寧曉燕 宋禹良 孫志國 孫晶晶

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院 哈爾濱 150001)

1 引言

隨著通信技術的不斷發(fā)展，信息的傳輸需要更高的速率來滿足我們的日常需求，正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)在4G和5G通信中發(fā)揮著重要作用[1]。然而，在自由空間無線傳輸過程中，信號傳輸會受到各種干擾的影響，如多徑效應、多普勒頻移等。OFDM的子載波是余弦信號，對多普勒頻移非常敏感，當信道為雙選信道時，其性能將受到嚴重影響。

Chirp信號的自相關函數(shù)有著良好的時間分辨率，對多普勒頻移不敏感，具有脈沖壓縮和擴頻特性，在雷達和通信系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用[2]。結合OFDM的抗干擾特性和Chirp信號的抗多普勒特性，提出了OFDM-Chirp系統(tǒng)[3]，但它占用了大量的帶寬資源，因此沒有得到廣泛的應用。

最近，正交Chirp復用(Orthogonal Chirp Division Multiplexing, OCDM)的概念被提出[4]，基于菲涅爾變換的OCDM可以實現(xiàn)Chirp擴頻(Chirp Spread Spectrum, CSS)的最大頻譜效率，并通過在同一帶寬內對多個Chirp波形進行正交復用來實現(xiàn)最大的通信效率。OCDM信號可以有效地利用多徑分集，表現(xiàn)出比OFDM信號更強的抗衰落能力，提高通信數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃訹5]。OCDM系統(tǒng)已應用于光通信和水聲通信[6,7]，現(xiàn)有的研究主要集中在頻率選擇性衰落信道中。文獻[4]提出了一種抵消相位的MMSE均衡算法，作為OCDM系統(tǒng)線性MMSE均衡的基礎。文獻[8]提出了基于基擴展模型(Basis Expansion Models, BEM)的近似帶狀矩陣MMSE頻域均衡算法，并且介紹了一種時域LSQR(Least Square QR)算法。

在高速移動場景下，由于多普勒效應的影響，可以對均衡算法做進一步的改進。文獻[8]介紹了一種適用于求解大型稀疏矩陣的時域LSQR算法，但其忽略了噪聲的影響，而實際系統(tǒng)中的噪聲是必須考慮的因素，需要對其進行修正，本文提出一種基于近似帶狀矩陣的阻尼LSQR(Band Damped-LSQR, BD-LSQR)算法進行均衡。為了緩解時變信道中的載波間干擾(Inter Carrier Interference,ICI)，本文在近似帶狀矩陣[9]的基礎之上，結合判決反饋均衡，通過LSQR算法進行迭代計算，并借助LDLH分解簡化運算，提出一種LSQR-BDFE算法，這是該算法在OCDM系統(tǒng)中的首次應用。仿真結果表明，雙選信道下，OCDM系統(tǒng)比OFDM系統(tǒng)有著更好的BER性能，所提出的LSQR-BDFE算法和BD-LSQR算法，比MMSE均衡算法有著性能優(yōu)勢。

2 系統(tǒng)模型

OFDM的核心是傅里葉變換，快速傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)過程取代了N個獨立的載波源，降低了OFDM系統(tǒng)實現(xiàn)的復雜性。OCDM的核心是菲涅爾變換，它用離散菲涅爾逆變換(Inverse Discrete Fresnel Transform,IDFnT)代替IFFT過程，這使得在不同的系統(tǒng)中有著不同的子載波。在OFDM系統(tǒng)中，子載波是余弦信號，而在OCDM系統(tǒng)中，子載波是Chirp信號。

2.1 OCDM原理

OCDM利用菲涅爾變換形成一組正交的線性Chirp信號，將通信信息加載到該組Chirp信號的幅度和相位中。在相同帶寬上，多個Chirp波形之間正交復用，形成一串在時間和頻譜上重疊的Chirp信號，如圖1所示。

圖1 數(shù)字實現(xiàn)的OCDM信號

Chirp信號的頻率是線性的，相位隨時間呈2次變化

x(l)是 第l個子載波上的符號，與菲涅爾變換獲得的Chirp信號組合，表示OCDM信號。

OCDM信號通過離散菲涅爾變換實現(xiàn)，離散OCDM信號可以表示為

其中，ΦH是 IDFnT矩陣，x是調制符號，接收機可以通過DFnT恢復符號。

2.2 OCDM系統(tǒng)結構

在下面的推導過程中，N取偶數(shù)。根據(jù)式(2)，DFnT矩陣有式(7)形式

經(jīng)典的DFT矩陣的表達式為

通過以上分析，結合OFDM系統(tǒng)結構，OCDM系統(tǒng)基帶結構圖如圖2所示。

圖2 OCDM系統(tǒng)基帶結構圖

在發(fā)射端，輸入數(shù)據(jù)由串行轉換為并行，并映射成通信符號。然后，將并行通信符號通過IDFnT矩陣，得到OCDM符號。添加循環(huán)前綴(Cyclic Prefix, CP)后，通過并行/串行轉換將其傳輸至信道進行傳輸。在接收端，通過串行/并行變換，去除CP，通過DFnT矩陣恢復通信符號。最后，經(jīng)過均衡、解映射和并行/串行轉換，得到最終數(shù)據(jù)。通過和OFDM系統(tǒng)的比較，發(fā)現(xiàn)這兩種系統(tǒng)的結構框架基本相似，主要區(qū)別在于符號調制方式。

傳統(tǒng)的多載波技術，在頻率選擇性衰落信道中，可以通過簡單的增益和相位的調整，對每個獨立子信道中的失真進行補償[11]。然而，在快衰落信道中，傳統(tǒng)的傅里葉變換方法不適用，由于信道頻率響應快且時變，許多傳統(tǒng)的多載波系統(tǒng)失去了最佳性。因此，我們選擇Chirp型正交信號作為基函數(shù)，其分析和合成方法可以與傳統(tǒng)傅里葉變換復雜度相同。

2.3 信道模型

在這篇文章中，以時域循環(huán)矩陣H來描述信道模型。假設調制后的發(fā)送信號為s(n)，經(jīng)過時變信道后的接收信號為y(n)，它們之間有式(9)關系：

其中

3 OCDM均衡算法

如2.2節(jié)所述，OCDM系統(tǒng)和OFDM系統(tǒng)有著相似的結構框架。因此，OFDM系統(tǒng)的常用的均衡方法，經(jīng)過適當?shù)母倪M之后可以用于OCDM系統(tǒng)之中，這一部分重點介紹應用于OCDM系統(tǒng)中的均衡算法。首先，介紹抵消相位的MMSE均衡算法(Minimum Mean Square Error-Offset Phase,MMSE-OP)，記作方法A。經(jīng)過修正后的BDLSQR算法，記作方法B。在近似帶狀矩陣的基礎之上，結合判決反饋均衡，提出了LSQR-BDFE算法，記作方法C，并給出結構圖和詳細的公式推導過程。

3.1 MMSE-OP算法

DFnT矩陣具有特征分解的特性，均衡過程可以對其進行相位抵消來降低復雜度。文獻[4]中，使用了MMSE-OP算法，在頻率選擇性衰落信道中，這種方法十分簡便。

根據(jù)式(5)和式(11)，接收端為

G表示均衡器，采用MMSE均衡時，GMMSE(k)=Λ?(k)/|Λ(k)|2+ρ?1，ρ是SNR。

在雙選信道下，頻域信道矩陣不再對角，而是一個滿元素的矩陣。此時，MMSE-OP算法的求逆過程變得十分復雜，為了降低復雜度，我們只考慮對角矩陣來進行頻域均衡。

3.2 Band Damped-LSQR算法

多普勒頻移對于信道的頻率響應大部分集中在對角以及其附近，將信道的頻域矩陣近似為帶寬為Q的帶狀矩陣，Q表示由ICI導致的符號能量泄露寬度。LSQR算法是一種適合求解大型稀疏矩陣的最小二乘迭代方法，具有很大的優(yōu)勢，阻尼LSQR算法是考慮到實際系統(tǒng)中的噪聲因素，對其進行的修正。結合以上兩點，提出一種基于近似帶狀矩陣的阻尼LSQR算法，下面對BD-LSQR算法的實現(xiàn)過程進行推導。

首先，近似帶狀矩陣可以看作圖3所示[14]。帶狀近似處理后的信道矩陣為

圖3 近似帶狀矩陣圖

接下來，對LSQR算法的實現(xiàn)過程進行簡單介紹，如式(12)所示，忽略噪聲的影響，接收機和發(fā)射機之間可以形成一個線性系統(tǒng)。

迭代之后，實現(xiàn)最小殘差的模為//Hsk ?r//2。當?shù)蟮妮敵鼋Y果滿足最小殘差時，求解過程完成。否則，重置容差大小和迭代次數(shù)，將其輸入式(17)中進行求解運算。

阻尼LSQR算法考慮到實際系統(tǒng)中的噪聲因素，其接收機和發(fā)射機之間的關系和式(12)一致，MMSE均衡算法可以表示為

式(18)描述的是修正后的阻尼LSQR算法，構造出矩陣H′和向量r′

其中，參數(shù)σ2和 噪聲n功率有關，信號功率為1時，等效為ρ?1，σ=0時，阻尼LSQR算法可以退化為LSQR算法。當進行頻域均衡時，H可以進行帶狀矩陣近似，用Bc替換。

3.3 LSQR-BDFE算法

在方法B中，我們提出了BD-LSQR的均衡算法。在雙選信道下，由于其帶狀矩陣的近似特性，表現(xiàn)出優(yōu)于方法A的性能。為了進一步緩解快速時變信道中的ICI，在近似帶狀矩陣的基礎上，結合判決反饋均衡，通過LSQR算法進行迭代計算，提出LSQR-BDFE算法。文獻[17]中，提出了應用于OFDM系統(tǒng)中的LSQR-BDFE算法，它將LSQR算法與MMSE-DFE相結合，獲得更好的性能。我們首次提出將LSQR-BDFE算法應用于OCDM系統(tǒng)中，下面給出該算法的推導過程。

關于近似帶狀矩陣的過程和LSQR算法的基本原理，在3.2節(jié)已經(jīng)做了詳細的推導和說明，這里不贅述。對OCDM系統(tǒng)中LSQR-BDFE均衡過程進行推導，BDFE的實現(xiàn)過程如下，其結構框圖見圖4。

圖4 BDFE結構圖

這種方法通過構造前饋濾波FF和反饋濾波器FB，使得誤差e有式(20)形式：對式(24)進行LSQR求解運算，得到經(jīng)過前饋濾波器FF的輸出結果。

接下來進行判決反饋，需要注意的是，在判決反饋過程中，F(xiàn)B為嚴格的上三角矩陣，x?F是數(shù)據(jù)估計值。假設數(shù)據(jù)估計的結果x?F都是正確的，判決的順序從第N個子載波到第1個子載波，將數(shù)據(jù)估計的x?F經(jīng) 過反饋濾波器FB，最后一列上進行加權計算，在y中將反饋后的結果減去，這樣第N個子載波對其他子載波產(chǎn)生的ICI可以去除。接下來對第N?1個子載波上的數(shù)據(jù)進行檢測，重復上述過程，最終得到所有子載波的反饋結果后輸出。

4 性能分析

4.1 復雜度分析

對第3節(jié)所述3種均衡算法的復雜度進行簡要分析。

方法A的MMSE-OP算法，DFnT是由DFT矩陣附加2個相位變化得到的，復雜度為N2，抵消相位避免了DFnT運算過程。單抽頭MMSE均衡的復雜度為N[18]，F(xiàn)FT和IFFT的復雜度為Nlog2N，均衡過程需要1次FFT和IFFT運算，總復雜度為N+2Nlog2N。

方法B的BD-LSQR算法，近似帶狀矩陣過程的復雜度與帶寬Q有關[19]。Damped-LSQR算法的復雜度與子載波個數(shù)N和迭代次數(shù)i有關[20]，其中i

從表1可以看出，3種均衡算法的復雜度與N均為線性關系，具有低復雜度的特性。

表1 3種均衡算法的計算復雜度

4.2 BER性能曲線

在OCDM系統(tǒng)中，考慮子載波個數(shù)N=128，采用QAM映射，每個OCDM符號攜帶256 bit信息。多徑衰落信道的參數(shù)為時延delay=[0 3 15 3137 51 71 73 109] ns，相對功率pdb=[0 –1.5 –1.4–3.6 –0.6 –9.1 –7.0 –12.0 –16.9] dB，此模型為EVA信道模型。

在多徑信道下，頻域信道矩陣為對角矩陣，近似帶狀矩陣和頻域矩陣相同，此時3種均衡方法的BER性能基本一致。由于OCDM信號可以有效地利用多徑分集，表現(xiàn)出比OFDM信號更強的抗衰落能力[5]，如圖5所示。

圖5 多徑信道下OCDM系統(tǒng)和OFDM系統(tǒng)BER曲線圖

在高速移動的場景下，以歸一化頻移fd=0.08加入，3種均衡算法的BER曲線如圖6所示。隨著信噪比的提高，在OFDM系統(tǒng)中，單抽頭MMSE均衡算法和LSQR算法會出現(xiàn)誤差下限[17]。取帶狀近似矩陣Q=4，LSQR-BDFE算法中迭代次數(shù)i=20?？梢钥闯?，在OCDM系統(tǒng)中，方法B和方法C相比方法A，有著更好的性能。

圖6 雙選信道下OCDM系統(tǒng)和OFDM系統(tǒng)BER曲線圖(f d =0.08)

圖7為歸一化頻移fd=0.16時，OCDM系統(tǒng)中3種不同均衡算法的BER曲線。當信道的時變衰落增加時，方法A的性能變差，取帶狀近似矩陣Q=2和Q=4，和不做近似的信道矩陣3種情況作比較，迭代次數(shù)i=20。可以看出，方法B和方法C相比于方法A來說，具有一定的性能優(yōu)勢。隨著Q值增大，對于信道信息的還原也更準確，BER性能提升。

圖7 雙選信道下OCDM系統(tǒng)BER曲線圖(f d =0.16)

最后，比較LSQR算法的不同迭代次數(shù)對于BER性能的影響，以方法C的LSQR-BDFE算法為例，取帶狀近似矩陣Q=4，迭代次數(shù)分別為5,10和20次，如圖8所示。當i=5時，方法C的BER性能不如方法A，此時LSQR算法的迭代次數(shù)較少，不滿足求解的最小殘差值，因而誤差較大；隨著迭代次數(shù)i的增加，其性能有著明顯的提升。

圖8 不同迭代次數(shù)下的BER曲線圖

5 結束語

本文以OCDM系統(tǒng)為框架，重點研究了OCDM系統(tǒng)的低復雜度均衡算法。針對雙選信道下，傳統(tǒng)MMSE均衡算法性能下降的現(xiàn)象，提出帶狀阻尼LSQR算法。為了緩解時變信道中的ICI，提出LSQR-BDFE算法，并給出兩種算法的公式推導過程。最終，通過復雜度分析和BER性能曲線，驗證了所提出的帶狀阻尼LSQR算法和LSQR-BDFE算法，相比于現(xiàn)有的MMSE均衡算法的性能優(yōu)勢。基于菲涅爾變換的OCDM系統(tǒng)，和OFDM系統(tǒng)相比，有著更強的抗衰落能力，因此OCDM系統(tǒng)具有廣泛的應用前景和價值。