殷怡韜，黃浩哲，馬錦濤，呂一笑，王昊彬

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)，北京 100083）

一、預(yù)備知識(shí)

（一）分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)的定義[1]

設(shè)（Ω,F,P）為一個(gè)完備的概率空間，Hurst參數(shù)為H（0＜H＜1）的分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)的高斯過程{BH(t),t≥0}={BH(t,ω);t∈R+,ω∈Ω}滿足：

(1)BH(0)=E[BH(t)]=0對(duì) ?t∈R+成立；

（二）長(zhǎng)程相關(guān)性和均值回復(fù)性

說明未來的增量與過去的狀態(tài)相互獨(dú)立，此時(shí)分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)等同于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)通項(xiàng)取絕對(duì)值后，雖然可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)，但是用一般的判別法不易判斷，為了解決這個(gè)問題，引入如下引理：

令f '(u)=0，可得駐點(diǎn)u=0。由于α∈（0,1），則a-1＜0。

因此f(u)≥f(1)=0，當(dāng)且僅當(dāng)u=1時(shí)等號(hào)成立，則f(u)＜0對(duì)?u＞0且u≠1恒成立，原命題得證。

二、期權(quán)定價(jià)模型

(一)模型假設(shè)

設(shè)（Ω，F(xiàn),Ft，P）是一個(gè)具有流σ-的概率空間，BH(t)是分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)t是BH(t)產(chǎn)生的σ-代數(shù)流?，F(xiàn)在考慮某有效金融市場(chǎng)，滿足下列條件：

1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)，即

其中，S(t)表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，μ,σ均為常數(shù)，BH(t)表示Hrust指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)；2）沒有交易費(fèi)用和稅收；3）不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；4）利率r恒為固定常數(shù)；5）交易是連續(xù)的。

（二）分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)下歐式看漲期權(quán)價(jià)格公式

如果投資者對(duì)金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)無喜惡，那么期權(quán)的預(yù)期收益率就可以被視為無風(fēng)險(xiǎn)利率。則在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，服從幾何分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)的標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S(t)滿足下列隨機(jī)微分方程：

其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，波動(dòng)率σ為固定常數(shù)。進(jìn)一步，可以得到標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S(t)的解為

考慮一份標(biāo)的資產(chǎn)t時(shí)刻價(jià)格為S，執(zhí)行價(jià)為X，到期日為T的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，由參考文獻(xiàn)[2]可知期權(quán)的公平價(jià)格為

三、實(shí)證分析

本文主要研究在分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)情形下滬深300指數(shù)期權(quán)的定價(jià)問題，首先對(duì)滬深300指數(shù)對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，然后假設(shè)滬深300指數(shù)收盤價(jià)格服從幾何分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)，利用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)Hurst指數(shù)H，最后給出分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)下的滬深300指數(shù)期權(quán)的定價(jià)。

（一）正態(tài)性檢驗(yàn)

選取從2019年8月22日到2021年5月7日的416個(gè)滬深300指數(shù)的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，然后轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)收益率，并對(duì)對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)（其中對(duì)數(shù)收益率，而Pt表示t時(shí)刻的滬深300指數(shù)收盤價(jià)），可以得到如下結(jié)果（圖1）：

圖1 對(duì)數(shù)收益率直方圖與正態(tài)分布曲線

正態(tài)性檢驗(yàn)的相關(guān)參數(shù)如表1所示

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果，知滬深300的對(duì)數(shù)收益率的直方圖與正態(tài)分布曲線并沒有很好的擬合尖峰的特點(diǎn)非常突出；此外，由相關(guān)參數(shù)知滬深300的對(duì)數(shù)收益率是左偏的且峰度系數(shù)高達(dá)7.694480，明顯大于3；J-B統(tǒng)計(jì)量的值也相當(dāng)大，p值亦小于0.05；可以充分地拒絕原假設(shè)。綜上分析，滬深300的對(duì)數(shù)收益率并不服從正態(tài)分布。

（二）參數(shù)估計(jì)

由3.1部分的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)可知滬深300指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率并不服從正態(tài)分布，因此本文嘗試用分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)刻畫滬深300指數(shù)，即假設(shè)滬深300指數(shù)收盤價(jià)滿足（2）式。下面利用重極差方法估計(jì)參數(shù)H。

1. 用重標(biāo)極差（R/S）分析法[3]估計(jì)Hurst指數(shù)H。重標(biāo)極差分析法是英國(guó)水文學(xué)家Hurst提出來的，是估計(jì)參數(shù)H的一種非常有效的方法，下面是R/S分析法的基本步驟。

輸入長(zhǎng)度為M的滬深300指數(shù)收盤價(jià)序列，并將其取對(duì)數(shù)做差分，變成長(zhǎng)度為N=M-1的對(duì)數(shù)差分序列：

2. 將長(zhǎng)度為N的對(duì)數(shù)收益率序列等分為A個(gè)小組，則每組有個(gè)數(shù)據(jù)，記這A個(gè)小組分別為Y1,Y2,,YA，且每個(gè)小組中的數(shù)據(jù)分別記為Xka（k=1,2， ，n,a=1,2,,A）。

5. 計(jì)算每個(gè)小組累積離差序列的極差

6. 計(jì)算每個(gè)小組的標(biāo)準(zhǔn)差

7. 計(jì)算每個(gè)小組的重標(biāo)極差

8. 將得到的組重標(biāo)極差取均值，可得每組含有?個(gè)數(shù)值情況下的重標(biāo)極差

10. 選取2020年4月29日至2020年10月29日期間的收盤價(jià)對(duì)數(shù)收益率作為數(shù)據(jù)，用R/S分析法估計(jì)Hurst參數(shù)，運(yùn)用Matlab軟件，可算出Hurst指數(shù)為0.6216。

（三）估算其他參數(shù)

本文采取與文獻(xiàn)[4]中類似的方法估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率。

1.無風(fēng)險(xiǎn)利率

滬深300指數(shù)期權(quán)交易日期間2020年Shibor的算術(shù)平均值為

2.波動(dòng)率

計(jì)算2020年4月29日至2020年10月29日的對(duì)數(shù)收益率，預(yù)計(jì)波動(dòng)率，可以用滬深300日對(duì)數(shù)收益率的樣本方差，即，其中經(jīng)計(jì)算，可得樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ= 0.0135，其年波動(dòng)率。

四、模型的比較

此處選取的是2020年12月18日到期的滬深300指數(shù)，且初始時(shí)刻為2020年10月29日，因此，該期權(quán)的剩余期限為37天（交易天數(shù)），即。

滬深300指數(shù)的行權(quán)價(jià)格滿足一定的要求，即對(duì)當(dāng)月與下2個(gè)月合約：行權(quán)價(jià)格≤2500點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為25點(diǎn)；2500點(diǎn)＜行權(quán)價(jià)格≤5000點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為50點(diǎn)；5000點(diǎn)＜行權(quán)價(jià)格≤10000點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為100點(diǎn)；行權(quán)價(jià)格＞10000點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為200點(diǎn)；對(duì)隨后3個(gè)季月合約：行權(quán)價(jià)格≤2500點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為50點(diǎn)；2500點(diǎn)＜行權(quán)價(jià)格≤5000點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為100點(diǎn)；5000點(diǎn)＜行權(quán)價(jià)格≤10000點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為200點(diǎn)；行權(quán)價(jià)格＞10000點(diǎn)時(shí)，行權(quán)價(jià)格間距為400點(diǎn)。

選取的期權(quán)交易是從10月29日到12月18日，以10月29日的收盤價(jià)為標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格、到期日的執(zhí)行價(jià)格為4000，利率r，波動(dòng)率σ，Hurst指數(shù)H分別為上文估計(jì)出的參數(shù)，可以計(jì)算出基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)公式與經(jīng)典B-S公式的期權(quán)價(jià)格分別為785.93和787.46，顯然兩者的差異不太大，經(jīng)典B-S公式的結(jié)果略微偏高。

為進(jìn)一步比較，我們做整體分析，不妨設(shè)行權(quán)價(jià)格位于區(qū)間[2500，5000]，比較在該條件下兩種模型下期權(quán)定價(jià)的情況，可繪制各個(gè)行權(quán)價(jià)格下對(duì)應(yīng)的兩種模型的期權(quán)價(jià)格（圖2）。

圖2 兩種模型下期權(quán)理論價(jià)格比較圖

可以看出，對(duì)于滬深300指數(shù)期權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的期權(quán)價(jià)格和經(jīng)典B-S期權(quán)價(jià)格在大部分行權(quán)價(jià)格范圍內(nèi)是比較接近的，除了小部分執(zhí)行價(jià)格下存在小值波動(dòng)。

表2 Delta的統(tǒng)計(jì)量

由上述數(shù)值不難發(fā)現(xiàn)，兩者的近似程度是比較高的，這一方面說明經(jīng)典B-S模型確實(shí)有可取之處，并有較高的參考價(jià)格，另一方面也說明模型總是或多或少地會(huì)存在偏差，下面通過改變參數(shù)σ和H比較兩種模型。σ對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，在H=0.6216的條件下，通過改變?chǔ)业闹?，發(fā)現(xiàn)σ值越大，Delta總和越大；σ很小的時(shí)候，分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)價(jià)格比較貼近經(jīng)典B-S模型下的期權(quán)價(jià)格，而σ值很大時(shí)，二者差距也越來越明顯（圖3）。

圖3 模型結(jié)果偏差變化圖

H對(duì)分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)模型下期權(quán)定價(jià)的影響，在σ=0.21條件下，且行權(quán)價(jià)為5000，H越大，期權(quán)價(jià)格越小，所以H=0.5時(shí)的期權(quán)價(jià)格（經(jīng)典B-S模型下的期權(quán)價(jià)格）比H＞0.5時(shí)的期權(quán)價(jià)格大，兩種模型下期權(quán)理論價(jià)格的偏差隨H增大而增大（圖4）。

圖4 Hurst指數(shù)對(duì)期權(quán)定價(jià)影響圖

綜上分析，可知經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)會(huì)隨著執(zhí)行價(jià)格和波動(dòng)率的增加而與分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)模型下的期權(quán)定價(jià)產(chǎn)生明顯差異. 說明在波動(dòng)率和執(zhí)行價(jià)格較小時(shí)，在一個(gè)合理的誤差范圍內(nèi)運(yùn)用經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)公式仍然是可行的。在波動(dòng)率和執(zhí)行價(jià)格較大時(shí)，運(yùn)用B-S期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行定價(jià)會(huì)與真實(shí)值產(chǎn)生明顯差異，此種情況應(yīng)該運(yùn)用其他合理模型進(jìn)行估計(jì)。