陶善澤, 胡宇達(dá)

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院， 河北 秦皇島 066004;2. 燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

隨著材料科學(xué)的發(fā)展進(jìn)步以及現(xiàn)代科技領(lǐng)域的需要，電磁材料在工業(yè)領(lǐng)域和日常生活中得到了長足的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。薄板作為工程中常見的一類薄壁結(jié)構(gòu)，其在航空航天、磁懸浮運(yùn)輸、醫(yī)療器械等一些特定領(lǐng)域中應(yīng)用時(shí)，有時(shí)會處于磁場環(huán)境下，并產(chǎn)生復(fù)雜的磁固耦合動(dòng)力學(xué)行為。因此對結(jié)構(gòu)在磁場作用下力學(xué)特性的研究具有重要理論與實(shí)際意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對板結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)問題已進(jìn)行了許多研究。Twinkle等[1-2]研究了各向同性矩形板和正交各向異性矩形薄板的自由振動(dòng)問題，分析了頻率及振型變化規(guī)律。Chen等[3]研究了面內(nèi)雙向功能梯度矩形板在橫向簡諧激勵(lì)下的非線性振動(dòng)問題。Javani等[4]研究了石墨烯薄片增強(qiáng)納米復(fù)合材料圓板的非線性自由振動(dòng)問題。Sasadhar[5]研究了在周期性激勵(lì)力作用下含孔非均勻圓薄板的強(qiáng)迫振動(dòng)問題。胡宇達(dá)等[6]針對熱環(huán)境下的旋轉(zhuǎn)功能梯度圓板，建立了相關(guān)力學(xué)模型并分析了不同參數(shù)對其強(qiáng)非線性固有振動(dòng)特性的影響。陳萬吉等[7]對Mindlin層合板的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了研究。對于電磁材料結(jié)構(gòu)在磁場中的磁彈性振動(dòng)及屈曲問題，學(xué)者們也取得了許多研究成果。Elham等[8]研究了載流鐵磁梁板在磁場作用下的非線性振動(dòng)行為。Golubeva等[9]研究了鐵磁矩形板在縱向磁場中的振動(dòng)問題。李哲等[10]研究了夾支和簡支邊界條件下變速運(yùn)動(dòng)圓板在磁場中的參強(qiáng)聯(lián)合共振問題。Yang等[11]基于能量法對在橫向、斜向和縱向磁場中的鐵磁薄板的磁彈性屈曲問題進(jìn)行了分析。Kou等[12]對傾斜磁場中鐵磁板的諧振特性進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究。王省哲等[13]針對傾斜磁場環(huán)境中鐵磁板的非線性彎曲問題進(jìn)行理論分析。Gao[14]對懸臂矩形軟鐵磁板在磁彈塑性耦合作用下的屈曲、斷裂和彎曲行為進(jìn)行了分析。胡宇達(dá)等[15-16]針對導(dǎo)電圓板在磁場中的共振問題和超諧-組合共振問題進(jìn)行了研究。Hu等[17]研究了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板的磁彈性軸對稱多模態(tài)共振和Hopf分岔問題，分析了轉(zhuǎn)速及磁場的影響。Irazu等[18]針對渦流效應(yīng)對導(dǎo)電梁的振動(dòng)衰減問題進(jìn)行了研究，分析了磁場作用下梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)特性。

現(xiàn)有研究表明，對于結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)以及磁彈性屈曲、導(dǎo)電結(jié)構(gòu)振動(dòng)等問題的研究相對較多。同時(shí)，因軟鐵磁材料具有較強(qiáng)的磁化效應(yīng)作用因素，將表現(xiàn)出更加復(fù)雜的力學(xué)行為，而其中的非線性振動(dòng)問題也逐漸引起關(guān)注，其研究工作還較少。本文針對鐵磁材料薄板結(jié)構(gòu)，研究常磁靜載作用下系統(tǒng)的非線性振動(dòng)問題，應(yīng)用攝動(dòng)展開法和多尺度法，推得非線性自由振動(dòng)解析解和固有頻率表達(dá)式，分析初值、邊長比、磁場強(qiáng)度等參量對系統(tǒng)固有振動(dòng)特性的影響。

1 基本理論

1.1 動(dòng)能與勢能

考慮各向同性鐵磁性矩形薄板處于上、下不同區(qū)域的外加橫向恒定磁場環(huán)境中(H1為上部橫向磁場強(qiáng)度，H2為下部橫向磁場強(qiáng)度)。對于矩形薄板建立直角坐標(biāo)系(x，y，z)，如圖1所示。矩形板厚度為h，長為l，寬為b，質(zhì)量密度為ρ。以下將通過推導(dǎo)，得出磁場環(huán)境下鐵磁矩形薄板的磁彈性耦合振動(dòng)方程。

圖1 磁場中鐵磁矩形板模型

處于外加磁場環(huán)境下的鐵磁矩形薄板，設(shè)板內(nèi)任取一點(diǎn)的變形位移分量在直角坐標(biāo)系下可表示為

(1)

則矩形板的速度分量可以表示為

(2)

由此可得系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式為

(3)

基于彈性理論，板的彎曲形變勢能和中面應(yīng)變勢能的表達(dá)式分別為

(4)

(5)

1.2 電磁力

根據(jù)磁彈性相互作用的理論模型[19]，可得出各向同性軟鐵磁介質(zhì)受到的磁化磁體力

(6)

式中：Hni(i=1,2)為矩形板上、下表面處的法向磁場強(qiáng)度，易由電磁邊界條件確定；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為相對磁導(dǎo)率；χm為材料的磁化率，χm=μr-1。

磁場中鐵磁矩形板所受洛倫茲力表達(dá)式為

f(fx,fy,fz)=J×B

(7)

式中：J=σ0(V×B)為電流密度矢量；B=μ0μrH為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量；σ0為電導(dǎo)率。

設(shè)在矩形板內(nèi)部，磁場沿軸z線性分布，則

(8)

根據(jù)式(2)和式(7)，并忽略面內(nèi)位移，可得直角坐標(biāo)系下鐵磁矩形板所受各方向洛倫茲體力為

(9)

將式(9)沿板厚方向z進(jìn)行積分，可進(jìn)一步求得薄板所受的單位面積電磁力矩式

(10)

(11)

故橫向磁場中鐵磁矩形板所受總電磁力的虛功式為

(12)

1.3 振動(dòng)方程

根據(jù)哈密頓變分原理，有

(13)

式中，t1和t2為積分時(shí)間域。最后將式(3)～式(5)代入到式(13)，整理得鐵磁矩形薄板的橫向磁彈性振動(dòng)方程為

(14)

其中，幾何非線性下的中面內(nèi)力表示為

(15)

2 靜磁力作用下矩形板振動(dòng)方程

對于橫向常磁場環(huán)境下的鐵磁矩形板，將式(6)、式(10)、式(11)和式(15)代入式(14)中，可得到如下含常磁靜載項(xiàng)的位移型非線性振動(dòng)方程

(16)

設(shè)矩形板在靜磁力Q作用下產(chǎn)生的靜撓度w0，振動(dòng)時(shí)的擾動(dòng)撓度為w1，則總撓度可攝動(dòng)展開為

w=w0+w1

(17)

初始撓度w0滿足方程：

(18)

對于四邊簡支邊界條件，設(shè)

(19)

將式(19)代入式(18)，可求得如下確定f0的代數(shù)方程

(20)

其中

同樣，再將擾動(dòng)位移函數(shù)設(shè)為

(21)

最終，將式(17)代入式(16)，并結(jié)合式(21)和式(19)及求得的f0，通過伽遼金離散可推得擾動(dòng)振動(dòng)方程為

A1q″(t)+A2q′(t)+A3q(t)+A4q2(t)+

A5q3(t)=0

(22)

其中

3 非線性振動(dòng)解析解和固有頻率

下面對呈現(xiàn)弱非線性特征振動(dòng)系統(tǒng)的非線性固有振動(dòng)問題進(jìn)行解析求解，并將式(21)寫為

ε2B3q3(t)=0

(23)

用多尺度法求解微分方程，在時(shí)間尺度上討論二次近似解，取T0=t，T1=εt，T2=ε2t。則振動(dòng)微分方程的近似解可表示為：

q(t,ε)=q0(T0,T1,T2)+εq1(T0,T1,T2)+

ε2q2(T0,T1,T2)

(24)

將式(24)代入式(23)，令ε的同次冪項(xiàng)相等得到

(25)

(26)

(27)

式(25)的通解為

(28)

將式(28)代入式(26)得

(29)

式中，cc為左邊各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。為消除避免久期項(xiàng)，可得

(30)

從而解得

(31)

將式(28)和式(31)代入式(27)右邊，為消除久期項(xiàng)，可得

(32)

從而解得

(33)

為確定復(fù)數(shù)函數(shù)A，將A對t的導(dǎo)數(shù)寫作

(34)

再將復(fù)函數(shù)A寫作指數(shù)形式

(35)

將式(35)代入式(34)并應(yīng)用式(29)和式(32)，進(jìn)行實(shí)部與虛部分離得

(36)

其解為

(37)

式中，a0和β0均為取決于初始條件的積分常數(shù)。

最終，將以上求得的各冪次解代回式(24)，得出非線性振動(dòng)系統(tǒng)的二次近似解為

(38)

其中

(39)

從而得到系統(tǒng)的首階非線性固有振動(dòng)頻率為

(40)

4 算例分析

對于橫向磁場中受靜磁力作用的鐵磁矩形薄板，在四邊簡支邊界條件下進(jìn)行算例分析，矩形薄板長l=0.6 m，寬b=0.2 m，所選材料物理參數(shù)如表1所示。

表1 薄板物理參數(shù)

4.1 結(jié)果對比

3種不同材料矩形板，其數(shù)值解與解析解的響應(yīng)圖與相圖結(jié)果對比圖，分別如圖2、圖3所示。其中，數(shù)值解采用龍格庫塔法對微分方程式(22)進(jìn)行求解，解析解為采用多尺度法求得的結(jié)果式(38)而計(jì)算得到的，并將獲得的數(shù)值解與解析解的響應(yīng)圖和相圖進(jìn)行對比分析。由圖2及圖3可見，數(shù)值解與解析解的曲線基本吻合，驗(yàn)證了本文采用多尺度法求解的正確性。

(a) 低碳鋼

(a) 低碳鋼

4.2 固有頻率隨時(shí)間變化規(guī)律

3種不同材料的矩形薄板，在取板厚、初值和磁場強(qiáng)度不同時(shí)，固有頻率隨時(shí)間變化的特性規(guī)律曲線圖,分別如圖4～圖6所示。由3幅圖均可看到，隨著時(shí)間的增加，3種材料鐵磁矩形板的固有頻率會趨于定值。其原因在于，本文采用多尺度法求得的非線性固有振動(dòng)頻率式(40)中，存在一個(gè)含時(shí)間t的負(fù)指數(shù)衰減項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)間增大時(shí)，固有頻率值將逐漸變小，最終會趨于一定常值，只在初始階段固有頻率隨時(shí)間有明顯變化，體現(xiàn)了系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性。

圖4中曲線表明，當(dāng)磁場存在時(shí)，板厚越大，頻率越大，且隨著時(shí)間的增加而逐漸減小。由圖5可知，當(dāng)初值不同時(shí)，頻率的初始值也不同，并且當(dāng)初值越大時(shí)，頻率初始值也越大；但是隨著時(shí)間的增加，初值的影響越來越小，頻率值快速下降，最終趨于一定值。圖6中曲線表明，當(dāng)上、下表面磁場強(qiáng)度均為零時(shí)，固有頻率不隨時(shí)間的增加而發(fā)生變化，此時(shí)相當(dāng)于無外加磁場情況；當(dāng)上表面磁場強(qiáng)度為零，而下表面磁場強(qiáng)度不為零時(shí)，其固有頻率隨時(shí)間的增加而逐漸減小。對比圖6(a)～圖6(c)中各材料的頻率變化曲線可知，當(dāng)上下表面磁場強(qiáng)度均為零，即無磁場情況時(shí)，馬氏體鋼和低碳鋼材料矩形板的固有頻率大小相當(dāng)，而灰鑄鐵材料的固有頻率明顯偏小；根據(jù)表1可知，這是由材料物理參數(shù)的不同導(dǎo)致的。

(a) 低碳鋼

(a) 低碳鋼

(a) 低碳鋼

通過龍格庫塔法求解得到的不同初值時(shí)，3種不同材料矩形薄板的功率譜圖，如圖7所示。將各圖中不同材料矩形板的固有頻率與圖5進(jìn)行比較，結(jié)果基本一致，說明了本文解析解的可靠性。

(a) 低碳鋼

4.3 頻率隨不同特征參數(shù)變化規(guī)律

3種不同材料的矩形薄板，當(dāng)板厚不同時(shí)，其固有頻率隨初值變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖8所示。由圖8可知，3種材料的固有頻率隨初值的變化規(guī)律有相同之處：板厚越大，固有頻率越大；隨初值的增大，其振動(dòng)頻率也隨之增大。通過對比圖8(a)～圖8(c)，即3種材料的頻率變化關(guān)系曲線可知，其不同之處為：低碳鋼材料矩形板的固有頻率隨初值增大而增大最多，其次是灰鑄鐵，最后是馬氏體鋼；且對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，板厚增大會使固有頻率的增大幅度變小。出現(xiàn)上述的原因可根據(jù)固有頻率表達(dá)式得到，當(dāng)選定一種材料且時(shí)間及其他參數(shù)確定時(shí)，固有頻率的大小主要由初值所在的衰減項(xiàng)決定，且衰減項(xiàng)為正，故初值越大固有頻率越大；當(dāng)其他參數(shù)和時(shí)間均相同時(shí)，可知固有頻率的增大幅度主要受衰減項(xiàng)中指數(shù)項(xiàng)影響，對比3種材料的物理參數(shù)并考慮式(40)，故可得出各材料頻率受初值影響大小的順序依次為：低碳鋼、灰鑄鐵、馬氏體鋼。

(a) 低碳鋼

3種不同材料的矩形薄板，當(dāng)取不同初值時(shí)，其固有頻率隨邊長比g(矩形板短邊長度與長邊長度的比值)變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖9所示。由圖9可知，對于3種材料均有：在給定相同參數(shù)時(shí)，隨矩形板邊長比的增大，其固有頻率隨之減小。對于馬氏體鋼材料的矩形薄板，觀察圖9(c)中頻率隨邊長比的變化關(guān)系曲線，分析頻率表達(dá)式(40)中各參數(shù)之間的關(guān)系可知，當(dāng)邊長比增大到一定值時(shí)，與初值項(xiàng)相關(guān)的衰減項(xiàng)中會出現(xiàn)為零的情況，故不同初值的頻率曲線會相交于一點(diǎn)，在交點(diǎn)的左側(cè)，初值越大，固有頻率越大；在交點(diǎn)的右側(cè)，初值越大，固有頻率反而越??；由低碳鋼和灰鑄鐵材料的頻率變化關(guān)系曲線可知，在邊長比一定時(shí)，初值越大，其固有頻率越大。

(a) 低碳鋼

3種不同材料的矩形薄板，當(dāng)取不同板厚時(shí)，其固有頻率隨邊長比g變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖10所示。由圖10可知，對于3種材料均有：固有頻率隨邊長比的增大而減小。對于馬氏體鋼材料，基于得出的固有頻率表達(dá)式(40)可知，當(dāng)邊長比取特定值時(shí)，存在相同的固有頻率值，此時(shí)3條曲線交于一點(diǎn)，并使得左、右側(cè)的頻率呈現(xiàn)不同變化規(guī)律。對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，由圖10(a)和圖10(b)可知，在邊長比一定時(shí)，板厚越大，其固有頻率越大。

(a) 低碳鋼

3種不同材料的矩形薄板，當(dāng)其處于上、下表面磁場強(qiáng)度之和一定的磁場環(huán)境中，取不同初值和不同板厚時(shí)，其固有頻率隨下表面磁場強(qiáng)度變化的特性規(guī)律曲線圖，如圖11、圖12所示。從兩圖中均可看出，低碳鋼和灰鑄鐵材料在上述磁場條件下，其頻率隨下表面磁場強(qiáng)度的增大，并無明顯變化。而材料為馬氏體鋼的矩形板固有頻率隨下表面磁場強(qiáng)度的增大有明顯變化趨。

由圖11知，當(dāng)初值取值很小時(shí)，系統(tǒng)頻率隨磁場強(qiáng)度的增大先減小到最低點(diǎn)再增大，當(dāng)初值取值超過一定數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)頻率會隨磁場強(qiáng)度的增大而呈現(xiàn)相反趨勢，先增大到最高點(diǎn)，然后再減小。出現(xiàn)這種情況的原因由固有頻率表達(dá)式(40)可知，當(dāng)其他參數(shù)確定并取上述磁場條件時(shí)，對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，隨下表面磁場強(qiáng)度的增大其頻率表達(dá)式中衰減項(xiàng)所受影響很小，故頻率無明顯變化；而對于馬氏體鋼材料，其衰減項(xiàng)所受影響較大，故曲線有明顯變化；當(dāng)上下表面磁場強(qiáng)度相等時(shí)，出現(xiàn)極值點(diǎn)，此時(shí)衰減項(xiàng)最大，頻率達(dá)到峰值。

(a) 低碳鋼

由圖12可知，對3種材料均有：板厚越大，固有頻率越大。對于馬氏體鋼材料矩形板，其固有頻率隨下表面磁場強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因?yàn)?，?dāng)其他條件確定，且取上述磁場條件時(shí)，對于低碳鋼和灰鑄鐵材料，下表面磁場強(qiáng)度的增大對頻率衰減項(xiàng)的影響很小，故曲線無明顯變化；而對于馬氏體鋼材料，可知其頻率表達(dá)式中衰減項(xiàng)受磁場強(qiáng)度的影響并不是很小，故可看出其變化。

(a) 低碳鋼

5 結(jié) 論

本文研究了常磁場環(huán)境下鐵磁材料矩形板的非線性振動(dòng)問題，確定了靜磁產(chǎn)生的靜撓度，應(yīng)用近似解析法推得非線性系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)解和依賴于初值、時(shí)間變量的固有頻率式，并給出算例分析。結(jié)果表明：

(1) 在相同條件下，3種材料矩形板固有頻率特性隨不同參數(shù)的變化有相同之處。即——隨時(shí)間推移，固有頻率最終接近于一定值；隨初值的增大，其頻率逐漸增大；隨上下表面磁場強(qiáng)度的變化，會呈現(xiàn)出對稱的趨勢，邊長比的增大，則使頻率值逐漸減小。

(2) 在相同條件下，各材料的頻率變化規(guī)律不同之處為：隨初值的增大，固有頻率的增大幅度不同；隨上下表面磁場強(qiáng)度的變化，低碳鋼和灰鑄鐵材料的頻率無明顯變化。