黎亞雨，龔 婷，陳桂玲

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611756）

作為數(shù)學(xué)、物理及工程技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的偏微分方程，在生物數(shù)學(xué)中同樣有著不錯(cuò)的應(yīng)用前景[1-5]。反應(yīng)擴(kuò)散方程作為描述擴(kuò)散現(xiàn)象的重要偏微分方程之一，其數(shù)學(xué)模型更加地逼近現(xiàn)實(shí)。生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中大量非線性現(xiàn)象可以用反應(yīng)擴(kuò)散方程予以刻畫，如：生物分子、細(xì)胞的相互作用以及細(xì)胞的規(guī)律，傳染病的發(fā)生、傳播規(guī)律及發(fā)展趨勢(shì)等[6-7]。那么研究反應(yīng)擴(kuò)散方程的相關(guān)性質(zhì)，是我們認(rèn)識(shí)生物的相關(guān)規(guī)律的重要方法。

利用反應(yīng)擴(kuò)散方程可以描述不同的動(dòng)力系統(tǒng)，相關(guān)研究包括初、邊值問題的整體解(包括周期解和概周期解)的存在唯一性、平衡解的存在性、平衡解的分叉以及穩(wěn)定性都取得了豐碩的成果。脈沖作為影響動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)重要因素，是學(xué)者致力研究的一個(gè)重點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]通過Lyapunov-Razumikhin 泛函方法證明了脈沖線性微分方程的全局指數(shù)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[9]建立新的時(shí)滯微分不等式證明了脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[10]通過比較定理證明了脈沖拋物型復(fù)雜網(wǎng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[11]考慮用脈沖控制的方法解決了帶有可變時(shí)滯和分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合同步性問題。而涉及時(shí)間延遲的脈沖被稱為時(shí)滯脈沖，關(guān)于時(shí)滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[12-14]提出通過建立一個(gè)時(shí)滯脈沖微分不等式，證明了切換系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[15]通過構(gòu)造時(shí)滯脈沖積分不等式證明了隨機(jī)時(shí)滯偏微分方程的p-階指數(shù)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[16]通過加脈沖控制證明了帶有可變時(shí)滯的耦合反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性，文獻(xiàn)[17]采用矢量Lyapunov函數(shù)法和M 矩陣?yán)碚撗芯苛艘活惥哂蟹磻?yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的變時(shí)滯復(fù)數(shù)域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性。本文首次在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上研究一類具有時(shí)滯脈沖的反應(yīng)擴(kuò)散方程模型：

其中x=(x1,x2,···,xq)T∈Ω ?Rq，其中Ω 是R n中的帶有光滑邊界? Ω的有界開集，Ω={x||x|≤lk,k=1,2,···,q},lk＞0 ；dmk＞0是神經(jīng)元沿程傳輸?shù)臄U(kuò)散系數(shù)；ym((t,x)神)經(jīng)元的狀態(tài)向量；n表示神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；fjyj(t,x)是第j個(gè)神經(jīng)元在時(shí)間t和空間x處的神經(jīng)元激活函數(shù)，對(duì)每一個(gè)fj連續(xù)有界；cm＞0表示當(dāng)斷開與網(wǎng)絡(luò)和外部輸入連接時(shí)，第m個(gè)神經(jīng)元裝置將其電位重置為隔離的靜止?fàn)顟B(tài)的速率；am j和bm j表示神經(jīng)元之間的耦合強(qiáng)度；τ(t)是傳輸時(shí)產(chǎn)生的時(shí)滯且滿足是個(gè)常數(shù)且＞0 ；Jm是外部輸入；Δy(tk)=是脈沖函數(shù)；Imk(y([tk-τ]-))表示第m單元在時(shí)間tk時(shí)受到由傳輸延遲造成的脈沖。

1 準(zhǔn)備工作

首先，我們介紹一些記號(hào)和定義。

對(duì)于任何定點(diǎn)x∈Ω，定義

初始條件：

邊界條件：

為了方便，我們把式(1)寫成向量的形式：

假設(shè)1Fi(y),βk(y)滿足Lipschitz 條件，即對(duì)任意u,v∈R，存在常數(shù)hi(i=1,2,···,n),rk(k=1,2,···,q)使得

引理1[18]Ω是一個(gè)立方體，滿足|xk|＜lk(k=1,2,···,m)，v(x)是實(shí)值函數(shù)，v(x)∈C1(Ω)，在邊界?Ω耗散，即v(x)|?Ω=0，則

引理2[19]若X,Y∈Rn×n是實(shí)矩陣，則存在ε ＞0使得

定義 2[9]若存在實(shí)數(shù) λ ＞0,M＞0，使得對(duì)任意初始值φ ∈的解z(t,x)，有

則稱系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

這一部分將推導(dǎo)帶有脈沖時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的平衡點(diǎn)的全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。我們定義：

定理1若假設(shè)1 和 (H1)成立，存在常數(shù)0 ＜λ ＜κ,N＞0,使得系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)滿足

其中λ,N取決

其中

則方程(3)的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

證明考慮李雅普諾夫函數(shù)

下面對(duì)(11)進(jìn)行估計(jì)，首先估計(jì)第一項(xiàng)，由格林公式和狄利克雷條件[16]以及引理1得

對(duì)式(11)的后幾項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)任意正數(shù) ε1，ε2和 ε3由假設(shè)1和引理2可得

另一方面，當(dāng)t=tk時(shí)，k∈N+，對(duì) ?η ＞0由系統(tǒng)(3)的第2 個(gè)方程得

則V(t)滿足下列時(shí)滯脈沖不等式

其中

由脈沖形式常數(shù)變易公式得

由柯西矩陣的表示，有估計(jì)

下面對(duì)V(t)進(jìn)行估計(jì)，由式(19)、式 (20)及初始條件和假設(shè)1得

下面證明對(duì)正數(shù)λ ＞0,N＞0,0 ＜λ ＜κ有

若式(23)不成立，由 |φ(0,x)|τ＜N和V(t)的連續(xù)性，一定會(huì)存在t*＞0，使得

因此由式(8)、式(21)、式(25)、式(26)得

上式的結(jié)果與式(24)矛盾，則對(duì) ?t≥0，式(23)成立。在式(23)中令d→1，有

最后得到

因此由定義2，系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。得證。

3 示例

考慮如下反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

滿足式(5)和式 (6)，由定理1得到系統(tǒng)(29)的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

4 總結(jié)

本文通過建立Lyapunov 函數(shù)，結(jié)合脈沖常數(shù)變異公式和脈沖積分不等式，分析帶有可變時(shí)滯脈沖的反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。該反應(yīng)擴(kuò)散方程模型可以應(yīng)用到相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析，解決相關(guān)問題。時(shí)滯脈沖在自然界隨處可見，比如新冠病毒的傳染，新冠病毒傳染的傳播途徑傳播速率都與外界干擾以及歷史的傳染狀態(tài)有關(guān)。脈沖的影響是會(huì)破壞穩(wěn)定性還是維持穩(wěn)定性，加了時(shí)滯的脈沖對(duì)穩(wěn)定性的作用又是如何都是我們接下來(lái)要關(guān)注的問題。