彭 謙, 郭建國(guó),*, 郭宗易, 王國(guó)慶

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安 710072;2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研發(fā)部, 北京 100076)

0 引 言

臨近空間動(dòng)能攔截器是一種采用姿軌復(fù)合控制,依靠全捷聯(lián)紅外被動(dòng)式導(dǎo)引頭實(shí)現(xiàn)自主尋的,最終通過(guò)碰撞毀傷臨近空間高超聲速目標(biāo)的高速度、高精度攔截器[1-3]。全捷聯(lián)紅外導(dǎo)引頭與攔截器固聯(lián),測(cè)量值為體視線角,這導(dǎo)致導(dǎo)引頭視場(chǎng)約束與攔截器姿態(tài)耦合[4-6];姿軌復(fù)合控制系統(tǒng)由安裝在不同位置的側(cè)噴發(fā)動(dòng)機(jī)組成,根據(jù)側(cè)向直接力的作用位置不同,能夠同時(shí)產(chǎn)生力、力矩兩種控制量[7-8]。上述視場(chǎng)約束和執(zhí)行機(jī)構(gòu)特性均會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的姿態(tài)與軌道控制耦合。姿態(tài)與軌道的耦合使得制導(dǎo)控制系統(tǒng)呈現(xiàn)高維、強(qiáng)耦合和強(qiáng)非線性特點(diǎn),給控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)極大挑戰(zhàn)[9]。

在對(duì)控制精度要求高的場(chǎng)景中,應(yīng)特別注意姿軌耦合問(wèn)題[10-11]。然而,現(xiàn)有的關(guān)于姿軌控制動(dòng)能攔截器的研究采用分而治之的策略分別設(shè)計(jì)制導(dǎo)律和控制律[8,12],忽略了姿態(tài)與軌道控制耦合,以犧牲控制精度為代價(jià)簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)。相比之下,制導(dǎo)控制一體化通過(guò)測(cè)量狀態(tài)直接同步生成姿、軌發(fā)動(dòng)機(jī)控制指令,不僅能夠充分考慮姿軌耦合,還能夠避免制導(dǎo)系統(tǒng)向控制系統(tǒng)傳遞制導(dǎo)信息的過(guò)程[13-15]。將姿控和軌控視為一個(gè)整體,采用一體化方法設(shè)計(jì)姿軌復(fù)合控制系統(tǒng)，能夠充分發(fā)揮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能,從本質(zhì)上提高攔截器的機(jī)動(dòng)能力和控制精度,避免能量的浪費(fèi)或內(nèi)耗。特別地，對(duì)于燃料有限的姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī),姿軌一體化復(fù)合控制有極大的研究?jī)r(jià)值。

復(fù)合控制的本質(zhì)是多輸入控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[16]將多輸入轉(zhuǎn)換為單輸入處理,且轉(zhuǎn)換要求系統(tǒng)參數(shù)非時(shí)變。文獻(xiàn)[17-18]將子系統(tǒng)間的耦合視為不確定項(xiàng),在控制律設(shè)計(jì)中忽略了耦合的影響。上述研究沒(méi)有重視多輸入系統(tǒng)中的耦合問(wèn)題,無(wú)法被應(yīng)用于姿軌一體化復(fù)合控制。

除此之外,臨近空間動(dòng)能攔截器還面臨著狀態(tài)約束問(wèn)題[19-21]。障礙Lyapunov函數(shù)被廣泛用于約束系統(tǒng)狀態(tài),然而基于現(xiàn)有研究,障礙Lyapunov函數(shù)需要借助反步法才能擴(kuò)展至高階系統(tǒng),同時(shí)可引入低通濾波器避免反步法的“指數(shù)爆炸”[4,22-24]。然而,低通濾波器不可避免地會(huì)引入濾波誤差,降低控制器的控制精度?，F(xiàn)有研究缺乏對(duì)真正意義上的、不采用反步法的高階系統(tǒng)狀態(tài)約束的研究。

針對(duì)臨近空間動(dòng)能攔截器,本文提出了姿軌一體化復(fù)合控制律,主要貢獻(xiàn)如下:

(1) 考慮姿軌耦合并引入體視線角和交會(huì)角約束,建立了基于姿軌復(fù)合控制的臨近空間動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制一體化模型;

(2) 基于反正切函數(shù)設(shè)計(jì)了包含狀態(tài)約束信息的映射函數(shù),提出了一種簡(jiǎn)便、適用性廣的狀態(tài)約束方法,在不改變控制器結(jié)構(gòu)的前提下，實(shí)現(xiàn)了高階多輸入耦合系統(tǒng)的狀態(tài)約束;

(3) 針對(duì)多輸入多輸出的臨近空間動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制系統(tǒng),充分考慮姿軌耦合,不使用反步法,提出了一種高精度、低能耗的姿軌一體化復(fù)合控制律,在滿足其體視線角約束和交會(huì)角約束的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)控制任務(wù)。

1 臨近空間動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制系統(tǒng)建模

1.1 全捷聯(lián)姿軌復(fù)合控制攔截器建模

臨近空間動(dòng)能攔截器采用姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)作為控制輸入,姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)均垂直于彈體縱軸安裝。軌控發(fā)動(dòng)機(jī)安裝在攔截器質(zhì)心,提供力控制量,通過(guò)改變加速度調(diào)整其飛行彈道;姿控發(fā)動(dòng)機(jī)安裝在攔截器尾部,同時(shí)提供力、力矩控制量,以提供力矩控制量為主,用于修正姿態(tài)。

以縱向平面為例,攔截器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)如圖1所示。

圖1 攔截器-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of interceptor-target relative motion

圖1中,M代表攔截器；T代表攔截目標(biāo);R代表彈目相對(duì)距離,qε代表目標(biāo)線方位角,VM、VT分別代表攔截器和目標(biāo)的速度,aM、aT分別代表攔截器和目標(biāo)的加速度,θM、θT分別代表攔截器和目標(biāo)的彈道傾角;Mxb與攔截器縱軸重合,指向攔截器頭部;?代表攔截器俯仰角,qε b代表攔截器體視線角。

考慮臨近空間的氣動(dòng)力作用,根據(jù)圖1中的攔截器-目標(biāo)相對(duì)幾何關(guān)系,可建立臨近空間動(dòng)能攔截器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下[25]:

(1)

臨近空間動(dòng)能攔截器的動(dòng)力學(xué)模型可建立如下[26]:

(2)

(3)

其中,

MFay=-Fay(xp-xg)

姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)不能調(diào)整推力大小,只能調(diào)整脈沖寬度。參考文獻(xiàn)[27],假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)一旦開(kāi)啟,推力大小恒定不變,建立姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)控制輸入歸一化模型如下:

(4)

式中:Tt、Ta分別代表軌控、姿控發(fā)動(dòng)機(jī)控制周期;Fte、Fae分別代表軌控、姿控發(fā)動(dòng)機(jī)的固定推力;It=FteTt、Ia=FaeTa分別代表一個(gè)控制周期內(nèi)軌控、姿控發(fā)動(dòng)機(jī)能提供的最大沖量;τt、τa分別代表軌控、姿控發(fā)動(dòng)機(jī)的開(kāi)啟時(shí)間占空比；τt、τa若為負(fù),則代表反向發(fā)動(dòng)機(jī)提供推力。

由于動(dòng)能攔截器采用全捷聯(lián)導(dǎo)引頭,參考圖1,動(dòng)能攔截器的體視線角與目標(biāo)線方位角、攔截器俯仰角之間有如下的幾何關(guān)系:

qε b=qε-?

(5)

考慮到全捷聯(lián)導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍限制,qε b需滿足以下約束:

εmin

(6)

式中:εmax、εmin分別代表導(dǎo)引頭最大、最小視場(chǎng)角,均為常數(shù)。

1.2 制導(dǎo)控制一體化模型

(7)

2 姿軌一體化復(fù)合控制系統(tǒng)

2.1 干擾觀測(cè)器

假設(shè)2在臨近空間動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制一體化系統(tǒng)(7)中,非匹配不確定干擾di(i=3,4)是有界的,即|di|≤σi,σi為已知正數(shù)[28-29]。

針對(duì)動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制系統(tǒng)中存在的非匹配不確定干擾,引入了文獻(xiàn)[29]的擴(kuò)張干擾觀測(cè)器(extended disturbance observer, EDO)如下:

(8)

引理1通過(guò)選擇合適的參數(shù)λi1、λi2,EDO估計(jì)誤差的范圍[29]滿足:

(9)

2.2 基于體視線角約束的映射函數(shù)

全捷聯(lián)導(dǎo)引頭導(dǎo)致攔截器姿態(tài)與彈道耦合。根據(jù)攔截器的材質(zhì)、飛行速度等,攔截器會(huì)采用將全捷聯(lián)導(dǎo)引頭安裝在彈體側(cè)面的方式，以避開(kāi)彈頭的熱流密集區(qū)[30-31]。因此,為使得攔截器體視線角滿足約束(6),設(shè)計(jì)可包含任意體視線角約束的映射函數(shù)如下:

-ε∞

(10)

式中:ε∞=εmax-ε0=-εmin+ε0。

基于式(7)和式(10),定義函數(shù)如下:

x1=ν(z1)ε∞+ε0

(11)

定義映射函數(shù)ν(z1)如下:

(12)

結(jié)合式(11)和式(12)，可得

(13)

有

(14)

當(dāng)z1→∞時(shí),x1→εmax;當(dāng)z1→-∞,x1→εmin。因此,z1可作為被約束狀態(tài)x1的映射函數(shù),在后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)中,用z1取代x1,即可確保x1始終滿足約束式(6)。

假設(shè)3x1的初值x1(0)滿足εmin

包含體視線角約束的映射函數(shù)式(13)可適用于對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)導(dǎo)引頭視場(chǎng),即無(wú)論全捷聯(lián)導(dǎo)引頭是安裝在彈頭或彈體側(cè)面,均可通過(guò)在控制器中引入式(13)以實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)約束。

2.3 狀態(tài)約束下的姿軌一體化滑?？刂坡?/h3>

動(dòng)能攔截器需要在精準(zhǔn)命中目標(biāo)的前提下滿足交會(huì)角約束和體視線角約束。由式(7)可知,姿軌復(fù)合控制屬于異類(lèi)多輸入耦合控制系統(tǒng),軌控發(fā)動(dòng)機(jī)只能提供調(diào)整彈道的力控制量,無(wú)法主動(dòng)調(diào)控?cái)r截器姿態(tài);姿控發(fā)動(dòng)機(jī)可同時(shí)提供力和力矩兩種控制量(其中以力矩控制作用為主)調(diào)整攔截器姿態(tài)?？紤]姿軌耦合,基于干擾觀測(cè)器、包含體視線角約束的映射函數(shù)和高階滑?？刂?針對(duì)臨近空間動(dòng)能攔截器設(shè)計(jì)姿軌一體化復(fù)合控制律。

基于制導(dǎo)控制一體化模型(7),將映射函數(shù)z1與滑模變結(jié)構(gòu)控制結(jié)合,設(shè)計(jì)滑模面如下:

(15)

考慮到干擾觀測(cè)器的觀測(cè)誤差,結(jié)合式(7),定義滑模面趨近律如下:

(16)

式中:φ11、φ12為正常數(shù)。為抑制抖振,用飽和函數(shù)sat(s1)代替符號(hào)函數(shù)sign(s1)[32],

交會(huì)角約束屬于終端約束,通過(guò)對(duì)qε的控制實(shí)現(xiàn)。因此,基于制導(dǎo)控制一體化模型式(7)設(shè)計(jì)滑模面如下:

(17)

式中:x2c代表x2的期望值;c2為正常數(shù)。

考慮到干擾觀測(cè)器的觀測(cè)誤差,結(jié)合式(7),定義滑模面趨近律如下:

(18)

式中:φ21、φ22為正常數(shù)；sat(s2)與sat(s1)相同。

U=-B-1[Φ1S+Φ2sat(S)+G]

(19)

2.4 穩(wěn)定性證明

定理1臨近空間動(dòng)能攔截器的姿軌一體化復(fù)合控制律式(19)控制下的系統(tǒng)在存在體視線角約束和交會(huì)角約束時(shí)是有界穩(wěn)定的,其控制輸出x1和x2的收斂范圍分別為

(20)

(21)

證明

-|s1|(φ11|s1|+φ12|sat(s1)|-|a11|D3-

|a12|D4)-|s2|(φ21|s2|+φ22|sat(s2)|-|a21|D3)

(22)

(23)

(24)

將式(24)代入式(15),有

(25)

|x2|(c2|x2|-γ2-c2|x2c|)

(26)

(27)

說(shuō)明一體化復(fù)合控制律控制下的系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的。

證畢

3 仿真分析

本文仿真均在攔截器攔截末段的縱向平面下完成。臨近空間動(dòng)能攔截器的飛行速度為VM=1 500 m/s,初始位置為xm=0 m,ym=20 000 m,其他狀態(tài)量初值為α=0°,?=0°,θM=0°,ωz=0°/s;目標(biāo)飛行速度為VT=1 500 m/s,加速度為aT=40 m/s2,初始位置為xt=30 000 m,yt=21 500 m;初始彈道傾角為θT=175°。全捷聯(lián)導(dǎo)引頭的視場(chǎng)范圍約束為εmax=15°、εmin=-15°,姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)可提供的直接力分別為|Fay|≤3 000 N、|Fty|≤20 000 N。

控制期望為x1c=0°,x2c=0°;控制器參數(shù)為φ11=1,φ12=1,φ21=1,φ22=1,c1=3,c2=1,λi1=10,λi2=10。

仿真步長(zhǎng)為1 ms。考慮到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度很快,為盡可能消除仿真步長(zhǎng)給脫靶量計(jì)算造成的偏差,利用線性插值估算脫靶量。定義整個(gè)仿真過(guò)程中共有n個(gè)采樣點(diǎn),取j=1,2,3,…,1 001,kj=0.001(j-1),則第n-1至第n個(gè)采樣點(diǎn)間的第j個(gè)線性插值點(diǎn)可描述為

(28)

式中:xm(n-1)、ym(n-1)和xt(n-1)、yt(n-1)分別代表第n-1采樣點(diǎn)攔截器和目標(biāo)的位置;xm(n)、ym(n)和xt(n)、yt(n)分別代表第n個(gè)采樣點(diǎn)攔截器和目標(biāo)的位置。

可得各插值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彈目相對(duì)距離R(j)為

(29)

min[R(j)]即為脫靶量,與min[R(j)]對(duì)應(yīng)的目標(biāo)線方位角qε即為交會(huì)角。

下面將從一體化設(shè)計(jì)、映射函數(shù)約束、蒙特卡羅打靶三方面驗(yàn)證本文提出的姿軌一體化復(fù)合控制律的性能。

3.1 一體化設(shè)計(jì)有效性驗(yàn)證

姿軌一體化復(fù)合控制律將姿控與軌控系統(tǒng)視為一個(gè)整體,即制導(dǎo)控制一體化。在不考慮約束的情況下,對(duì)比基于制導(dǎo)控制一體化的滑?？刂坡?integrated guidance and control-based sliding mode control, IGC-SMC)與基于反步法的滑?？刂坡蒣13](backstepping control-based sliding mode control, BC-SMC)的控制性能差異,仿真結(jié)果如表1所示。

表1 攔截器碰撞狀態(tài)

由表1中的攔截器碰撞狀態(tài)可以看出,IGC-SMC和BC-SMC均可順利命中目標(biāo),IGC-SMC所用攔截時(shí)間略短;考慮到姿軌控復(fù)合控制本身具有響應(yīng)速度快的特性,一體化設(shè)計(jì)可以略微提升系統(tǒng)的響應(yīng)速度,但效果不明顯。

圖2和圖3所示分別為IGC-SMC和BC-SMC控制下的攔截器飛行彈道和目標(biāo)線方位角變化曲線。結(jié)合圖4控制輸入曲線,經(jīng)分析可知,相較于IGC-SMC,BC-SMC控制指令起伏更大,更易使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入飽和,致使攔截攻擊目標(biāo)和目標(biāo)線方位角跟蹤過(guò)程控制效果較差。同時(shí),由圖4控制輸入曲線和表2發(fā)動(dòng)機(jī)所需沖量經(jīng)分析可知,IGC-SMC發(fā)動(dòng)機(jī)需用沖量顯著小于BC-SMC,尤其是軌控發(fā)動(dòng)機(jī)需用沖量。這說(shuō)明一體化設(shè)計(jì)相較于反步法設(shè)計(jì)具有更高的控制效率,能夠有效減少能量的消耗,對(duì)于提升燃料有限的姿/軌控?cái)r截器性能有很大幫助。

圖2 IGC-SMC和BC-SMC控制下的攔截器飛行彈道Fig.2 Interceptor’s trajectory under the control of IGC-SMC and BC-SMC

圖3 IGC-SMC和BC-SMC控制下的目標(biāo)線方位角Fig.3 Curves of line-of-sight orientation angle under the control of IGC-SMC and BC-SMC

圖4 IGC-SMC和BC-SMC控制輸入曲線Fig.4 IGC-SMC and BC-SMC control input curves

表2 姿/軌控發(fā)動(dòng)機(jī)所需沖量

3.2 映射函數(shù)約束性能驗(yàn)證

姿軌一體化復(fù)合控制律(19)本質(zhì)是基于EDO的被約束滑?？刂破?EDO based constrained sliding mode controller, EDO-CSMC)。通過(guò)對(duì)比EDO-CSMC、被約束滑?？刂破?constrained sliding mode controller, CSMC)、基于EDO的滑?？刂破?EDO based sliding mode controller, EDO-SMC)以及滑?？刂破?sliding mode controller, SMC)這4種控制器的仿真結(jié)果,驗(yàn)證映射函數(shù)約束和干擾觀測(cè)器的有效性。

為提高仿真結(jié)果對(duì)比的可靠性,CSMC、EDO-SMC及SMC中的參數(shù)與EDO-CSMC相同。在飛行5 s后，引入干擾d4=25cos(0.5πt)。通過(guò)對(duì)比攔截器的碰撞狀態(tài)、控制輸入等評(píng)估4種控制器的性能,假設(shè)體視線角超出視場(chǎng)范圍，不丟失目標(biāo),有仿真結(jié)果如表3所示。

表3 攔截器碰撞狀態(tài)

由表3攔截器碰撞狀態(tài)可知,攔截器在EDO-CSMC、CSMC、EDO-SMC及SMC的控制下,脫靶量滿足命中需求,基本滿足交會(huì)角約束qε=0°。以上結(jié)果證明,若目標(biāo)始終在導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍內(nèi),以上4種控制器均可實(shí)現(xiàn)攔截。

圖5展示了在4種控制器的控制下，體視線角變化曲線與視場(chǎng)約束的關(guān)系。結(jié)合圖5可以看出,SMC對(duì)干擾的抑制能力最差,并且無(wú)法滿足視場(chǎng)約束;EDO-SMC由于引入了EDO,對(duì)干擾有一定的抑制作用,但仍無(wú)法保障視場(chǎng)約束;實(shí)際上,體視線角超出視場(chǎng)約束范圍，代表著攔截器導(dǎo)引頭丟失目標(biāo),EDO-SMC和SMC控制下的攔截器不能成功攔截目標(biāo)。CSMC相較于SMC和EDO-SMC,具有更強(qiáng)的魯棒性,能夠確保視場(chǎng)約束得到滿足;EDO-CSMC在CSMC的基礎(chǔ)上引入EDO,在保證視場(chǎng)約束的條件下進(jìn)一步抑制了干擾,控制效果最好。同時(shí),在5 s前，4種控制器作用下的體視線角變化曲線幾乎重合,說(shuō)明EDO、映射函數(shù)約束的引入不影響控制器的基本性能。

圖5 體視線角變化曲線Fig.5 Variation curves of body line-of-sight angle

3.3 蒙特卡羅打靶仿真

在300次蒙特卡羅仿真中，體視線角均在視場(chǎng)約束范圍內(nèi)。同時(shí),結(jié)合圖6所示的體視線角跟蹤誤差平均值和方差、圖7所示的脫靶量蒙特卡羅打靶結(jié)果和圖8所示的交會(huì)角蒙特卡羅打靶結(jié)果可以看出,在隨機(jī)氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)和目標(biāo)機(jī)動(dòng)下,攔截器可以順利命中目標(biāo)，并且滿足體視線角約束和交會(huì)角約束,這表明本文設(shè)計(jì)的姿軌一體化復(fù)合控制律具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖6 體視線角蒙特卡羅打靶結(jié)果Fig.6 Monte Carlo test result of body line-of-sight angle

圖7 脫靶量蒙特卡羅打靶結(jié)果Fig.7 Monte Carlo test result of miss distance

圖8 交會(huì)角蒙特卡羅打靶結(jié)果Fig.8 Monte Carlo test result of impact angle

4 結(jié) 論

基于反正切函數(shù)設(shè)計(jì)了包含狀態(tài)約束信息的映射函數(shù),能夠在不影響滑?？刂破骰究蚣艿那疤嵯聦?shí)現(xiàn)高階多輸入耦合系統(tǒng)中的狀態(tài)約束。

針對(duì)臨近空間動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制系統(tǒng),充分考慮姿軌耦合,基于滑?？刂坪鸵晥?chǎng)約束的映射函數(shù)提出了姿軌一體化復(fù)合控制律,在不采用反步法的前提下實(shí)現(xiàn)了高階系統(tǒng)控制,避免了濾波誤差,提升了控制精度。

姿軌一體化復(fù)合控制律能夠在滿足體視線角約束和交會(huì)角約束的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)線方位角和體視線角的跟蹤控制,避免了制導(dǎo)指令向控制系統(tǒng)傳遞的過(guò)程,提高了控制效率,減少了姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料消耗。