水鵬朗 田 超 封 天

(西安電子科技大學雷達信號處理國家級重點實驗室 西安 710071)

1 引言

IG-CG( Compound-Gaussian model with Inverse Gaussian texture)是復合高斯海雜波模型的重要類型之一[1–3]，其能夠作為K-分布[4,5]，廣義Pareto強度分布[6]，對數(shù)正態(tài)紋理復合高斯模型(Compound-Gaussian model with LogNormal texture, LN-CG)[7]的重要補充刻畫中高距離分辨率的海雜波。而且IG-CG模型下的近最優(yōu)計算可實現(xiàn)的相干檢測器的兩種形式已經(jīng)在最近被發(fā)現(xiàn)[8,9]。因此，對于高分辨海用雷達，IG-CG模型在目標檢測中的使用的重要前提是在海雜波IG-CG模型參數(shù)的精確估計[10]。在CFAR (Constant False Alarm Rate)檢測中，參數(shù)估計精度決定了虛警率的控制精度，參數(shù)估計越準確，虛警率控制越精準[8,11]。而且使用匹配于雜波逆形狀參數(shù)的最優(yōu)、近最優(yōu)相干檢測器時，不精確的參數(shù)估計會導致最優(yōu)或近最優(yōu)檢驗統(tǒng)計量失配，帶來性能損失。由于雷達接收的數(shù)據(jù)中包含了高幅度的異常樣本，其主要來自海面目標、島礁等的強回波，傳統(tǒng)基于樣本矩和迭代最大似然(Iterative Maximum Likelihood, IML)估計的方法[12]由于其對異常樣本的敏感性難以使用。

文獻[12]基于數(shù)據(jù)樣本分位點對異常樣本的穩(wěn)健性，提出了對異常樣本穩(wěn)健的雙分位點(Bi-Percentile, BiP)估計方法。該方法能夠在存在異常樣本的情況下穩(wěn)健估計海雜波IG-CG模型的尺度參數(shù)和逆形狀參數(shù)。仿真和實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明：兩個分位點的位置明顯影響估計對異常樣本穩(wěn)健性和精度。受K-分布下對異常樣本穩(wěn)健的三分位點估計方法[13]的啟發(fā)，本文提出了估計IG-CG分布逆形狀參數(shù)和尺度參數(shù)對異常樣本穩(wěn)健的三分位點(Tripercentile, Tri-per)估計方法。按照文獻[12]中的結(jié)果，兩個分位點的比率是逆形狀參數(shù)的單調(diào)函數(shù)，不同的分位點位置對應不同的逆形狀參數(shù)估計器。從大量的仿真實驗發(fā)現(xiàn)了達到逆形狀參數(shù)估計最小均方根誤差的雙分位點位置的經(jīng)驗公式。在逆形狀參數(shù)估計中，上分位點的位置由其對異常樣本的穩(wěn)健性要求確定，下分位點位置由經(jīng)驗公式確定，從而得到了逆形狀參數(shù)估計的最優(yōu)參數(shù)設置?；诠烙嫷哪嫘螤顓?shù)，進一步確定具有最小均方根誤差的第三分位點位置得到尺度參數(shù)的估計。這樣得到了具有最優(yōu)分位點位置設置的三分位點參數(shù)估計方法，其明顯改善了參數(shù)估計性能。

本文內(nèi)容安排如下。第2節(jié)回顧了海雜波的IGCG幅度模型以及對異常樣本穩(wěn)健的雙分位點估計方法。第3節(jié)提出了具有最優(yōu)分位點位置設置的三分位點估計方法。第4節(jié)基于仿真和實測數(shù)據(jù)檢驗了提出方法的性能并與已有方法進行對比。第5節(jié)總結(jié)了全文的工作。

2 海雜波的IG-CG分布模型與雙分位點參數(shù)估計

復合高斯模型是公認的描述海雜波的有效模型，該模型中海雜波表示為兩個獨立隨機變量的乘積，反映功率起伏的紋理分量和描述散斑的復高斯分量，海雜波表示為

其中，μ和υ分別是紋理分布的尺度(雜波功率)和逆形狀參數(shù)(傳統(tǒng)形狀參數(shù)的倒數(shù))，u是零均值單位方差的復高斯隨機變量。紋理的概率密度函數(shù)取不同分布類型對應于不同的復合高斯模型。典型的，Gamma分布紋理、逆Gamma分布紋理、逆Gaussian分布紋理和對數(shù)正態(tài)紋理分別對應于K-分布[4,5]、廣義Pareto強度分布[6]、IG-CG分布[1]和LN-CG分布[7]。IG-CG幅度分布的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)和累積分布函數(shù)(Cumulative Density Function, CDF)的表達式分別為其中，r=|z|表 示幅度，μ表示尺度參數(shù)。逆形狀參數(shù)越大，幅度分布拖尾越重，海雜波的非高斯性越強。當υ=0時，式(2)退化為瑞利分布，雜波是高斯雜波。當樣本為純雜波數(shù)據(jù)時，矩估計方法(Method Of Moment, MOM)[1]和IML估計方法[12]能夠得到IG-CG模型參數(shù)的高精度估計。由于實際回波數(shù)據(jù)不可避免含異常樣本，MOM和IML估計方法由于對異常樣本敏感，估計值會嚴重偏離其真實值。文獻[12]提出的IG-CG分布參數(shù)的BiP估計方法，由于其使用數(shù)據(jù)的樣本分位點進行參數(shù)估計，其估計性能對異常樣本穩(wěn)健[14]。

對于任意值0 <α<1 ， 位置為α的分位點rα是方程

其中，W(x)是Lambert W-函數(shù),y=xex函數(shù)的反函數(shù)。對于任意的0<α<β<1，可以得到兩個分位點的比是與尺度參數(shù)無關(guān)的逆形狀參數(shù)的單調(diào)函數(shù)[12]，即

因此，函數(shù)Θ(υ;α,β)的反函數(shù)存在，記作Λα,β(?)。由于缺乏解析表達式，使用時對給定的0<α<β<1，函數(shù)Λα,β(?)可以通過查表法實現(xiàn)。當逆形狀參數(shù)已知，尺度參數(shù)可以從任意分位點估計，例如

當式(5)和式(6)中的分位點被樣本分位點代替后，就得到了異常樣本穩(wěn)健的BiP估計方法[12]。設{ri,i=1,2,...,N}是 幅度樣本，{r(i),i=1,2,...,N}是把樣本從小到大排列得到的序列，IG-CG分布模型的雙分位點參數(shù)估計方法的表達式為

其中，[x]表示取最接近x的整數(shù)，r?α和r?β分別是下和上樣本分位點。顯然，不同的0<α<β<1對應于不同位置的BiP估計。上分位點位置β的選擇基于對異常樣本的穩(wěn)健性，1–β必須小于數(shù)據(jù)中異常樣本可能的最大比例。下分位點位置α的選擇也明顯影響估計性能[12]。

3 分位點位置優(yōu)化配置與三分位點估計方法

BiP估計方法中, 分位點位置α和β會影響參數(shù)估計的性能。受K-分布三分位點估計方法[13]的啟發(fā)，本文通過3個分位點位置的優(yōu)化設置改進參數(shù)估計的精度。首先，通過兩個分位點位置的優(yōu)化設置改進逆形狀參數(shù)的估計精度，然后在逆形狀參數(shù)估計的基礎(chǔ)上尋找第三分位點的最優(yōu)位置改進尺度參數(shù)的估計精度。

按照式(7)的估計，當數(shù)據(jù)樣本中不存在異常樣本時，對于給定的分位點位置α和β，逆形狀參數(shù)的估計性能可以用相對均方根誤差衡量，它是位置參數(shù)和樣本數(shù)目的函數(shù)，記為

其中，υ?是逆形狀參數(shù)的估計值。然而，很難得到上面相對均方根誤差的解析表達式，位置參數(shù)α和β的優(yōu)選只能依賴于Monte-Carlo試驗得到的估計值。首先，α和β的優(yōu)選不應該依賴于逆形狀參數(shù)本身的值，因為其估計之前是未知的。需要找出對所有逆形狀參數(shù)公用的最優(yōu)的位置參數(shù)設置。不失一般性，假定海雜波逆形狀參數(shù)υ具有先驗分布pυ(υ)，那么對于給定的樣本數(shù)N，分位點位置參數(shù)的優(yōu)選歸結(jié)為優(yōu)化問題

其中，η是控制估計對異常樣本穩(wěn)健性的參數(shù)。一般來說，數(shù)據(jù)中異常樣本的比例要小于1–η。

本文通過Monte-Carlo試驗的方法驗證上面的近似結(jié)果，假設逆形狀參數(shù)γ服從區(qū)間[0,100]上的均勻分布。對給定的α,β和N，計算優(yōu)化問題式(9)中的目標函數(shù)的值，計算積分時通過按照均勻分布隨機生成105個隨機的逆形狀參數(shù)的值取其相對均方根誤差的平均值實現(xiàn)。其中樣本數(shù)分別取做N=1000, 3000, 5000, 10000，下分位點位置α在區(qū)間[0.1,0.6]上均勻取值，其間隔為0.01，上分位點位置β在區(qū)間[α+0.1,0.99]上均勻取值，取值間隔為0.01。如圖1所示，本文畫出了4個樣本數(shù)情況下目標函數(shù)的等值線圖。在每條等值線上，總體的逆形狀參數(shù)估計相對均方根誤差是相等的。圖中紫色曲線由每個β值下總體相對均方根誤差達到最小的α的最優(yōu)分位點位置(α,β)構(gòu)成?？梢钥吹剑涸贜很大時，式(9)中逆形狀參數(shù)估計的相對均方根誤差與N無關(guān)。為了獲得最優(yōu)參數(shù)設置的經(jīng)驗公式，本文通過二次函數(shù)擬合最優(yōu)參數(shù)設置中α和β的關(guān)系，得到了經(jīng)驗公式

擬合曲線在圖中用黑色曲線表示，可以看到擬合曲線和紫色曲線很好吻合。

可以發(fā)現(xiàn)，從圖1中的經(jīng)驗公式的曲線正好是綜合相對均方根誤差的等值線與β=常數(shù)的垂直線的共切點組成的曲線。由于所有等值線都是凸曲線，因此經(jīng)驗公式曲線上的每個點都意味著：選擇的分位點位置是所有具有相同綜合相對均方根誤差的位置配置中具有最小β值的配置。而小的β值意味著逆形狀參數(shù)估計對異常樣本更穩(wěn)健。換句話說，就是分位點最優(yōu)位置選擇就是在估計性能固定的情況下選擇對異常樣本最穩(wěn)健的配置，這能夠從優(yōu)化問題式(9)的對偶規(guī)劃得到合理性解釋。下面研究當逆形狀參數(shù)估計得到情況下尺度參數(shù)估計性能的優(yōu)化問題。不同于BiP估計中，尺度參數(shù)從下樣本分位點和估計的逆形狀參數(shù)進行估計，本文選擇第3個樣本分位點估計尺度參數(shù)。按照式(6)，當逆形狀參數(shù)已知時，尺度參數(shù)的平方根正比于第3個分位點的值。按照樣本分位點的漸進公式，當尺度參數(shù)的平方根從第3個位置在γ的樣本分位點進行估計時，估計是漸進高斯的，即

圖1 實驗選取最佳分位點組合

按照式(11)夠大時，尺度參數(shù)的估計性能由正態(tài)分布的變差系數(shù)(CV)決定

于是，第3個分位點的最優(yōu)位置就是給定逆形狀參數(shù)時函數(shù)h(υ,γ)的最小值點，即

可以證明式(15)中的函數(shù)γ(υ)滿足

按照式(16)函數(shù)在兩個極端情況下的情況以及圖2中數(shù)值計算得到的曲線式(15)的圖像，本文用下面形式的指數(shù)函數(shù)擬合曲線

通過最小二乘擬合得到參數(shù)a=0.06923,ρ1=0.4824,ρ2=0.03648?？梢钥吹剑簣D2中的擬合曲線和從式(16)的數(shù)值計算得到的曲線擬合得很好。此外，由于第3分位點的位置γ(υ)≤0.797是遠離1的，尺度參數(shù)的估計對異常樣本是穩(wěn)健的。

圖2 第3分位點相對誤差等高線圖

按照式(7)、式(10)和式(17)，從一組含有異常樣本的數(shù)據(jù)中估計IG-CG幅度分布的參數(shù)時，首先按照數(shù)據(jù)中最大可能的異常樣本百分比，確定上分位點的位置β，然后按照式(10)確定下分位點位置α。形狀按照式(7)的BiP估計方法進行估計，最后尺度參數(shù)從式(17)確定的第3分位點位置進行估計，即

4 實驗結(jié)果與性能比較

本節(jié)通過仿真和實測數(shù)據(jù)檢驗三分位點估計方法的性能并與已有的估計方法進行比較。主要比較方法是兩個參數(shù)的RRMSE和數(shù)據(jù)的CDF和CDF之間的K-S距離，它定義為

其中，F(xiàn)E(r)是從數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗幅度累積分布，F(xiàn)(r;μ?,υ?)是估計參數(shù)得到的擬合分布。

4.1 仿真數(shù)據(jù)實驗與性能比較

仿真實驗中，海雜波數(shù)據(jù)中添加2%的異常樣本，異常樣本的功率是海雜波功率的[20,400]倍并且按照均勻分布隨機生成。參數(shù)估計的樣本數(shù)設置為N=5000，逆形狀參數(shù)取值0.1～15，間隔為0.1均勻取值，雜波數(shù)據(jù)的尺度參數(shù)固定為1。本文使用1-2階矩估計方法(1-2 order Method Of Moment, MOM12)[2]，2-4階矩估計方法(2-4 order Method Of Moment, MOM24)[1], IML估計方法[12],具有α=0.5，β=0.95的BiP估計方法[12]，和提出的三分位點估計方法到仿真數(shù)據(jù)上。為保持相同的穩(wěn)健性，三分位點估計方法上分位點位置β=0.95，下分位點位置和第3分位點位置按照式(10)和式(17)設置。存在異常樣本的情況下，5個估計方法得到的逆形狀參數(shù)、尺度參數(shù)的相對均方根誤差和數(shù)據(jù)經(jīng)驗CDF和擬合CDF的平均K-S距離如圖3所示。這里K-S距離對比橫坐標為0.1～5的逆形參范圍。由于MOM12，MOM24和IML估計對于異常樣本非常敏感，2%高功率異常樣本的存在使得參數(shù)估計性能急劇變差。這3個估計方法的相對均方根誤差、平均K-S距離與兩個基于分位點的對異常樣本穩(wěn)健的估計方法相比就不在一個數(shù)量級上。為了演示這種性能差異，在3個子圖的右下角通過小圖顯示了兩類估計方法在性能上的巨大差異。從圖3可以看出：當異常樣本存在的條件下，基于樣本分位點的估計方法性能良好，這類方法對異常樣本的穩(wěn)健性源于樣本分位點或序貫統(tǒng)計量對異常樣本的穩(wěn)健性[14]。相對于采用固定分位點位置的BiP估計方法[12]，提出的具有分位點位置優(yōu)化的三分位點估計方法獲得了較為明顯的性能改善。

圖3 有異常樣本條件下5種估計方法逆形狀參數(shù)的估計性能對比

4.2 實測數(shù)據(jù)性能比較實驗

在實測數(shù)據(jù)實驗中選取了IPIX數(shù)據(jù)集[15]和CSIR數(shù)據(jù)庫[16]各一組X波段高分辨率海雜波數(shù)據(jù)。其中IPIX數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)文件名為“19980223_184853_ANTSTEP”。

數(shù)據(jù)的距離分辨率3 m，HH極化模式，脈沖重復頻率1000 Hz，數(shù)據(jù)使用了27個相鄰距離門在9-34 s內(nèi)的雷達回波。數(shù)據(jù)中配試目標是位于第21距離門的漂浮小船，平均信雜比22.4 dB。區(qū)域A為雜波參考(其用IML估計方法估計的參數(shù)作為真值)，區(qū)域B為純雜波數(shù)據(jù)區(qū)域，區(qū)域C包含了2%的異常樣本。區(qū)域A, B, C的海雜波數(shù)據(jù)的參數(shù)估計樣本數(shù)分別為5000, 5600, 2857。由圖4和表1觀察可知，純雜波區(qū)域B內(nèi)，IML估計誤差最小且5種估計誤差區(qū)分差別不大，意味著沒有異常樣本情況下，5種估計方法的性能都是可以接受的。而在含異常樣本的區(qū)域C內(nèi)，傳統(tǒng)的IML, MOM24和MOM12估計方法由于對異常樣本敏感，估計值嚴重偏離真值，而提出的三分位點估計相比于BiP估計方法估計性能受影響更小并達到了最好的估計性能。

圖4 IPIX數(shù)據(jù)庫一組HH極化數(shù)據(jù)上5種參數(shù)估計方法的性能比較

表1 IPIX實測數(shù)據(jù)(19980223_184853_ANTSTEP)的估計結(jié)果

為了更全面地考察估計方法，另選了南非CSIR數(shù)據(jù)庫[16]的一組X-波段數(shù)據(jù)進行實驗。

實驗結(jié)果如圖5所示，對應的參數(shù)估計性能結(jié)果如表2所示。圖5(a)為實測數(shù)據(jù)幅度圖，該數(shù)據(jù)距離分辨率為15 m，數(shù)據(jù)的極化方式為VV，數(shù)據(jù)中配試小船的平均信雜比為19.3 dB，其雷達回波可作為異常樣本檢驗估計方法的穩(wěn)健性。其中A,B, C區(qū)域各包含4600, 6000, 5201個樣本，C區(qū)域含約2%的異常樣本。由圖5和表2觀察可知，在純雜波區(qū)域B內(nèi)，IML估計誤差最小且5種估計方法的性能差異不大。而在含異常樣本的區(qū)域C內(nèi)，傳統(tǒng)的IML, MOM24和MOM12估計方法性能急劇下降，提出的三分位點估計在估計穩(wěn)健性上要優(yōu)于BiP估計方法并明顯好于傳統(tǒng)估計方法。

表2 南非CSIR實測數(shù)據(jù)(TFA10_001.01)的估計結(jié)果

圖5 CSIR數(shù)據(jù)庫一組VV極化數(shù)據(jù)上5種參數(shù)估計方法的性能比較

文獻[12]中IML方法在純海雜波下性能最好，但其易受異常樣本影響。而BiP估計方法屬穩(wěn)健估計方法，但分位點位置的選擇沒有優(yōu)化，遭受了一些性能損失。提出的方法通過前兩個分位點位置的優(yōu)化改善逆形參的估計性能，通過第三分位點位置的優(yōu)化改進尺度參數(shù)的性能。實測數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果表明：兩個參數(shù)的估計性能都得到了改善。

5 結(jié)束語

海用雷達目標檢測面臨著復雜的海洋環(huán)境，海雜波建模和參數(shù)估計是有效目標檢測的基礎(chǔ)。由于不可避免的目標、島礁等雷達強回波對海雜波模型參數(shù)估計性能產(chǎn)生了嚴重的影響。本文提出了針對異常樣本存在情況下的海雜波IG-CG模型穩(wěn)健的三分位點估計方法。該方法通過數(shù)值計算和曲線擬合優(yōu)化分位點位置提高參數(shù)估計精度?；诜抡鏀?shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果表明提出的估計方法在存在異常樣本的條件下達到更好的參數(shù)估計性能。