葛 超，張亞欣，劉 月，王 紅

（1.華北理工大學(xué) 人工智能學(xué)院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

0 引言

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)（Networked Control System，NCS）一般主要包含傳感器單元、控制器單元、執(zhí)行器單元以及被控對(duì)象等功能節(jié)點(diǎn)。這些部件一般離散分布，并通過(guò)數(shù)字網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程的信息交互［1-3］；但是由于網(wǎng)絡(luò)自身的缺點(diǎn)，比如時(shí)間延遲、丟包、數(shù)據(jù)量化等問(wèn)題［4-8］，導(dǎo)致NCS 性能惡化，甚至失去穩(wěn)定性。多數(shù)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)采用基于周期采樣機(jī)制（也稱時(shí)間觸發(fā)機(jī)制）的控制模式，所有的采樣數(shù)據(jù)都通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸，導(dǎo)致對(duì)資源不必要的占用。當(dāng)采樣周期是時(shí)變時(shí)，在最壞情況下，系統(tǒng)控制性能需求需要被滿足。

為了解決時(shí)間觸發(fā)機(jī)制帶來(lái)的資源不必要的占用問(wèn)題，在20 世紀(jì)90 年代，提出了事件觸發(fā)機(jī)制［9］。當(dāng)滿足事件觸發(fā)的條件時(shí)，采樣數(shù)據(jù)被觸發(fā)器傳輸。事件觸發(fā)機(jī)制被證明是一個(gè)減少數(shù)據(jù)傳輸?shù)挠行Х椒ǎ?0-13］，和時(shí)間觸發(fā)相比，它可以減少網(wǎng)絡(luò)帶寬的占用以及控制器設(shè)計(jì)的計(jì)算成本。文獻(xiàn)［14-15］中，事件觸發(fā)依賴于對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的持續(xù)監(jiān)控，以檢測(cè)當(dāng)前狀態(tài)是否超過(guò)觸發(fā)閾值。要構(gòu)建這類觸發(fā)器，需要對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)進(jìn)行徹底改造，但實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。因此，設(shè)計(jì)出自觸發(fā)控制器；但是自觸發(fā)機(jī)制對(duì)系統(tǒng)的配置要求比較高，需要提前給出系統(tǒng)模型，所以自觸發(fā)方案難以被應(yīng)用。文獻(xiàn)［16-17］中提出一個(gè)事件觸發(fā)機(jī)制去決定數(shù)據(jù)是否被傳輸，它不需要特殊硬件去連續(xù)不斷測(cè)量。

外部干擾的出現(xiàn)會(huì)影響系統(tǒng)性能，而耗散性能［18-19］的提出在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性前提下滿足了系統(tǒng)的性能指標(biāo)。在實(shí)際系統(tǒng)中，任何控制器都會(huì)遭受一些不確定因素，比如不確定參數(shù)的影響，它可能會(huì)導(dǎo)致NCS 不穩(wěn)定，因此研究控制器非脆弱性問(wèn)題［20］也很有必要。文獻(xiàn)［21］中研究了基于事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，但它只考慮了網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)問(wèn)題，沒(méi)有考慮控制器的非脆弱性。

綜上，本文研究事件觸發(fā)機(jī)制下的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)非脆弱耗散控制。耗散控制滿足嚴(yán)格耗散性能，非脆弱性考慮控制器加性攝動(dòng)問(wèn)題。研究新型的雙邊泛函，借助線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和對(duì)控制器的設(shè)計(jì)。

符號(hào)說(shuō)明 上標(biāo)符號(hào)“T”代表矩陣轉(zhuǎn)置，“-1”表示逆矩陣；矩陣“I”表示合適維度的單位矩陣；Rn、Rm分別表示n維和m維的歐幾里得空間；diag｛·｝表示對(duì)角矩陣，col｛·｝表示矩陣的列；“*”表示為對(duì)稱矩陣。

1 問(wèn)題描述及事件觸發(fā)控制

1.1 問(wèn)題描述

考慮線性系統(tǒng)裝置：

其中：x(t) ∈Rn是狀態(tài)向量，u(t) ∈Rm是控制器輸入向量，z(t) ∈Rm是控制器輸出向量，ω(t) ∈L2[0，∞)是外部干擾，A、B、Bω、C是合適維度的常數(shù)矩陣。系統(tǒng)（1）的初始條件是x(0)=x0。

系統(tǒng)（1）的控制律為：

其中K是反饋控制器增益。

1.2 事件觸發(fā)機(jī)制

一個(gè)事件觸發(fā)機(jī)制通過(guò)非周期采樣數(shù)據(jù)來(lái)建立傳輸事件機(jī)制。當(dāng)采樣周期為非均勻周期時(shí)，研究模型的建立、穩(wěn)定性分析和控制器的設(shè)計(jì)具有重要意義。

本文考慮沒(méi)有數(shù)據(jù)丟包發(fā)生的情況，采樣器以hl為周期進(jìn)行采樣。通過(guò)事件生成器檢測(cè)當(dāng)前采樣時(shí)刻和最后觸發(fā)時(shí)刻tk之間的采樣數(shù)據(jù)誤差。下一觸發(fā)時(shí)刻tk+1被設(shè)計(jì)為以下等式：

其中：e(il)=x(il)-x(tk)表示狀態(tài)誤差是當(dāng)前采樣時(shí)刻；定義ik作為下一次的采樣時(shí)刻；hl=ik-il是非均勻采樣周期；δ∈[0，1)和Φ分別是給定的閾值參數(shù)和設(shè)計(jì)的正定權(quán)重矩陣。

并非所有的采樣數(shù)據(jù)需要通過(guò)事件觸發(fā)機(jī)制傳輸，只有那些滿足條件（3）的數(shù)據(jù)才能被傳輸。此外，采樣數(shù)據(jù)傳輸?shù)念l率由δ和Φ決定。當(dāng)δ=0 時(shí)，事件觸發(fā)機(jī)制轉(zhuǎn)變成時(shí)間觸發(fā)機(jī)制。在每個(gè)采樣時(shí)刻引入事件觸發(fā)機(jī)制，以決定是否傳輸當(dāng)前的采樣數(shù)據(jù)。把零階保持器中的保持間隔Ω劃分成子區(qū)間，也就是Ω=∪Ωl(l=0，1，…，tk+1-tk-1)。

注1 當(dāng)系統(tǒng)中考慮丟包發(fā)生時(shí)，要建立新的事件觸發(fā)條件。

注2 式（3）提出的事件觸發(fā)機(jī)制建立在非周期采樣機(jī)制中，比一般的周期采樣更具有普遍性和實(shí)際性。式（3）所設(shè)置的是離散事件觸發(fā)機(jī)制，只在一個(gè)固定的采樣周期測(cè)量狀態(tài)、計(jì)算偏差，所以不需要額外硬件進(jìn)行連續(xù)測(cè)量和計(jì)算。因?yàn)槭录|發(fā)間隔必定大于最小的采樣的周期，所以就直接避免了芝諾（Zeno）現(xiàn)象。

定義η(t)=t-il(t∈Ωl)，控制律（2）被重寫為：

對(duì)于t∈Ωl和t≠il+τil，η(t)是分段線性函數(shù)，滿足

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的上、下界已知，分別為τ1、τ2。根據(jù)式（5）中給出的，那么所允許的采樣周期可以設(shè)置為：

得到hl∈[0，η]。

在實(shí)際生活中，網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中控制器含有許多的不確定參數(shù)。當(dāng)攝動(dòng)矩陣ΔK(t)出現(xiàn)時(shí)，可以建立以下的實(shí)際控制律：

ΔK(t)是加性增益攝動(dòng)，滿足以下關(guān)系：

其中：H、E是給定的矩陣，F(xiàn)(t)是滿足以下不等式的未知矩陣：

聯(lián)立式（1）和（6），系統(tǒng)（1）可以被重新寫作：

1.3 定義及引理

引理2［23］假設(shè)0 ≤η(t) ≤η，并且Ψ1、Ψ2、Ψ是合適維度的矩陣，如果存在那么

Ψ+η(t)Ψ1+(η-η(t))Ψ2<0

引 理3［24］給定合適維度的正實(shí)矩陣M3=，H、E、F(t) 滿足M3+HF(t)E+(HF(t)E)T<0，對(duì)于F(t) 滿足式（8），當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)參數(shù)ε>0 時(shí)，以至于M3+εHHT+ε-1ETE<0，或者。

2 穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)

2.1 穩(wěn)定性分析

利用Lyapunov 穩(wěn)定性分析可以得到系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。

注3V3(t)是雙邊泛函，只需要保證它在采樣點(diǎn)是正定的，它的導(dǎo)數(shù)在采樣區(qū)間內(nèi)必然是負(fù)定的。不僅考慮區(qū)間[il，t]，還考慮[t，ik]，這會(huì)使所得到的結(jié)果具有更小的保守性。

對(duì)泛函求導(dǎo)，得到：

Π0和Γs(s=1，2，3，4)定義在定理1 中。根據(jù)引理2 和舒爾補(bǔ)引理，Ξ0<0 是Ξ1、Ξ2的凸組合，可以得到式（10）。由式（15）可得到式（16）：

對(duì)式（16）兩邊從0 到tf求積分，得到

由式（17）可以得到嚴(yán)格耗散的定義1，系統(tǒng)是關(guān)于性能指標(biāo)γ-嚴(yán)格耗散的且漸進(jìn)穩(wěn)定的。證畢。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

應(yīng)用定理1，在事件觸發(fā)機(jī)制下的反饋控制器增益K可以被求得。

注4 值得注意的是，式（16）是非線性凸組合，因此不能被Matlab 里面的LMI 工具箱直接求得結(jié)果。在本文中，用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方法和一個(gè)錐補(bǔ)線性化（Cone Complementarity Linearization，CCL）算法來(lái)處理這些非線性項(xiàng)?？梢缘玫剑?/p>

對(duì)于XλI-1X項(xiàng)，本文用CCL 方法，定義G滿足：

然后對(duì)式（18）進(jìn)行求解，得到式a，式a 是把式（18）里面的非線性項(xiàng)用式（23）和（24）代替。以上最小化問(wèn)題可以被CCL 算法解決。通過(guò)舒爾補(bǔ)原理，式（24）等價(jià)于：

算法1 CCL 算法。

第一步 尋找LMIs（式（18））和以下不等式的可行性解

設(shè)定k=0。

第二步 解決以下最小化問(wèn)題。

聯(lián)立式（18）和式（26）。

第三步 如果式（18）被滿足，那么得到一個(gè)控制器K=YX-T。令k=k+1，如果k

3 仿真算例

例1 對(duì)于線性系統(tǒng)可以考慮以下參數(shù)：

在本例中不考慮耗散性能和非脆弱性，利用定理1，當(dāng)Bω=0；ΔK(t)=0 時(shí)，對(duì)于不同的事件觸發(fā)閾值參數(shù)δ得到時(shí)延η的最大上界，如表1 所示。

表1 文獻(xiàn)［21］和本文在不同閾值參數(shù)δ所對(duì)應(yīng)的時(shí)延η最大上界Tab.1 Maximum upper bound of time-delay η in literature ［21］ and this paper corresponding to different threshold parameters δ

由表1 可知，本文方法比文獻(xiàn)［21］方法具有更小的保守性。

例2 考慮如下參數(shù)：

假設(shè)不存在外部干擾和非脆弱性，即ω(t)=0，ΔK(t)=0。系統(tǒng)可考慮為x˙(t)=Ax(t) +BK(x(t-η(t))-e(il))，在這個(gè)系統(tǒng)中應(yīng)用事件觸發(fā)機(jī)制，令δ=0.2，η=0.5，根據(jù)定理2，可求得反饋控制器增益K和事件觸發(fā)矩陣Φ如下：

令初始值x0=[0.9，-0.7，0.2，0.3，0.6]T，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖1。

圖1 多維系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State response curves of multi-dimensional system

觀察圖1，曲線逐漸接近為0，說(shuō)明系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定。由此可以說(shuō)明事件觸發(fā)機(jī)制在NCS 中的可行性。

例3 考慮倒立擺系統(tǒng)，參數(shù)如下：

其 中M=10 kg，m=1 kg，l=3 m，g=10 m/s2。初始條件為x0=[0.98，0，0.2，0]T。

在此算例中考慮系統(tǒng)的嚴(yán)格耗散性能和非脆弱性。設(shè)ω(t)=0.01sin(2πt)，Q1=-0.3I，R1=-0.1I，S1=I，γ=500，ΔK(t)=[0.2 sint，0.2 sint，0.2 sint，0.2 sint]。

情況1 令δ=0，在這種情況下，事件觸發(fā)機(jī)制被考慮為時(shí)間觸發(fā)，即正常的采樣機(jī)制。根據(jù)定理2，求得最大時(shí)延上界為η=0.774。當(dāng)η=0.489 時(shí)，此時(shí)求得增益K=[44.489 2 104.361 4 987.607 7 563.741 7]。對(duì)應(yīng)得到的狀態(tài)反應(yīng)曲線如圖1 所示。令采樣周期h=0.2，在t∈[0，15]區(qū)間內(nèi)，所有的75 個(gè)采樣數(shù)據(jù)都要被傳輸過(guò)去。圖2 為在采樣控制時(shí)得到的狀態(tài)響應(yīng)曲線。

圖2 情況1的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State response curves of case 1

情況2 令δ=0.2，此時(shí)所用的機(jī)制為事件觸發(fā)機(jī)制。在此情況下，根據(jù)定理2，求得時(shí)延的最大上界η=0.489，對(duì)應(yīng)的反饋控制器增益K和事件觸發(fā)矩陣Φ為以下結(jié)果：

對(duì)應(yīng)K和Φ的系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)曲線如圖3 所示。

圖3 情況2的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 State response curves of case 2

從圖3 中看出曲線逐漸接近于0，說(shuō)明系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，可以很容易看出，本文設(shè)計(jì)的關(guān)于事件觸發(fā)的控制器是有效的。

圖4 表示系統(tǒng)的傳輸瞬間和釋放間隔。令采樣周期h=0.2，在t∈[0，15]區(qū)間，只有40 個(gè)采樣數(shù)據(jù)被傳輸，傳輸率為53.3%，并非所有的采樣數(shù)據(jù)被傳輸。

圖4 傳輸瞬間和釋放間隔Fig.4 Transmission instants and release intervals

通過(guò)情況1 和情況2 的對(duì)比來(lái)看，可以證明，事件觸發(fā)機(jī)制可以減少采樣數(shù)據(jù)的傳輸，從而節(jié)約帶寬資源。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于事件觸發(fā)機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)非脆弱耗散控制。采用事件觸發(fā)通信機(jī)制，在網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)上進(jìn)行建模，考慮加性攝動(dòng)非脆弱性和嚴(yán)格耗散性能，在此模型上，使用新型改進(jìn)的泛函使得穩(wěn)定性結(jié)果具有較小的保守性。并給出了控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，求得控制器增益和事件觸發(fā)機(jī)制矩陣。事件觸發(fā)機(jī)制的引入，減少了采樣點(diǎn)的傳輸，節(jié)約了帶寬資源，數(shù)值仿真結(jié)果證明了本文設(shè)計(jì)方法的有效性。