劉正浩， 丁 舉， 毛獻(xiàn)群

(1. 中國船舶及海洋工程設(shè)計研究院， 上海 200011； 2. 噴水推進(jìn)技術(shù)重點實驗室， 上海 200011)

隨著對螺旋槳靜音性能的要求愈加嚴(yán)格，在設(shè)計中對螺旋槳的動力響應(yīng)特性更加重視[1-2]。螺旋槳的模態(tài)參數(shù)是進(jìn)行動力響應(yīng)分析的前提和基礎(chǔ)[3]，在這方面，黃政等[4-7]開展了螺旋槳模態(tài)的數(shù)值與試驗研究，這些研究中，分別是通過加速度傳感器和電阻應(yīng)變片對槳葉動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行測量，得到固有頻率和模態(tài)阻尼比等參數(shù)。吳武輝等還進(jìn)一步研究了傳感器質(zhì)量效應(yīng)對于頻率測量結(jié)果的影響，說明隨著傳感器數(shù)量增加，試驗得到的固有頻率有明顯的降低。實際上，螺旋槳模態(tài)試驗常常針對縮尺模型展開，對于縮尺槳模，單槳葉和傳感器的質(zhì)量對比并未達(dá)到可忽略傳感器質(zhì)量效應(yīng)的程度，并且，高階模態(tài)由于模態(tài)有效質(zhì)量更小，對于傳感器的質(zhì)量效應(yīng)更加敏感，試驗結(jié)果可能帶有更大誤差。由于接觸式測量方法用于螺旋槳模態(tài)試驗的弊端，本文研究了利用聲信號并基于希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform，HHT)方法識別螺旋槳的模態(tài)參數(shù)。HHT包含經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夂拖柌刈儞Q兩步，是一種處理非線性、非平穩(wěn)信號的方法[8-9]。目前，該方法在水利和建筑等行業(yè)有應(yīng)用的先例。范興超等[10]使用該方法針對飛機(jī)模型的加速度響應(yīng)信號進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)的識別；針對位移響應(yīng)信號，魏博文等[11]基于HHT識別拱壩的固有頻率和阻尼比。在利用聲信號并基于HHT方法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)方面，夏茂龍等[12]研究了利用近場聲信號并基于HHT方法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，并通過數(shù)值算例說明了該方法的準(zhǔn)確性。本文基于聲學(xué)外場邊界元理論，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)物在沖擊作用下的聲輻射信號與模態(tài)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，突破了進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別必須采用近場聲信號的限制，并通過數(shù)值模擬進(jìn)行驗證，證明了所建立數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，同時還驗證了該方法在較低的信噪比(signal-noise ratio，SNR)下仍具有足夠高的識別精度。在此基礎(chǔ)上，本文將該方法應(yīng)用到螺旋槳模型的模態(tài)參數(shù)識別試驗中，成功通過該方法識別得到螺旋槳模型的前兩階模態(tài)頻率和阻尼比，明確該方法在實際工程中實用、有效。

1 理 論

1.1 結(jié)構(gòu)振動聲信號與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系

自由空間中，結(jié)構(gòu)物振動聲輻射的過程可通過基爾霍夫-赫姆霍茲方程進(jìn)行描述[13]，如式(1)是無空間分布聲源的情況，空間中一點的聲壓PF(r,t)可通過振動結(jié)構(gòu)表面的聲壓和速度分布積分得到

(1)

式中：r′為位移矢量；nr′為結(jié)構(gòu)表面法向；S為結(jié)構(gòu)物表面；P(r′)為結(jié)構(gòu)表面的聲壓分布；G(r,r′;ω)=exp(ik·|r-r′|)/4π|r-r′|為三維空間格林函數(shù)。對式(1)，通過邊界元方法，可表示成矩陣方程的形式，首先將場點布置于結(jié)構(gòu)物表面，并作邊界元離散，得到矩陣方程式如下

(2)

(3)

(4)

結(jié)構(gòu)物的振型方程可以采用有限元形式表示如下

{F(t)}

(5)

{x(t)}=[Φ]{q(t)}

(6)

(7)

(8)

[Mr]-1[Φ]T{F(t)}

(9)

式中：[Cr]=[Mr]-1[Φ]T[C][Φ]，其中[C]為阻尼矩陣；[Kr]=[Mr]-1[Φ]T[K][Φ]，[K]為剛度矩陣；[Mr]=[Φ]T[M][Φ]，[M]為質(zhì)量矩陣，這些都是對角矩陣。矩陣方程式(9)中，第j階模態(tài)節(jié)點的振動方程可為

(10)

式中，{F(t)}為作用于結(jié)構(gòu)物表面作用力向量，假設(shè)在k節(jié)點作用一個沖擊載荷fk(t)=δ(t)并且其他節(jié)點上沒有作用力，則式(10)可表示成

(11)

式中:ωj為第j階固有頻率；ζj為第j階模態(tài)的阻尼比；φjk為j階振型向量的第k個元素。

對于式(11)，可求解得到

(12)

由式(7)有

(13)

其中，第p個節(jié)點的速度響應(yīng)可以表示為

(14)

其中

(15)

表示第j階模態(tài)振型對于節(jié)點p速度響應(yīng)的貢獻(xiàn)。φpj,k為j階振型中節(jié)點p和k的相位差，Bpj,k=φpj/mωdj。將式(15)代入式(4)，則由于結(jié)構(gòu)物第j階模態(tài)響應(yīng)引起的空間中場點F的聲壓可以表示成

(16)

式(16)建立了場點F的聲信號與結(jié)構(gòu)物模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系。

1.2 HHT方法識別模態(tài)參數(shù)

1.2.1 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法(empirical mode decomposition, EMD)認(rèn)為任何復(fù)雜的信號都是由一些不同尺度的本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function, IMF)構(gòu)成。每個IMF具有以下特征：極點和零點的數(shù)量相等或者相差一個，極點之間形成的上下包絡(luò)線的平均值始終為零。由于具有這樣的性質(zhì)，IMF具有良好的希爾伯特變換特性。其分解過程表達(dá)如下

(17)

式中：P(t)為原始信號；Pj(t)為從原始信號分解出來的m階IMF；r(t)為原始信號中的常量。對于式(3)所表示的聲信號，經(jīng)EMD分解之后的每一個IMF并不和每一階模態(tài)響應(yīng)一一對應(yīng)。文獻(xiàn)[14]證明，先以某一階模態(tài)頻率為中心頻率對原始信號進(jìn)行帶通濾波，再進(jìn)行EMD，得到的第一階IMF就是結(jié)構(gòu)的對應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)。在帶通濾波處理上，文獻(xiàn)[15]和夏茂龍等的研究采用Chebyshev I 類帶通濾波器，本文工作中經(jīng)過實踐，從減小濾波信號相位延遲考慮，采用有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)線性濾波器。

1.2.2 模態(tài)參數(shù)識別

對采樣得到的聲壓進(jìn)行希爾伯特變換及化簡過程可參考Huang等的研究和文獻(xiàn)[16]。最后得到聲壓解析信號的瞬時幅值和瞬時相位如下

(18)

(19)

對于式(18)等號兩邊取對數(shù)，得到

(20)

即瞬時幅值的對數(shù)和時間之間存在線性關(guān)系，斜率就是-ζjωj。并且從式(19)可見瞬時相位和時間成線性關(guān)系，斜率是ωdj。假設(shè)

-ζjωj=k1

(21)

ωdj=k2

(22)

斜率k1和k2可通過線性擬合得到，聯(lián)立

(23)

就可以計算得到第j階模態(tài)的固有頻率ωj和阻尼比ζj。

經(jīng)以上分析，利用結(jié)構(gòu)物的沖擊聲輻射信號并基于HHT方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別的流程總結(jié)如圖1所示。

圖1 模態(tài)參數(shù)識別流程圖

2 數(shù)值模擬

在本章，通過數(shù)值模擬首先對目標(biāo)槳模進(jìn)行模態(tài)分析，得到槳模的前兩階固有頻率，在此基礎(chǔ)上，分別基于瞬態(tài)振動分析方法和瞬態(tài)聲學(xué)邊界元方法進(jìn)行槳模在沖擊載荷作用下的振動響應(yīng)和聲輻射仿真，最后提取一段時間的聲信號進(jìn)行HHT分析，從而從數(shù)值仿真的角度評估HHT方法識別螺旋槳模態(tài)參數(shù)的精度。在槳模的瞬態(tài)振動分析中，為驗證基于聲信號的HHT算法識別模態(tài)阻尼比的準(zhǔn)確性，人為設(shè)定前兩階模態(tài)阻尼比都為0.01。需說明的是，0.01并非是真實的阻尼比，人為設(shè)定該參數(shù)只是為了驗證算法的準(zhǔn)確性。螺旋槳模型直徑為240 mm，盤面比約為0.74，帶有30°側(cè)斜角，材質(zhì)為鋁合金，根據(jù)質(zhì)材檢測報告，彈性模量為59 GPa，密度為2.7 t/m3。

2.1 槳葉的模態(tài)分析

通過有限元方法對槳葉進(jìn)行正則模態(tài)計算，槳模葉根處采取剛固約束。計算結(jié)果如表1及圖2所示?？梢姌~的第一階模態(tài)振型是軸向彎曲振型，第二階模態(tài)振型是弦向扭轉(zhuǎn)振型。

表1 槳葉的前兩階固有頻率

(a) 第一階振型

2.2 槳葉在沖擊振動下的近場噪聲

在槳葉正則模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，基于有限元瞬時振動響應(yīng)計算方法，數(shù)值模擬槳葉中部受到單位沖擊作用時的振動響應(yīng)。在完成槳葉的瞬態(tài)振動計算之后，以槳葉表面的速度分布作為聲學(xué)邊界元的邊界條件，進(jìn)行瞬態(tài)聲學(xué)邊界元計算。計算總時長設(shè)置為0.05 s，計算時間步長為1/20 480 s。之后，在距離槳葉表面任意位置垂直距離2 mm處取場點1，提取聲壓信號，并通過HHT方法處理并識別模態(tài)參數(shù)。場點1采集到的聲壓信號的時域和頻域曲線如圖3所示。由于進(jìn)行數(shù)值計算的總時長為0.05 s，經(jīng)FFT之后的頻率間隔最小為20 Hz，從圖3中可見前兩個峰值分別位于1 260 Hz和1 800 Hz，考慮頻率分辨率，可大致確定前兩階固有頻率分別處于1 240～1 280 Hz和1 780～1 820 Hz內(nèi)。

(a) 時域曲線

2.3 基于槳葉聲信號的模態(tài)參數(shù)識別

在大致確定槳葉的前兩階固有頻率的范圍之后，通過Kaiser窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。FIR濾波器具有穩(wěn)定及線性相位的優(yōu)點[17]。針對槳葉第一階固有頻率，設(shè)計帶通范圍為1 240 Hz～1 280 Hz，對于槳葉第二階固有頻率，設(shè)計帶通范圍為1 780～1 820 Hz，設(shè)計階數(shù)都為200。兩個濾波器的幅值曲線如圖4所示。

(a)

通過所設(shè)計的濾波器，分別對場點1的聲壓信號進(jìn)行濾波處理。由于濾波后的信號存在相位延遲，還需要根據(jù)階數(shù)進(jìn)行相位的修正[18-19]。場點1的聲壓信號分別經(jīng)過以上兩個數(shù)字濾波器濾波及相位延遲修正之后結(jié)果如圖5所示。

分別對濾波后的信號進(jìn)行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)，EMD分解后的第一階固有模態(tài)函數(shù)(IMF)就是對應(yīng)該階模態(tài)的響應(yīng)數(shù)據(jù)。分別對圖5中的兩組濾波后的信號進(jìn)行EMD之后得到的第一階IMF，如圖6所示。

(a) 第一階固有頻率濾波結(jié)果

(a)

分別對圖6中的前兩階模態(tài)響應(yīng)信號進(jìn)行希爾伯特變換(Hilbert transform，HT)，獲得槳葉前兩階模態(tài)響應(yīng)信號的瞬時幅值譜和瞬時相位譜，并對瞬時幅值譜取對數(shù)，繪制成曲線，并以最小二乘法線性擬合，結(jié)果，如圖7所示。

(a) 第一階

由圖7可見，瞬時幅值和瞬時相位曲線的端點存在嚴(yán)重的端點效應(yīng)，這是由于前述數(shù)據(jù)的端點效應(yīng)累計造成，包括使用FIR濾波器造成的端點數(shù)據(jù)失真和使用EMD分解造成的端點數(shù)據(jù)失真。對此，在進(jìn)行最小二乘擬合時，去掉尾端部的一段數(shù)據(jù)，最終得到槳葉的前兩階模態(tài)參數(shù)如表2所示。

表2 槳葉前兩階模態(tài)頻率與阻尼比

從計算結(jié)果可見，HHT方法可以很準(zhǔn)確地識別槳葉前兩階固有頻率和模態(tài)阻尼比，相比FFT方法，固有頻率識別準(zhǔn)確度更高，說明該方法具有很好的頻率分辨率自適應(yīng)性。此外，阻尼比識別結(jié)果非常準(zhǔn)確，和數(shù)值解一致。

場點1位于表面附近，其聲壓信號主要受到鄰近單元的影響，在文獻(xiàn)[20-21]中，使用點聲源模型表示其聲壓信號，其中源強(qiáng)為單元體積速度。本文中，式(16)建立了空間中任意場點和結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的關(guān)系，采樣點不必要布置在近場。下面在距離槳葉較遠(yuǎn)的位置選取編號2～6共5個場點，分別是場點1沿著軸線方向平移100 mm，200 mm，300 mm，400 mm，500 mm得到(見圖8)。以場點2～6的聲壓信號進(jìn)行結(jié)構(gòu)物的模態(tài)參數(shù)識別，結(jié)果如表3所示。

圖8 距離槳葉較遠(yuǎn)的場點

表3 場點2～6聲壓信號的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

由表3可知，基于遠(yuǎn)場點的聲壓信號識別的槳葉模態(tài)參數(shù)依然具有非常高的準(zhǔn)確度，其中固有頻率的誤差小于1‰，阻尼比最大誤差為1%。當(dāng)然，以上數(shù)據(jù)只是基于數(shù)值模擬，所采樣的聲壓信號都是理想狀態(tài)下的，不受實際環(huán)境噪聲影響。為將該方法推廣到實際工程應(yīng)用中，還需要對環(huán)境噪聲的影響進(jìn)行評估。

2.4 環(huán)境噪聲對于模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果的影響

為評估環(huán)境噪聲對于模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果的影響，以槳葉的第一階固有頻率f1=1 253.5 Hz以及ζ1=0.01的阻尼比構(gòu)建一標(biāo)準(zhǔn)衰減信號，表達(dá)式如下

(24)

以20 480 Hz的采樣頻率對該信號進(jìn)行采樣，采樣時長0.05 s，得到一組標(biāo)準(zhǔn)衰減信號，另外，通過添加高斯白噪聲方式來模擬環(huán)境噪聲，并定義信噪比為1～10 240 Hz頻帶內(nèi)的目標(biāo)信號和噪聲信號的總能量之比，如下

(25)

式中：ST為目標(biāo)信號；N為噪聲信號。通過設(shè)置白噪聲信號的幅值，可將SNR大概限制在某一數(shù)值，可定量地評估信噪比對于模態(tài)參數(shù)識別精度的影響。以下研究信噪比分別為9 dB，6 dB，3 dB，0，-3 dB，-6 dB，-9 dB，-12 dB，-15 dB情況下模態(tài)參數(shù)的識別結(jié)果。需要說明的是：由于白噪聲通過隨機(jī)數(shù)算法產(chǎn)生，因此，對于某個信噪比，不一定能夠精確達(dá)到，例如，目標(biāo)信噪比為3 dB，實際信噪比可能是3.1 dB。由于白噪聲的偶然性，因此，對于每一個信噪比下的模態(tài)參數(shù)識別仿真，都重復(fù)100次，取結(jié)果的平均值。以上不同信噪比下模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果如表4所示；部分信噪比的時域曲線如圖9所示。

(a) 9 dB

表4 不同信噪比的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

由表4可知，隨著信噪比降低，固有頻率和模態(tài)阻尼比的識別結(jié)果精度都隨之降低。其中，模態(tài)阻尼比的誤差相對較大，相比之下，即使在較低的信噪比(-15 dB)下，固有頻率的識別結(jié)果依然可以保證比較高的精度(0.11%)。相對而言，在低信噪比下，模態(tài)阻尼比存在較大的誤差，這是因為模態(tài)阻尼比的數(shù)值比固有頻率小5個數(shù)量級，在運算過程中，同樣絕對值的誤差會對模態(tài)阻尼比的計算精度造成更大的影響。

實際工程環(huán)境中，由于無法保證測量環(huán)境的全自由場屬性以及無法避免背景噪聲，所測量得到的信號會存在一定的噪聲污染，本數(shù)值算例說明在相當(dāng)?shù)偷男旁氡戎?，基于HHT方法依然可以較為準(zhǔn)確地識別模態(tài)參數(shù)，證明該方法在工程應(yīng)用中的實用性。

3 模型試驗

下面從試驗角度對HHT方法識別模態(tài)參數(shù)的實用性進(jìn)行驗證。試驗過程中，為實現(xiàn)較高的信噪比，傳聲器布置于槳葉壓力面0.7倍半徑弦長中部，與表面的垂直距離約為5 mm，通過力錘敲擊槳葉梢部并同時記錄聲壓信號。試驗示意圖和實景圖如圖10所示。傳聲器采集的聲壓信號如圖11所示，采樣頻率為25 600 Hz，采樣時長為1 s。

(a)

圖11 傳聲器采集的聲壓信號

從原始信號中間位置截取一段進(jìn)行分析，截取段樣本長度為2 048。對于所截取的信號，通過1.2節(jié)中羅列的步驟進(jìn)行處理，最終得到槳葉第一、第二階固有頻率和模態(tài)阻尼比，如表5所示。表5中將試驗測量的固有頻率和模態(tài)數(shù)值計算結(jié)果(見表1)進(jìn)行了對比，結(jié)果顯示試驗和數(shù)值結(jié)果比較接近，第一、第二階的差異分別為0.9%和2.7%。槳葉第一階模態(tài)識別數(shù)據(jù)處理過程的部分曲線圖如圖12所示，由圖12可知，對數(shù)幅值曲線存在小振幅的波動，而相位曲線則具有非常高的線性度，第二階模態(tài)識別過程的相關(guān)曲線與第一階類似。

(a) 截取的信號段

表5 螺旋槳模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

4 結(jié) 論

本文通過自由場環(huán)境下外部直接聲學(xué)邊界元方法的推導(dǎo)，建立了結(jié)構(gòu)振動時外場輻射聲壓和結(jié)構(gòu)物模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系，相比于夏茂龍等和Xu等的研究在結(jié)構(gòu)物近場提取聲壓信號進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識別分析，從理論上闡明了在遠(yuǎn)場采集的聲信號同樣可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)物模態(tài)參數(shù)的識別。在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)值仿真手段驗證了所建立理論模型的遠(yuǎn)、近場適用性以及在較低信噪比下的準(zhǔn)確性。最后，將該方法應(yīng)用在一槳模的模態(tài)參數(shù)識別試驗中，成功識別槳模的前兩階固有頻率及模態(tài)阻尼比。本文的工作表明基于HHT算法的聲信號模態(tài)參數(shù)識別方法可為槳模等精細(xì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別提供一種新的途徑。