外，工程上希望能夠有一類應(yīng)用廣泛、可靠度高的小孔流量系數(shù)計(jì)算公式.本文采用兩相流數(shù)值方法對(duì)排液孔流動(dòng)進(jìn)行模擬，以此得出大量工況下的小孔流量系數(shù).基于對(duì)大量數(shù)據(jù)的分析，借助量綱分析方法獲取適用于不同工況的小孔流量系數(shù)預(yù)測(cè)公式，旨在為工程上小孔的流量系數(shù)計(jì)算提供理論參考.

1 物理模型和數(shù)值計(jì)算方法

1.1 物理模型

在當(dāng)前計(jì)算中，需要對(duì)封閉腔體進(jìn)行建模，并在其底部中心開圓形小孔.建立的計(jì)算模型為圓弧狀旋成體.為了模擬液體從封閉腔體內(nèi)部的排出過程，在小孔下方設(shè)置一個(gè)圓柱形計(jì)算域，圖1 給出了計(jì)算模型的示意圖以及排液孔局部的網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，第一層網(wǎng)格高度為5 × 10?5m，總網(wǎng)格數(shù)約為40 萬.

需要說明的是，本文采用控制變量法來開展相關(guān)研究工作，分析水頭高度h、水力直徑d、厚度l等對(duì)小孔流量系數(shù)的影響.表1 給出了圓形小孔的幾何參數(shù).

表1 圓形排液孔的幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of circular drain orifices

1.2 數(shù)值計(jì)算方法

封閉腔體的排液過程屬于不可壓縮的氣液兩相流動(dòng).該流動(dòng)過程不考慮傳熱影響，故流動(dòng)的控制方程僅包含連續(xù)性方程和動(dòng)量方程.在直角坐標(biāo)系下，封閉腔體排液孔的流動(dòng)控制方程可以寫成如下形式：

在控制方程(1)和(2)中，ui表示速度分量，p為流體靜壓，F(xiàn)為體積力，ρ和 τij分別為混合介質(zhì)密度和黏性應(yīng)力項(xiàng)：

其中，α為氣相體積分?jǐn)?shù)，ρl為液相密度，ρg為氣相密度，Sij=0.5(?ui/?xj+?uj/?xi)為應(yīng)變率張量，μ為流體黏性系數(shù).氣液兩相的界面捕捉可采用基于level-set 的volume of fluid（VOF）方法，王金城等[15]曾采用VOF 方法研究水滴撞擊壁面形成氣泡群的問題，尹強(qiáng)等[16]也曾采用VOF 方法研究了液滴的對(duì)心碰撞過程.由于本文研究的封閉腔體排液孔流動(dòng)的Reynolds 數(shù)最大約為O(104)，故需要考慮湍流影響.這里采用Reynolds 平均Navier-Stokes（RANS）方法進(jìn)行湍流計(jì)算，黏性應(yīng)力項(xiàng)的計(jì)算公式需進(jìn)行如下改寫：

其中，μL為分子黏性系數(shù)，μT為湍流黏性系數(shù).μT需要通過湍流模型進(jìn)行求解，本文采用的湍流模型是文獻(xiàn)[17]提出的realizablek-ε 兩方程模型.

控制方程(1)和(2)的求解采用基于交錯(cuò)網(wǎng)格的Simple 算法，動(dòng)量方程和湍流模型方程的離散采用二階迎風(fēng)格式，本文的數(shù)值模擬工具采用的是商用軟件FLUENT.圖1所示的計(jì)算域入口和出口邊界處設(shè)為定壓條件，即一個(gè)大氣壓，固壁為無滑移無穿透的黏性壁面.

圖1 封閉腔體簡(jiǎn)化模型及排液孔局部的網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 The simplified model for the closed cavity and the mesh topology of the drain orifice

1.3 排液孔流量系數(shù)的量綱分析

量綱分析方法常用于構(gòu)建物理量之間的相關(guān)關(guān)系.為了獲取封閉腔體排液孔流量系數(shù)的計(jì)算公式，首先需要獲取影響流量系數(shù)的物理量.在工程上，小孔的流量系數(shù)有如下定義[18]：

其中，Q=vA為流經(jīng)小孔的體積流量，A為小孔的橫截面積，g為重力加速度，h為水頭高度.我們知道，影響排液孔出流速度的因素有水頭高度h、排液孔水力直徑d、小孔厚度l、流體密度ρ、動(dòng)力黏度μ以及重力加速度g.因此，可以構(gòu)建如下隱函數(shù)：

根據(jù)π定理，選取d，v和ρ 為3 個(gè)基本量，可以用這3 個(gè)基本量組成如下4 個(gè)無量綱量：

其中，ai，bi和ci(i=1,2,3,4)為待定系數(shù).根據(jù)量綱一致性原則可以得出這些待定系數(shù)的值，從而可以得出4 個(gè)無量綱量的具體形式如下：

依據(jù)π定理并結(jié)合式(7)和(9)，不難得出利用函數(shù)φ表達(dá)出的小孔出流速度v的計(jì)算式：

根據(jù)式(6)，小孔的流量系數(shù)計(jì)算公式可以寫成如下形式：

2 結(jié)果與討論

2.1 算例驗(yàn)證與計(jì)算細(xì)節(jié)

為了驗(yàn)證當(dāng)前數(shù)值計(jì)算方法的可靠性，本文對(duì)錐形漏斗底部無厚度圓孔的排液流動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，并與已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)[19]進(jìn)行對(duì)比.依據(jù)不同的小孔直徑d和水頭高度h，文獻(xiàn)[19]給出了66 組試驗(yàn)數(shù)據(jù).這里，隨機(jī)選取四組工況下的小孔流量系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如表2所示，表中exp 表示文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，num 表示數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù).可以看出，當(dāng)前計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，這說明當(dāng)前數(shù)值計(jì)算方法具有較好的可靠性.

表2 數(shù)值與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of numerical and experimental results

為了開展網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證，選取三種不同分辨率的網(wǎng)格對(duì)圓孔排液流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即20 萬(grid 1)、40 萬(grid 2)和100 萬(grid 3).用于驗(yàn)證的圓孔排液流動(dòng)工況為：水頭高度h= 50 mm、水力直徑d= 10 mm、小孔厚度l= 2 mm.圖2 給出了沿小孔中軸線上的流向速度分布，可以看出，網(wǎng)格數(shù)量40 萬的計(jì)算結(jié)果與網(wǎng)格數(shù)量100 萬的計(jì)算結(jié)果幾乎完全吻合.因此，為了節(jié)省計(jì)算量，本文采用40 萬的網(wǎng)格完成其余全部算例的數(shù)值計(jì)算.

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證結(jié)果Fig.2 Grid independence verification results

2.2 單一幾何參數(shù)對(duì)排液孔流量系數(shù)的影響

由上述分析可知，影響小孔流量系數(shù)的幾何參數(shù)有水頭高度h、小孔水力直徑d以及小孔厚度l.為了分析單一幾何參數(shù)對(duì)小孔流量系數(shù)的影響，這里采用控制變量法研究流量系數(shù)隨某一幾何參數(shù)的變化規(guī)律.所謂控制變量法是在研究小孔流量系數(shù)隨某一個(gè)影響因素的變化規(guī)律時(shí)，其他影響因素要保持一致.

圖3 給出了小孔流量系數(shù)隨孔厚度的變化，由圖可知小孔流動(dòng)存在薄孔和厚孔兩種流動(dòng)特性.這里選取的小孔水頭高度為200 mm，小孔直徑d取為5 mm.當(dāng)小孔厚度呈現(xiàn)為薄孔特性時(shí)，流量系數(shù)約為0.61；當(dāng)小孔厚度為厚孔特性時(shí)，流量系數(shù)約為0.8.

圖3 小孔流量系數(shù)隨孔厚度的變化Fig.3 Evolution of the discharge coefficient with the orifice thickness

圖4 給出了小孔流量系數(shù)隨小孔上方水頭高度h的變化.這里選取的水頭高度范圍為10 ～ 500 mm，小孔直徑d取為5 mm.考慮到薄孔和厚孔特性的影響，小孔厚度l取為2 mm 和20 mm 兩種規(guī)格.當(dāng)h<200 mm時(shí)，小孔流量系數(shù)隨水頭高度的增加而減小，此時(shí)的液位稱為低液位；當(dāng)h≥200 mm時(shí)，小孔流量系數(shù)幾乎保持一個(gè)定值，約為0.61，此時(shí)的液位稱為高液位.由此可以看出，低液位時(shí)的小孔排液較快，而高液位時(shí)的小孔流量系數(shù)直接影響小孔排液的速率.

圖4 小孔流量系數(shù)隨水頭高度的變化Fig.4 Evolution of the discharge coefficient with the head height

不同的工程問題對(duì)排液孔尺寸有不同的要求[20]，故需要研究小孔水力直徑對(duì)流量系數(shù)的影響.圖5 給出了圓形小孔流量系數(shù)隨水力直徑d的變化.這里，選取的小孔水力直徑為5 ～ 20 mm，水頭高度h為200 mm，厚度l取2 mm 和20 mm 兩種規(guī)格.當(dāng)l=2 mm時(shí)，水力直徑對(duì)小孔流量系數(shù)幾乎不存在影響.當(dāng)l=20 mm時(shí)，水力直徑較小的小孔Cd值較大，而水力直徑較大的小孔Cd值則較小，且與l=2 mm時(shí)的Cd值幾乎相同，這意味著l=20 mm的小孔呈現(xiàn)明顯的薄孔和厚孔兩種特性.

圖5 小孔流量系數(shù)隨水力直徑的變化Fig.5 Evolution of the discharge coefficient with the hydraulic diameter

2.3 薄孔和厚孔兩種特性分析

通過上述分析可以看出，小孔排液呈現(xiàn)薄孔和厚孔兩種特性.為了深入分析這兩種特性的影響，這里對(duì)小孔流量系數(shù)幾何參數(shù)的綜合影響和流動(dòng)機(jī)理進(jìn)行討論.我們知道，影響小孔流量系數(shù)的三個(gè)幾何參數(shù)（水頭高度h、厚度l和水力直徑d）并未獨(dú)立，而是存在耦合影響.事實(shí)上，從量綱分析得出的小孔流量系數(shù)計(jì)算公式(11)可以看出，利用h/d，l/d和Re這三個(gè)無量綱數(shù)更能反映這些耦合影響.

從圖4 可知，當(dāng)h≥200 mm(l/d≈2)時(shí)，小孔流量系數(shù)可以認(rèn)為不受水頭高度影響.此時(shí)，小孔流量系數(shù)Cd僅與l/d和Re這兩個(gè)無量綱數(shù)有關(guān)，如圖6所示.為了便于討論，這里的水頭高度取為200 mm.可以認(rèn)為，小孔的流量系數(shù)以l/d≈2或Reynolds 數(shù)Re≈9 600為界限取為兩種定值，即

圖6 h/d≥40時(shí)小孔流量系數(shù)隨厚徑比l /d和Reynolds 數(shù)R e 的變化：（a）厚徑比l/d；（b）ReFig.6 Evolution of the discharge coefficient with thickness to diameter ratio l /d and Reynolds number R e for h/d≥40:（a）thickness to diameter ratio l/d；（b）Re

在重力作用下，液體進(jìn)入排液孔時(shí)壓力下降.在銳角小孔入口處，流體發(fā)生流動(dòng)分離，產(chǎn)生分離剪切層，進(jìn)而在拐角下游形成回流區(qū).當(dāng)厚徑比l/d較小時(shí)，如l/d=0.4的薄孔，小孔內(nèi)部的壓力未得到恢復(fù)，液體便流出小孔，如圖7(a)所示；當(dāng)厚徑比較大時(shí)，如l/d=2的厚孔，沿著小孔側(cè)壁的壓力得到恢復(fù)，液體發(fā)生再附現(xiàn)象，如圖7(b)所示.這里，水頭高度取為200 mm.對(duì)比圖7(a)和圖7(b)可以看出，當(dāng)液體流經(jīng)厚徑比較小的排液孔時(shí)，壓力損失較大，流量系數(shù)較小；當(dāng)液體流經(jīng)厚徑比較大的排液孔時(shí)，壓力損失則較小，流量系數(shù)較大.

圖7 利用流線和壓力云圖描述的小孔附近流動(dòng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：(a)l/d=0.4；(b)l/d=2Fig.7 The flow topology near the orifice of plotted streamlines and contours of pressure:(a)l/d=0.4;(b)l/d=2

為了深入認(rèn)識(shí)薄孔和厚孔內(nèi)部壓力損失差異的機(jī)理，有必要對(duì)小孔入口處的分離剪切層失穩(wěn)過程進(jìn)行分析.剪切層的失穩(wěn)過程與剪切層的增長(zhǎng)密切相關(guān)，剪切層增長(zhǎng)率可以用其渦量厚度δω來描述[21].這里，δω的定義為

其中，U1和U2分別為剪切層兩側(cè)的平均流向速度，(?U/?r)max表示沿排液孔徑向的最大流向速度梯度.圖8 給出了薄孔和厚孔中分離剪切層的渦量厚度分布.可以看出，在剪切層的初始演化階段，厚孔的剪切層增長(zhǎng)較快，增長(zhǎng)率約為0.16.由于剪切層的快速增長(zhǎng)，使得厚孔內(nèi)部的分離剪切層失穩(wěn)早于薄孔，進(jìn)而導(dǎo)致厚孔內(nèi)部的壓力得到恢復(fù).

圖8 渦量厚度沿分離剪切層的分布Fig.8 Distribution of the vorticity thickness along the separated shear layer

2.4 小孔流量系數(shù)的預(yù)測(cè)公式

上文已經(jīng)得到了排液孔流量系數(shù)與三個(gè)無量綱參數(shù)的關(guān)系式(11).這里，利用數(shù)值模擬數(shù)據(jù)對(duì)不同工況下的排液孔流量系數(shù)進(jìn)行公式擬合.由于影響排液孔流量系數(shù)的因素較多，也就是說流量系數(shù)公式中的自變量較多.因此，小孔流量系數(shù)的計(jì)算公式采用非線性曲線擬合較為合適：

式中，αi和βi(i=1,2,3)均為待定系數(shù)，這些系數(shù)可以由本文數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)求出.當(dāng)l/d<2，且水頭高度h<200 mm 時(shí)，根據(jù)數(shù)值計(jì)算數(shù)據(jù)可以求得

因此，式(14)可以寫成

當(dāng)l/d<2，且水頭高度h≥ 200 mm 時(shí)，根據(jù)數(shù)值計(jì)算數(shù)據(jù)可以得出

式(14)可以寫成

為了對(duì)式(18)進(jìn)一步分析，這里對(duì)公式右邊第一、二和三項(xiàng)分別標(biāo)記為Iterm1，Iterm2，Iterm3，顯然這些項(xiàng)均大于零.需要注意的是，本文考察的小孔直徑最大為20 mm.結(jié)合式(18)的適用條件，即h≥ 200 mm，l/d<2，可以得出h/d>10.因此，這三項(xiàng)具有如下關(guān)系：

因此，可以合理把式(18)改寫成Cd≈0.61，這與上文給出的結(jié)論一致，見式(12).

3 結(jié)論

本文利用VOF 方法對(duì)封閉腔體流動(dòng)進(jìn)行模擬，獲取了排液孔的流量系數(shù).采用控制變量法研究了水頭高度、水力直徑、小孔厚度對(duì)小孔流量系數(shù)的影響，并擬合了計(jì)算小孔流量系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式.通過對(duì)數(shù)值結(jié)果的分析與討論，得出了如下結(jié)論：

1)當(dāng)h<200 mm時(shí)，小孔流量系數(shù)隨水頭高度的增加而減??；當(dāng)h≥200 mm 時(shí)，小孔流量系數(shù)幾乎保持一個(gè)定值，約為0.61.

2)小孔流動(dòng)存在薄孔和厚孔兩種流動(dòng)特性：當(dāng)l/d<2時(shí)，小孔厚度呈現(xiàn)為薄孔特性，流量系數(shù)約為0.6；當(dāng)l/d≥2時(shí)，小孔厚度為厚孔特性，流量系數(shù)約為0.8.

3)當(dāng)h≥200 mm時(shí)，小孔流量系數(shù)不受水頭高度影響.此時(shí)，小孔流量系數(shù)Cd僅與l/d和Re這兩個(gè)無量綱數(shù)有關(guān)，小孔的流量系數(shù)以l/d≈2或Re≈9 600為界限取為兩種定值.