徐俊東，殷躍紅

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

0 前言

光學(xué)系統(tǒng)中非球面元件運(yùn)用普遍，非球面元件的面形精度要求也逐步提高。面形精度是機(jī)床幾何誤差、熱變形誤差、刀具磨損誤差和控制誤差等因素共同產(chǎn)生的。為提高面形精度，通常建立機(jī)床綜合誤差模型，進(jìn)而辨識(shí)各項(xiàng)誤差元素并進(jìn)行修正補(bǔ)償。

針對(duì)機(jī)床綜合誤差，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者已研究較長(zhǎng)時(shí)間。ROSA等[1]基于小角度誤差假設(shè)以及剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，提出三軸機(jī)床的二次型面形誤差模型。KIRIDENA和FERREIRA[2]基于機(jī)構(gòu)學(xué)原理建立五軸機(jī)床的空間誤差模型，從而將機(jī)構(gòu)學(xué)原理引入機(jī)床綜合誤差建模中。HAN、ZHOU[3]利用傅里葉變換原理，建立旋轉(zhuǎn)軸的幾何位置誤差模型。K KIM、M K KIM等[4]基于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，建立三軸磨床的誤差精度預(yù)測(cè)模型。RAHMAN等[5]建立了準(zhǔn)靜態(tài)或靜態(tài)綜合誤差模型，包括力變形誤差以及幾何誤差等多種誤差。楊建國(guó)[6]基于齊次坐標(biāo)變換，建立車削加工熱誤差模型和幾何誤差模型。朱紹維[7]建立五軸數(shù)控銑床的面形誤差模型，預(yù)測(cè)加工精度并建立補(bǔ)償模型。尹韶輝等[8]研究刀具磨損誤差和工件面形誤差，建立補(bǔ)償模型。羅松保、張建明[9]建立大深度、小口徑的內(nèi)凹型磨削誤差模型，研究刀具安裝誤差對(duì)非球面磨削面形精度的影響。郭隱彪等[10]對(duì)非球面的平行磨削過(guò)程進(jìn)行研究，建立誤差模型并離線補(bǔ)償主軸半徑，提高面形精度。文獻(xiàn)[11-14]介紹了機(jī)床幾何誤差的建模、測(cè)量、辨識(shí)和靈敏度分析方法，并提出多種補(bǔ)償方法改善機(jī)床精度。胡搖等人[15]借鑒部分干涉原理，提出非球面誤差測(cè)量的一種新方式。劉海濤等[16]研究大口徑非球面加工誤差，證實(shí)圓角砂輪在加工精度上更有優(yōu)勢(shì)。

針對(duì)大口徑非球面工件加工誤差的建模與補(bǔ)償，國(guó)內(nèi)外研究成果已相對(duì)成熟。本文作者針對(duì)小口徑非球面工件，基于課題組自研的超精密磨床，采用X軸、Z軸、B軸三軸聯(lián)動(dòng)的斜軸磨削方式加工?；诙囿w系統(tǒng)理論，運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換原理，建立綜合誤差模型。將綜合誤差集中轉(zhuǎn)換為對(duì)刀誤差和輪廓半徑磨損誤差，分別推導(dǎo)其傳遞函數(shù)、辨識(shí)誤差并建立補(bǔ)償模型，修正補(bǔ)償誤差以提高面形精度。

1 非球面超精密磨削綜合誤差模型

1.1 超精密磨床結(jié)構(gòu)

本文作者基于多體系統(tǒng)理論，運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換原理，建立非球面超精密磨削的綜合誤差模型。

圖1為超精密磨床的結(jié)構(gòu)示意和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，表1為磨床各部件間存在的自由度。磨床存在兩條加工運(yùn)動(dòng)鏈：刀具側(cè)運(yùn)動(dòng)鏈為“床身0→Z軸5→B軸6→主軸7→砂輪8”；工件側(cè)運(yùn)動(dòng)鏈為“床身0→X軸1→Y軸2→C軸3→工件4”。

圖1 超精密磨床結(jié)構(gòu)示意(a)及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(b)

表1 各部件之間的自由度

磨削過(guò)程中，工件繞C軸旋轉(zhuǎn)，砂輪繞主軸旋轉(zhuǎn)的同時(shí)沿非球面母線由內(nèi)向外運(yùn)動(dòng)。通過(guò)X、Z、B三軸聯(lián)動(dòng)，使得加工過(guò)程中砂輪軸線和磨削點(diǎn)法向量始終保持45°夾角，如圖2所示。

圖2 超精密磨床斜軸磨削形式

1.2 非球面超精密磨削綜合誤差建模

每個(gè)移動(dòng)軸共有6項(xiàng)誤差元素，以X軸為例，如圖3所示，分別是：1項(xiàng)定位幾何誤差δxx，2項(xiàng)直線度幾何誤差δyx、δzx和3項(xiàng)角偏幾何誤差εxx、εyx、εzx。3根移動(dòng)軸之間還存在3項(xiàng)垂直度誤差Szy、Szx、Sxy。

圖3 移動(dòng)軸(a)和旋轉(zhuǎn)軸(b)誤差元素

每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸包括6項(xiàng)誤差元素，以C軸為例，分別為3項(xiàng)位置誤差δxc、δyc、δzc,3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差εxc、εyc、εzc。此外，每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸還有2個(gè)平行度誤差αc、γc。

文中所涉及的磨床共3根移動(dòng)軸X、Y、Z軸，兩根旋轉(zhuǎn)軸B軸、C軸，誤差元素共37項(xiàng)。根據(jù)多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換原理，兩運(yùn)動(dòng)部件之間的坐標(biāo)變換矩陣可分為理想靜止特征矩陣、靜止誤差特征矩陣、理想運(yùn)動(dòng)特征矩陣和運(yùn)動(dòng)誤差特征矩陣。此外，Δα很小時(shí)，認(rèn)為cos(Δα)≈1，sin(Δα)≈0。磨床各相鄰體之間的坐標(biāo)變換矩陣見(jiàn)表2。

表2 磨床各零部件之間坐標(biāo)變換矩陣

理想情況，工件側(cè)運(yùn)動(dòng)鏈、刀具側(cè)運(yùn)動(dòng)鏈分別有式(1)、式(2)的坐標(biāo)變換：

PM=T01T12T23T34PW

(1)

PM=T05T56T67T78PT

(2)

聯(lián)立式(1)(2)可得：

PW=(T01T12T23T34)-1T05T56T67T78PT

(3)

存在誤差時(shí)，工件鏈、刀具鏈分別有式(4)、式(5)：

(4)

(5)

聯(lián)立式(4)、式(5)可得：

(6)

則任意點(diǎn)的磨削誤差矢量為

(7)

該點(diǎn)處的法向誤差近似為

(8)

式中：np為該點(diǎn)處的單位法向量；en為標(biāo)量。

測(cè)量得到的面形誤差數(shù)據(jù)不能直接用于計(jì)算，如圖4所示，需要對(duì)理想曲面進(jìn)行位置和角度變換，使得實(shí)際加工曲面與位姿變換后的理想曲面之間的法向誤差的平方和最小。加工時(shí)工件繞C軸旋轉(zhuǎn)，C軸精度較高，且與Z軸平行，因此可認(rèn)為非球面磨削的面形誤差關(guān)于C軸對(duì)稱分布，則對(duì)理想曲面進(jìn)行位姿變換近似為沿Z軸進(jìn)行平移變換，平移量為d。法向誤差準(zhǔn)則函數(shù)為

(9)

(10)

式中:(np)k為單位法向量np在Z方向分量。

圖4 理想曲面位姿變換

則任意點(diǎn)處法向誤差大小近似計(jì)算公式為

(11)

該綜合誤差模型，考慮了超精密磨床各移動(dòng)軸和旋轉(zhuǎn)軸總共37項(xiàng)誤差元素對(duì)綜合誤差的影響。

機(jī)床大部分幾何誤差元素通常在機(jī)床制造階段進(jìn)行標(biāo)定、補(bǔ)償。但是，對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差為磨削成形階段產(chǎn)生的誤差，無(wú)法預(yù)先補(bǔ)償。文中取砂輪X方向的對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差作為主要誤差來(lái)源，將其他形式引起的誤差集中轉(zhuǎn)換為對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損引起的誤差。在辨識(shí)對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差后進(jìn)行修正補(bǔ)償。X方向的對(duì)刀誤差Δx可視為磨床的相鄰體6、7之間的體間靜止誤差,砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR可視為相鄰體7、8之間的體間靜止誤差。根據(jù)式(7),計(jì)算得到誤差矢量為

(12)

式中:θ為工件任意點(diǎn)處切向量和水平方向夾角。

2 誤差辨識(shí)

2.1 誤差傳遞函數(shù)

前文提到，取砂輪X方向的對(duì)刀誤差Δx和砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR作為主要誤差來(lái)源，將其他形式引起的誤差集中轉(zhuǎn)換為對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損引起的誤差，辨識(shí)誤差后進(jìn)行修正補(bǔ)償。誤差辨識(shí)就是分析對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損對(duì)加工面形精度的影響，分別推導(dǎo)其傳遞函數(shù)，計(jì)算明確的對(duì)刀誤差量和砂輪輪廓半徑磨損量，并根據(jù)計(jì)算的[Δx,ΔR]修正補(bǔ)償面形誤差。

僅存在對(duì)刀誤差Δx時(shí)，式(12)中ΔR=0。將式(12)代入式(10)，得：

(13)

聯(lián)立式(11)—(13)，得到：

(14)

式中：(np)i、(np)k分別為單位法向量np在X、Z方向分量。上式表示砂輪在X方向?qū)Φ墩`差對(duì)各點(diǎn)處的法向誤差的傳遞函數(shù)。

僅存在砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR時(shí)，式(12)中Δx=0。將式(12)代入式(10),得：

(15)

聯(lián)立式(11)(12)(15)，得到：

(16)

式(16)表示砂輪輪廓半徑磨損誤差對(duì)各點(diǎn)處的法向誤差的傳遞函數(shù)。

球面工件母線方程為式(17)，文中試驗(yàn)的非球面工件的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表3，未注明參數(shù)為0。其中工件直徑為10.25 mm。

(17)

表3 非球面工件系數(shù)

根據(jù)式(14)和式(16)，分別計(jì)算出X方向?qū)Φ墩`差和砂輪輪廓半徑磨損誤差對(duì)各點(diǎn)處的法向誤差的傳遞函數(shù)曲線，如圖5所示。

圖5 kx(a)和kr(b)傳遞函數(shù)曲線

2.2 誤差辨識(shí)算法

誤差辨識(shí)之前，需要對(duì)工件的面形進(jìn)行測(cè)量，得到各測(cè)量點(diǎn)Z軸方向誤差ez。通過(guò)降噪、濾波和擬合等數(shù)據(jù)處理后，再計(jì)算每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的法向誤差數(shù)據(jù)en，計(jì)算方法文中不做詳細(xì)闡述。根據(jù)式(11),在一階近似的前提下，en近似為Δx、ΔR的線性組合，組合系數(shù)與非球面工件的曲面參數(shù)和測(cè)量點(diǎn)位置有關(guān)。分別計(jì)算每個(gè)測(cè)量點(diǎn)處對(duì)刀誤差傳遞函數(shù)值kx和砂輪輪廓半徑磨損誤差傳遞函數(shù)值kr,可得下式：

(18)

通過(guò)對(duì)[Δx,ΔR]進(jìn)行二維尋優(yōu)，可以求解和實(shí)際測(cè)量誤差曲線最匹配的誤差量[Δx,ΔR]。上式是將誤差集中轉(zhuǎn)換到[Δx,ΔR]，同時(shí)辨識(shí)[Δx,ΔR]。同理，也可以將誤差集中轉(zhuǎn)換到Δx或ΔR，將其中一項(xiàng)誤差設(shè)定為某個(gè)特定值后可單獨(dú)辨識(shí)另一項(xiàng)誤差。文中通過(guò)最小二乘法求解式(18)即可求解誤差值[Δx,ΔR]。辨識(shí)流程如圖6所示。

圖6 誤差辨識(shí)流程

3 非球面超精密磨削補(bǔ)償試驗(yàn)

3.1 補(bǔ)償試驗(yàn)前初加工

試驗(yàn)非球面工件參數(shù)見(jiàn)表3，使用的是盤形砂輪。對(duì)刀過(guò)程分為4步：砂輪頂點(diǎn)過(guò)B軸的軸線；工件軸線和C軸同軸；B軸軸線穿過(guò)工件坐標(biāo)系原點(diǎn)；主軸軸線和C軸在Y方向同高度。

工件上被切削的點(diǎn)為磨削點(diǎn)，用Pcut表示；B軸中心為控制點(diǎn)，用Pctrl表示，傳輸給數(shù)控系統(tǒng)的為B軸中心軌跡在工件坐標(biāo)系的一系列坐標(biāo)點(diǎn)。

試驗(yàn)中，X、Z、B三軸聯(lián)動(dòng)。工件繞C軸以175 r/min的速度旋轉(zhuǎn)，砂輪繞主軸以40 000 r/min的速度旋轉(zhuǎn),X軸方向進(jìn)給的速度為0.8 mm/min。砂輪主軸固定在B軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，并隨B軸旋轉(zhuǎn)，在磨削過(guò)程中砂輪主軸軸線和工件磨削點(diǎn)的法向量始終保持45°夾角。理想情況下，控制點(diǎn)和磨削點(diǎn)重合，如圖7所示。

圖7 理想狀況下磨削點(diǎn)和控制點(diǎn)

初加工不作任何補(bǔ)償，工件磨削點(diǎn)坐標(biāo)即為控制點(diǎn)坐標(biāo)。4次磨削深度分別為2、1.5、1、0.8 μm，磨削結(jié)束后測(cè)量工件面形誤差。測(cè)得的原始面形誤差如圖8所示，其中面形誤差的PV值為2.252 2 μm。根據(jù)文中所述綜合誤差模型和誤差辨識(shí)方法，計(jì)算得到X方向?qū)Φ墩`差Δx=-4.20 μm,砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR=-4.56 μm。

圖8 初加工面形誤差曲線

3.2 直接補(bǔ)償法

試驗(yàn)中使用的是盤形砂輪，盤形砂輪的頂點(diǎn)為直角，相較于圓弧砂輪，本身并沒(méi)有輪廓半徑這項(xiàng)幾何參數(shù)。但從圖9(a)看出，此試驗(yàn)砂輪輪廓半徑磨損誤差ΔR實(shí)際上為砂輪頂點(diǎn)磨損量在磨削點(diǎn)法向量上的投影。直接補(bǔ)償法即通過(guò)計(jì)算的[Δx,ΔR]修正補(bǔ)償面形誤差。為使得砂輪上切削點(diǎn)和工件上的磨削點(diǎn)重合，如圖9(b)所示，需要將各個(gè)控制點(diǎn)沿著磨削點(diǎn)法向移動(dòng)ΔR的距離。最后，再沿X軸反向移動(dòng)Δx的距離。直接補(bǔ)償法的修正模型為

(19)

式中:xctrl、yctrl、zctrl為控制點(diǎn)坐標(biāo)；xcut、ycut、zcut為磨削點(diǎn)坐標(biāo)；(np)i、(np)j、(np)k分別為磨削點(diǎn)的法向量np在X、Y、Z方向分量。

圖9 磨削點(diǎn)和控制點(diǎn)

補(bǔ)償量[Δx,ΔR]=[-4.20,-4.56]μm，計(jì)算控制點(diǎn)軌跡坐標(biāo)進(jìn)行補(bǔ)償試驗(yàn)，4次磨削深度分別為2、1.5、1、0.8 μm，磨削結(jié)束后測(cè)量工件面形誤差。面形誤差曲線如圖10所示，此時(shí)PV為0.473 6 μm。試驗(yàn)結(jié)果證明：相較于初始面形誤差，采用直接補(bǔ)償法，PV值明顯降低，面形精度有效提高。

圖10 直接補(bǔ)償法誤差曲線

3.3 基于直接補(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法

圖10結(jié)果證明：通過(guò)直接補(bǔ)償法修正補(bǔ)償面形誤差后，非球面工件面形誤差PV值明顯下降，但誤差曲線并不接近于水平線，且多次加工后誤差也不再繼續(xù)收斂。這是因?yàn)閇Δx,ΔR]是通過(guò)最小二乘法計(jì)算出來(lái)的近似值，與真實(shí)值有一定差異；并且加工過(guò)程中，砂輪是動(dòng)態(tài)磨損的，輪廓半徑磨損誤差在加工過(guò)程中并不是保持恒定的。此外，不同加工點(diǎn)處主軸受到的磨削力不同，主軸變形也不同。所以，僅僅補(bǔ)償[Δx,ΔR]，無(wú)法進(jìn)一步降低PV值，提高面形精度。本文作者提出基于直接補(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法。相較于僅僅補(bǔ)償[Δx,ΔR]，基于直接補(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法是在補(bǔ)償[Δx,ΔR]的基礎(chǔ)上，結(jié)合通過(guò)降噪、濾波、擬合得到的誤差曲線，計(jì)算每個(gè)磨削點(diǎn)處在Z軸方向的誤差值ez，然后將控制點(diǎn)坐標(biāo)的Z分量減去該誤差值ez，即式(20):

(20)

采用點(diǎn)補(bǔ)修正法，結(jié)合圖10的誤差曲線，計(jì)算得到新的控制點(diǎn)軌跡坐標(biāo)進(jìn)行補(bǔ)償試驗(yàn)。4次磨削深度分別為2、1.5、1、0.8 μm，磨削結(jié)束后測(cè)量工件面形誤差。點(diǎn)補(bǔ)修正后的面形誤差曲線見(jiàn)圖11，此時(shí)PV值為0.097 5 μm。試驗(yàn)結(jié)果證明:相較于直接補(bǔ)償法，采用基于直接補(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法，面形誤差曲線更加收斂于水平直線，PV值顯著降低，面形精度顯著提高。

圖11 基于直接補(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法誤差曲線

4 結(jié)論

(1)基于多體系統(tǒng)理論，運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換原理，分析磨床37項(xiàng)幾何誤差來(lái)源，建立非球面超精密磨削綜合誤差模型。

(2)將綜合誤差集中轉(zhuǎn)換為對(duì)刀誤差和砂輪輪廓半徑磨損誤差,分別推導(dǎo)誤差傳遞函數(shù)并辨識(shí)誤差用于修正補(bǔ)償。

(3)通過(guò)初始面形誤差曲線辨識(shí)[Δx,ΔR]，采用直接補(bǔ)償法對(duì)面形誤差修正補(bǔ)償。試驗(yàn)結(jié)果表明:相比初始面形誤差，PV值明顯降低。直接補(bǔ)償法有效提高面形精度。

(4)采用基于直接補(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法，試驗(yàn)結(jié)果表明:相比直接補(bǔ)償法，面形誤差曲線更加收斂于水平直線，PV值顯著降低?；谥苯友a(bǔ)償?shù)狞c(diǎn)補(bǔ)修正法顯著提高面形精度。