張 華,肖斯斯

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

0 引言

相耦合Kuramoto振子系統(tǒng)的同步現(xiàn)象，比如漸近同步[1]、爆炸性同步[2-3]、分群同步[4]、有限時間同步[5-6]和固定時間同步[7]等，在過去幾十年受到了世界范圍內(nèi)眾多學者的廣泛關(guān)注。該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)作為一個經(jīng)典模型能很好地刻畫和描述來自生物學[8]、化學[9]、經(jīng)濟學[10]到工程學[11]、社會學[12]、地震學[13]等不同學科中的群集動力學行為。諸如心臟起搏器單元、腦神經(jīng)元、平面車輛協(xié)同、螢火蟲集群、鰻魚中樞神經(jīng)系統(tǒng)、半導體激光器、微波振蕩器等均為該模型在實際生活中的典型應用[14-15]。相耦合振子系統(tǒng)通常由大量的同質(zhì)或異質(zhì)振子以及表述振子之間相互作用的網(wǎng)絡(luò)拓撲圖構(gòu)成，其異質(zhì)性和網(wǎng)絡(luò)特性常使得該系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富的動力學行為[16-21]。

含有N個相耦合振子系統(tǒng)的一般動力學方程通?？梢员硎緸?/p>

(1)

式中：變量θi(t)表示第i個振子的相位狀態(tài)，ωi為自然頻率,aij表示振子i和j之間的耦合關(guān)系，如果i和j之間有相互作用，那么aij>0，否則aij=0。

相耦合模型的力學模擬彈簧質(zhì)點網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[15]，如圖1所示。該網(wǎng)絡(luò)由大量在單位圓上運動且互不碰撞的粒子構(gòu)成，τi為外部驅(qū)動扭矩，kij為彈簧的剛度系數(shù)。除力學模擬之外，在振蕩電路、電網(wǎng)、自驅(qū)車輛、社會網(wǎng)絡(luò)中觀點同步[22]等應用中均有類似方程(1)的動力學方程。

圖1 耦合振子系統(tǒng)的力學模擬示意圖

在經(jīng)典相耦合振子系統(tǒng)的相互耦合作用中引入相移可以描述更加豐富的動力學行為。例如，文獻[23]研究了帶有時滯和相移效應的振子同步群集行為，該模型中時滯為零時即為帶有相移的連續(xù)時間型Kuramoto振子模型，其動力學方程為：

(2)

式中：λ為耦合強度,γ為相移。此類模型具有廣泛的實際應用。例如，由3個帶相移的且非恒同的振子系統(tǒng)構(gòu)成的模型可用于研究太陽深部經(jīng)絡(luò)環(huán)流的重建及其在太陽發(fā)電機方面演化的作用[24]。

帶有相移因素的模型在理論方面同樣具有重要的研究意義。例如，基于Watanabe-Strogatz (WS) 變換，文獻[25]針對一種廣義Kuramoto系統(tǒng)，提出了如何確定該WS變換系統(tǒng)初始值的方法，研究了WS變量的漸近行為，給出了帶相移的Kuramoto振子系統(tǒng)的定量漸近行為，并得到了達到相位或頻率同步的一些充分條件。此外，還有帶隨機相移的振蕩器網(wǎng)絡(luò)同步[26]、帶相移和慣性作用的振子鎖相態(tài)唯一性和有序性[27]等研究報道。

以上關(guān)于相耦合振子系統(tǒng)的建模，大都集中在振子之間的連續(xù)相互作用方面，而針對時間離散型的研究相對較少[28-33]。例如，文獻[33]給出了在離散時間步長趨于零時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以轉(zhuǎn)化到連續(xù)時間型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法。值得注意的是帶有相移因素的離散時間耦合振子系統(tǒng)的相位同步和頻率同步研究鮮有報道。鑒于此，建立了一種帶有相移因素的離散時間耦合的Kuramoto振子模型，給出了含有相移的離散時間型振子系統(tǒng)的相位同步和頻率同步的充分條件。最后，計算機數(shù)值模擬進一步驗證了所得充分條件的正確性。

1 模型描述

對式(2)兩邊求導，得

(3)

然后對式(2)和式(3)分別按照時間變量離散化，得

(4)

以及

(5)

這里，θi(k)=θi(tk)，vi(k)=vi(tk)為tk處的頻率，時間步長h=tk-tk-1>0，k=0,1,2,…。

2 相位同步

首先討論系統(tǒng)(4)在振子頻率恒同的情況下系統(tǒng)的相位同步問題。

定理1對于恒同振子，即ωi=ω，若hλ<2，DΘ(0)0,ε=min{γ/2+π/4, π/4-γ/2, 0.001}。

證明對任意k,令c=max{|1-hλ|, |1-hλcos(b+γ)|,|1-hλcos(γ-b)|}<1，首先證明如下不等式：

DΘ(k+1)≤cDΘ(k)

(6)

不失一般性，假設(shè)θM(1)、θm(1)分別表示k=1時的最大值和最小值。因為DΘ(0)

sin(θj(0)-θm(0)+γ))=

(θM(0)-θm(0))-hλcos(ξj,0)×

(θM(0)-θm(0))≤

|1-hλcos(ξj,0)||θM(0)-θm(0)|≤

cDΘ(0)

式中：ξj,0介于θj(0)-θM(0)+γ和θj(0)-θm(0)+γ之間。

由數(shù)學歸納法，假設(shè)不等式DΘ(k)≤cDΘ(k-1)

3 頻率同步

下面討論系統(tǒng)(5)的頻率同步問題。為方便模型分析，對參數(shù)γ、h、λ以及直徑D(Ω)和DΘ(0)，作如下假設(shè)：

假設(shè)1設(shè)常數(shù)l、α、β、p、μ滿足以下條件：

l=min{π/3-γ, π/3+γ}

(7)

hD(Ω)≤α<(1-p)β<π/2,p∈[1/3,1)

(8)

α+(2+p)β≤μ

(9)

DΘ(0)≤l

(10)

2(1-p)≤λh≤1+p

(11)

在下面給出如下關(guān)于振子相位差的一個重要性質(zhì)。

定理2若γ∈(-π/3,π/3),那么在假設(shè)1的條件下，系統(tǒng)(4)或(5)的相位滿足如下結(jié)論：

1)DΘ(k)≤l≤π/3,k=0,1,2,…

(12)

(13)

式中：「x?表示對x取整，且「x?≥x。

證明首先由式(10)有DΘ(0)≤l，由數(shù)學歸納法，假設(shè)不等式DΘ(k)≤l成立。令θM″(k+1)、θm″(k+1)分別表示Θ在k+1處的最大值和最小值，θM′(k)、θm′(k)分別表示在k處的最大值和最小值。那么由拉格朗日中值定理得

DΘ(k+1)-DΘ(k)=θM″(k+1)-θm″(k+1)-θM′(k)+θm′(k)≤hD(Ω)+

sin(θj(k)-θm″(k)+γ))-θM′(k)+

θm′(k)+θM″(k)-θm″(k)=

hD(Ω)+(hλcos(φj,k)-1)×

(θm″(k)-θM″(k))-θM′(k)+θm′(k)≤

hD(Ω)+pDΘ(k)-DΘ(k)=

hD(Ω)+(p-1)DΘ(k)

(14)

式中：φj,k介于θj(k)-θM″(k)+γ和θj(k)-θm″(k)+γ之間。又因為DΘ(k)≤l，故φj,k∈(-DΘ(k)+γ,DΘ(k)+γ)?[-π/3,π/3]，進而有cosφj,k∈[0.5,1],又2(1-p)≤hλ≤1+p，故|hλcosφj,k-1|≤p。由式(14)得

洪澤湖現(xiàn)狀興利水位13.0 m，死水位11.30 m，2012年確定其旱限水位為11.80 m。根據(jù)《江蘇省流域性、區(qū)域性水利工程調(diào)度方案》中有關(guān)洪澤湖水源調(diào)度要求、省供水范圍的供水調(diào)度計劃及當時雨水情、用水形勢，確定省管及其他重要引水口門的出湖流量。在遭遇干旱年份，為確保城鄉(xiāng)生活等重點用水，需要采取江水北調(diào)、挖掘死庫容等措施。在不影響防洪和排澇的前提下，洪澤湖可在后汛期根據(jù)雨水情適時攔蓄尾水，逐步由汛限水位抬高至汛末蓄水位13.0 m，充分利用洪水資源。

|DΘ(k+1)-DΘ(k)|≤hD(Ω)+

|hλcos(φj,k)-1||θm(k)-θM(k)|+

|θM′(k)-θm′(k)|≤

hD(Ω)+(p+1)DΘ(k)

若DΘ(k)≥β，由式(8)可得

DΘ(k+1)-DΘ(k)≤hD(Ω)-(1-p)DΘ(k)≤

α-(1-p)β<0

DΘ(k+1)≤DΘ(k)+|DΘ(k+1)-DΘ(k)|≤

hD(Ω)+(p+2)DΘ(k)<

α+(p+2)β≤l

因此，由數(shù)學歸納法,式(12)得證。

接下來證明式(13)。首先證明如下結(jié)論：若DΘ(K)<α+(p+2)β，則對任意的?k≥K有

DΘ(k)<α+(p+2)β

(15)

按照式(12)的證明方法，即可說明式(15)的正確性。只需要證明

DΘ(K0)<α+(p+2)β

(16)

即可證明式(13)成立。因為當DΘ(k)≥β時，由式(14)，可知DΘ(k)至少以(1-p)β-α的比率遞減，所以存在K1，當

(17)

且k=K1時，有DΘ(k)<α+(p+2)β。

故由式(15)可知，無論DΘ(k)≥β還是DΘ(k)<β，總有DΘ(K0)<α+(p+2)β，證畢。

于是，基于定理2可得系統(tǒng)(5)達到頻率同步的一個充分條件。

證明對于某i,j,由式(5)可知

vi(k+1)-vj(k+1)=(vi(k)-vj(k))+

θj(k)+γ)(vq(k)-vj(k))

(18)

對上式兩邊平方得

(vi(k+1)-vj(k+1))2=(vi(k)-vj(k))2+

E1+E2

式中：

(vq(k)-vi(k))-cos(θq(k)-θj(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k)))

以及

(vq(k)-vi(k))-cos(θq(k)-θj(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k)))2

由定理2，有

θi(k)+γ)-cos(θq(k)-θj(k)+γ))×

(vq(k)-vj(k))+cos(θq(k)-θi(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k))+cos(θq(k)-θi(k)+γ)×

(19)

式中：η為θq(k)-θi(k)+γ和θq(k)-θj(k)+γ之間的一個常數(shù)。然后由引理1得

(vq(k)-vi(k))-cos(θq(k)-θj(k)+γ)×

(vq(k)-vj(k)))2≤

|vq(k)-vj(k)|)2

(20)

由式(19)和(20)得

|vq(k)-vj(k)|)2

(21)

對上式兩邊同時關(guān)于i、j求和得

|vq(k)-vj(k)|)2=

(1-hλ+2hλDΘ(k)+4(hλ)2) ×

(22)

因此，有

(1-hλ+2hλDΘ(k)+4(hλ)2)k-K0×

由式(8)、定理2以及hλ<(1-2μ)/4，有1-hλ+2hλDΘ(k)+4(hλ)2<1,故有

4 數(shù)值模擬

本節(jié)用含有10個Kuramoto振子的系統(tǒng)驗證所得相位同步和頻率同步理論結(jié)果的正確性。首先模擬系統(tǒng)(4)的相位同步，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：步長h=0.02，耦合強度λ=0.5,自然頻率ωi=0.5,i=1,2,…,10，相移γ=π/3，ε=0.001,相位初值Θ(0)= [0.001,π/20,π/18,π/16,π/15，π/14,π/13,π/12,π/10,π/8,π/6]Τ,則初始相位直徑DΘ(0)=π/6-0.001。容易驗證這些參數(shù)滿足定理1的條件，振子的相位時間反應曲線如圖2所示。相位最大值和最小相位之差在t=20 s時為0.003 6，其狀態(tài)曲線漸近衰減趨勢如圖3所示，可見系統(tǒng)(4)相位能漸近達到同步。

圖2 振子相位的時間反應曲線

圖3 振子相位最大值與最小值之差曲線

對于系統(tǒng)(5)的頻率同步設(shè)定如下參數(shù)：步長h=0.01，耦合強度λ=40,相移γ=π/4，振子的自然頻率和初始相位值分別設(shè)置為Ω=[0.02,0.1,0.16,0.04, 0.14,0.2,0.4,0.6,0.8,1.02]Τ,Θ(0)=[0,π/20，π/19，π/18，π/17，π/16，π/15，π/14，π/13，π/12]Τ，則DΘ(0)=π/12,D(Ω)=1。常數(shù)p=0.8，α=0.01,β=0.075,μ=π/13?？梢则炞C以上參數(shù)滿足定理2和定理3的條件，系統(tǒng)(5)中振子的相位和頻率的時間反應曲線如圖4和圖5所示。振子頻率最大值與最小值之差的漸近衰減效果如圖6所示，在時間t=0.3 s時，該差值可以達到4.066×10-5。表明振子的頻率最終可漸近同步到一個穩(wěn)定值。

圖4 振子相位的時間反應曲線

圖5 振子頻率的時間反應曲線

圖6 振子頻率最大值與最小值之差曲線

5 結(jié)論

主要研究了帶有相移的離散時間型相耦合Kuramoto振子系統(tǒng)達到同步問題，分別給出了系統(tǒng)達到相位同步和頻率同步的充分條件。通過分析同一時刻任意2個振子相位差的最大值趨于零時所需條件，給出了該系統(tǒng)達到相位同步的充分條件。在證明頻率同步時，通過設(shè)置某一時刻任意2個振子的相位差的上限值，得到了振子相位差的一個有界性質(zhì)，然后利用這個有界性證明了該模型的頻率同步性。最后數(shù)值模擬進一步驗證了最大相位差和最大頻率差的漸近衰減性和有關(guān)充分條件的正確性。