作者簡介：段金朋（1974—），男，山東濰坊人，本科，一級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中有關(guān)“三角形”第二課時教學(xué)的指示，立足該章節(jié)內(nèi)容所涉及的核心素養(yǎng)，制訂如下教學(xué)目標(biāo)，具體如表1所示。

表1

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二、教學(xué)重難點

（一）教學(xué)重點

1.正確了解角平分線性質(zhì)定理及逆定理。

2.加深對線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及逆定理的理解，利用定理完成題目解答。

（二）教學(xué)難點

1.添加輔助線，構(gòu)造基本圖形。

2.線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)定理及逆定理的綜合應(yīng)用。

三、教學(xué)內(nèi)容分析

該內(nèi)容可劃分為角的平分線1、角的平分線2兩大板塊開展教學(xué)，第一板塊著重帶領(lǐng)學(xué)生探究角的平分線性質(zhì)定理及逆定理；第二板塊著重帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會用角的平分線性質(zhì)定理及逆定理完成解題。

四、教學(xué)過程

（一）角的平分線1

片段一：

設(shè)置核心問題與問題鏈。（如表2所示）

表2

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教師：（利用多媒體課件展示核心問題）顧名思義，角的平分線除了能夠平分角之外還有其他的性質(zhì)嗎？并展示如下例題。

例1：如圖1，OC是∠AOB的角平分線，在OC上任取一個與O不重合的點P，完成操作測量：取點P不同位置，過點P向OA、OB作垂線段，即PD⊥OA，PE⊥OB，其中點D、E為垂足，測量PD與PE的長，并完成表3的填寫。觀察表格測量結(jié)果，猜測PD與PE的關(guān)系，并完成證明。

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圖1? ? ? ? ? ? 圖2

表3

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在該活動中，學(xué)生利用尺子測量線段長度完成表格記錄，發(fā)現(xiàn)PD、PE之間存在相等關(guān)系，教師即可引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言總結(jié)并鼓勵學(xué)生上臺利用希沃白板畫圖（如圖2），在圖中標(biāo)注出已知條件，并完成證明，如下所示。

生A：如圖2所示，∵OC是∠AOB的平分線

∴∠1=∠2

∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中

∠1=∠2∠PDO=∠PEOOP=OP

∴△PDO≌△PEO

∴PD=PE

教師：請問哪位同學(xué)可以分步驟闡述這位同學(xué)的證明步驟？

生B：第一步，OC是∠AOB的平分線是題干已知條件；第二步，∠1=∠2是根據(jù)角的平分線定義得出的；第三步，PD⊥OA，PE⊥OB是題干已知條件；第四步，∠PDO=∠PEO=90°是根據(jù)垂直的定義所知；第五步是根據(jù)AAS所得出的結(jié)論；最后則是根據(jù)小學(xué)所學(xué)的全等三角形對應(yīng)邊相等所得出的結(jié)論。

（設(shè)計意圖：通過設(shè)置核心問題以及以核心問題為導(dǎo)向的問題鏈引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動，幫助學(xué)生正確、深入地理解角平分線上的點到角兩邊距離相等，更進(jìn)一步探究角的平分線性質(zhì)定理。）

片段二：

完成角的平分線性質(zhì)定理的教學(xué)后，教師可以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向設(shè)置角的平分線性質(zhì)定理逆定理的核心問題（如表4所示）。

表4

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以核心問題為導(dǎo)向，教師在課堂中提出問題，學(xué)生在學(xué)完角的平分線性質(zhì)定理后能夠輕松預(yù)設(shè)出：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

在學(xué)生的回答下，教師繼續(xù)追問（如表5所示）：

表5

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在問題的引導(dǎo)下，教師邀請學(xué)生上臺回答：

生C：到一個角的兩邊距離相等的點需要在角的內(nèi)部。

教師：包不包括頂點？

生C：包括！

教師：同學(xué)們能否大聲完整地敘述一次？

生（全）：在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

教師：那這個命題是真命題還是偽命題？

生（全）：真命題。

教師：這個逆命題確實是真命題，我們可將這個逆命題稱作角的平分線性質(zhì)定理的逆定理。

（設(shè)計意圖：在該活動中，教師通過核心問題提出階梯性問題，類比線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理引出角的平分線性質(zhì)定理的逆定理，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的階梯性和遞進(jìn)性。）

（二）角的平分線2

在第二板塊的教學(xué)中，核心問題如表6所示：

表6

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教師：（多媒體展示課件）請同學(xué)們思考例題。

例2：如圖3所示，已知AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點D、E，且BE與CD相交于點O，求證OB=OC。

在上述問題中，我并不急于讓學(xué)生直接完成求證，而是提出下述問題：

（1）AO平分∠BAC能夠得出怎樣的結(jié)論？

（2）結(jié)合所學(xué)的知識，證明兩條線段相等的方法有哪些？

（3）結(jié)合題干信息，你會選擇用怎樣的方法證明OB=OC？

在上述問題中，學(xué)生利用角平分線定理能夠?qū)栴}（1）做出回答，即∠BAO=∠CAO，OD=OE；對于問題（2），可結(jié)合以往有關(guān)三角形的學(xué)習(xí)，總結(jié)出等角對等邊、全等、等式性質(zhì)等證明兩條線段相等的方法；而在問題（3）中，根據(jù)題干信息，學(xué)生能夠結(jié)合小學(xué)全等三角形的知識再結(jié)合角平分線性質(zhì)定理完成證明。

（設(shè)計意圖：結(jié)合題干信息，在問題（1）中能夠利用垂直定理，直接利用垂直的意義得到角為90°的結(jié)論；在問題（2）中則能夠引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系新知和已知，建立數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)；在問題（3）中則培養(yǎng)學(xué)生利用知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)解題思路。）

（展示例題）

例3：如圖4所示，CD垂直平分線段AB，在CD上取點E，連接EA、EB，求證∠CAE=∠CBE。

在該例題中，我依舊沒有急于讓學(xué)生完成解題，而是提出核心問題及問題鏈（如表7所示）。

表7

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教師：有哪位同學(xué)能夠回答問題（1）？

生A：AD=BD，EA=EB，CA=CB。

教師：你根據(jù)什么得出的這個結(jié)論？

生A：根據(jù)角的平分線定理知道的。

教師：不錯！那么哪位同學(xué)能夠回答問題（2）呢？

生B：等角對等邊、全等、等式性質(zhì)等可以證明兩角相等，在這道題中可以利用全等三角形證明兩個角相等。

教師：你能否用你的思路上臺完成問題（2）的解答？

生B：∵CD垂直平分線段AB

∴CA=CB，∠CAB=∠CBA，同理得：∠EAB=∠EBA

∴∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA

∴∠CAE=∠CBE

教師：有哪位同學(xué)能夠上臺說明這位同學(xué)的解題思路呢？

生C：第一步是題干的已知信息；第二步是根據(jù)角平分線定理所得；第三步、第四步可以根據(jù)等式性質(zhì)得到。

教師：總結(jié)得很棒！這位同學(xué)解題思路非常清晰，那么如果我把題干信息簡單變化一下，你們還能夠完成解答嗎？（展示變式訓(xùn)練）

例4：若將點E移動到CD延長線上，其他題干信息不變，∠CAE=∠CBE嗎？

在該問題的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠利用垂直平分線定理結(jié)合等腰三角形性質(zhì)證明角相等、線段相等的結(jié)論。

（設(shè)計意圖：在上述例題與變式訓(xùn)練中，教師通過展示垂直平分線的作用引導(dǎo)學(xué)生自主探究和證明數(shù)學(xué)定理，同時通過類比兩邊相等的方法引導(dǎo)學(xué)生熟悉線段垂直平分線性質(zhì)定理的基本圖形。）

五、教學(xué)反思

在此次教學(xué)實踐中，大部分學(xué)生均肯定了核心問題在課堂教學(xué)中的價值作用，并表示能夠促進(jìn)對數(shù)學(xué)表象的理解，但是仍有以下需要改進(jìn)的地方：第一，核心問題設(shè)置需要更加關(guān)注思維培養(yǎng)和創(chuàng)造生成；第二，情境導(dǎo)入和例題講解可強(qiáng)化核心問題的作用。從第一點而言，學(xué)生的學(xué)習(xí)水平存在差異性，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的異同、生成性問題提出等方面，所以在設(shè)計核心問題時需要仔細(xì)分析數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)與創(chuàng)造性、生成性的具體表現(xiàn)，從學(xué)生的認(rèn)知角度構(gòu)思核心問題；從第二點而言，情境導(dǎo)入和例題講解是課堂教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，核心問題的設(shè)計需要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，同時結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗達(dá)到以趣激學(xué)的目的。

（作者單位：山東省濰坊市青州市五里初級中學(xué)）

編輯：趙飛飛