姜 帥，林遠(yuǎn)鵬，趙茂然，劉佳楠，張帥帥

（山東科技大學(xué)a.電氣信息系；b.斯威本學(xué)院，濟(jì)南 250031）

0 引言

理論力學(xué)是機(jī)械工程類專業(yè)學(xué)生的一門學(xué)科基礎(chǔ)課，在教學(xué)過程中學(xué)生只注重理想情況下機(jī)構(gòu)動力學(xué)理論知識的學(xué)習(xí)，缺乏在教學(xué)過程中鍛煉學(xué)生數(shù)值計算和實驗虛擬仿真的實踐能力。在實際情況下，由于制造準(zhǔn)確度的限制、裝配的需求以及構(gòu)件之間的磨損，運動副不可避免地存在間隙［1-3］。為培養(yǎng)學(xué)生精確動力學(xué)模型建立、數(shù)值計算和實驗仿真研究的能力，本文以六桿機(jī)構(gòu)為例，對含間隙六桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模、數(shù)值求解及虛擬樣機(jī)仿真進(jìn)行研究。

目前，不少學(xué)者對含間隙機(jī)構(gòu)展開研究。金國光等［4］基于牛頓-歐拉方程建立曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的含間隙動力學(xué)方程，研究轉(zhuǎn)動副間隙對曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響。陳宇等［5］基于拉格朗日乘子法建立含混合間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，研究轉(zhuǎn)動副間隙和移動副間隙的耦合效應(yīng)對機(jī)構(gòu)性能的影響。趙富強(qiáng)等［6］研究轉(zhuǎn)動副間隙對雙推桿機(jī)械臂運動特性和動態(tài)響應(yīng)的影響。Ambrósio 等［7］對比分析了理想機(jī)構(gòu)和含間隙機(jī)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)間隙使得曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性降低。趙海洋等［8］通過ADAMS 仿真軟件分析了轉(zhuǎn)動副間隙對曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運動特性的影響。邱海飛［9］研究了轉(zhuǎn)動副間隙模型，分析含間隙四桿打緯機(jī)構(gòu)的力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動副間隙降低了四桿打緯機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。王庚祥等［10］以五桿機(jī)構(gòu)為研究對象，研究運動副間隙對機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性以及磨損特性的影響。秦浙等［11］建立了含轉(zhuǎn)動副間隙旋轉(zhuǎn)移栽機(jī)的動力學(xué)模型，并對彈射式移栽機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)仿真分析，發(fā)現(xiàn)間隙運動副嚴(yán)重影響機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的運動特性。

為培養(yǎng)學(xué)生的建模與分析能力，提高學(xué)生的實踐動手能力與創(chuàng)新意識，本文以含轉(zhuǎn)動副間隙六桿機(jī)構(gòu)為研究對象，聯(lián)合運用Matlab、SolidWorks、ADAMS 進(jìn)行數(shù)值計算和虛擬樣機(jī)仿真。建立含轉(zhuǎn)動副間隙六桿機(jī)構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)建含轉(zhuǎn)動副間隙六桿機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)仿真模型。增加教學(xué)過程的多樣性、直觀性和生動性，培養(yǎng)學(xué)生對工程軟件應(yīng)用能力及工程設(shè)計的素養(yǎng)。

1 轉(zhuǎn)動副間隙模型建立

平面轉(zhuǎn)動副間隙模型，如圖1 所示。

圖1 轉(zhuǎn)動副間隙模型

圖中：R1和R2分別為軸承和軸半徑；P1和P2分別為軸承和軸的中心。間隙運動副中軸和軸承之間的偏心距

軸承和軸間的偏心矢量為

含間隙轉(zhuǎn)動副的嵌入深度

式中，c＝R1－R2為間隙值大小。

如圖1 所示，含間隙轉(zhuǎn)動副中軸在軸承中的運動狀態(tài)可分成：自由狀態(tài)、連續(xù)接觸狀態(tài)和碰撞狀態(tài)3 種情況。軸和軸承發(fā)生碰撞的判定標(biāo)準(zhǔn)為

L-N法向碰撞力模型作為一個非線性黏彈性模型，適用于一般機(jī)械接觸碰撞問題，特別是恢復(fù)系數(shù)高以及碰撞過程中能量耗散相對較小的情況。

剛度系數(shù)可以表示為

阻尼系數(shù)可以表示為

式中：ce為恢復(fù)系數(shù)；為初始碰撞速度。

L-N法向碰撞力

為解決速度為0 附近時由摩擦方向引起的數(shù)值積分不穩(wěn)定的問題，Ambrosio引入動態(tài)修正系數(shù)，提出了一種修正的庫侖摩擦力模型。

動態(tài)修正系數(shù)：

式中，v0和v1為給定的速度極限值。

修正的庫侖摩擦力模型

式中，cf為摩擦因數(shù)。

2 含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 結(jié)構(gòu)介紹

如圖2 所示六桿機(jī)構(gòu)由機(jī)架、曲柄1（L1）、連桿2（L2）、搖桿3（L3）、連桿4（L4）及滑塊S5構(gòu)成。曲柄1由伺服電動機(jī)驅(qū)動，滑塊在導(dǎo)軌中做往返直線運動。曲柄1 與連桿2 處的轉(zhuǎn)動副最靠近驅(qū)動構(gòu)件，考慮此處轉(zhuǎn)動副為間隙鉸接。

圖2 六桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

六桿機(jī)構(gòu)的自由度

式中：n為機(jī)構(gòu)的活動構(gòu)件總數(shù)，n＝5；PL為低副數(shù)目，PL＝7；PH為高副數(shù)目，PH＝0。

故該機(jī)構(gòu)自由度為1，可由一電動機(jī)驅(qū)動，驅(qū)動數(shù)等于機(jī)構(gòu)自由度數(shù)。因此，該機(jī)構(gòu)具有確定的運動。

2.2 動力學(xué)模型建立

六桿機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)

含間隙六桿機(jī)構(gòu)位移約束方程

式（12）關(guān)于時間求一階導(dǎo)數(shù)可得速度約束方程

式（12）關(guān)于時間求二階導(dǎo)數(shù)可得加速度約束方程

基于拉格朗日乘子法，含間隙系統(tǒng)動力學(xué)方程

式中：M 為質(zhì)量矩陣；λ為拉格朗日乘子；g 為系統(tǒng)廣義力。

利用Baumgarte違約穩(wěn)定算法可有效提高動力學(xué)模型求解的速度和穩(wěn)定性［12-16］

3 含間隙機(jī)構(gòu)教學(xué)虛擬樣機(jī)模型的建立

在Solidworks建立六桿機(jī)構(gòu)的三維模型，如圖3所示。將Solidworks模型導(dǎo)入ADAMS，依次添加構(gòu)件的材料屬性、運動副約束、驅(qū)動等，并將機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的材料均設(shè)置為Steel。同時，設(shè)置曲柄1 和連桿2 之間存在轉(zhuǎn)動副間隙，通過ADAMS 開展虛擬樣機(jī)試驗仿真研究。虛擬樣機(jī)模型，如圖4 所示。

圖3 以Solidworks建立六桿機(jī)構(gòu)的三維模型

圖4 虛擬樣機(jī)模型

4 含間隙機(jī)構(gòu)實驗教學(xué)平臺動力學(xué)分析

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

六桿機(jī)構(gòu)的桿長、質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)見表1，間隙仿真參數(shù)見表2。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 間隙參數(shù)

4.2 含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)數(shù)值計算結(jié)果分析

為讓學(xué)生了解不同間隙值對機(jī)構(gòu)運動響應(yīng)和動態(tài)特性的影響，基于龍格庫塔數(shù)值求解方法，通過Matkab編程對理想情況、0.1 和0.2 mm 間隙開展數(shù)值計算結(jié)果分析，曲柄的驅(qū)動速度為60 r／m。滑塊的位移、速度和加速度、轉(zhuǎn)動副間隙處碰撞力、曲柄的驅(qū)動力矩、軸在軸承中的嵌入深度、軸在軸承中的中心軌跡分別如圖5、6 所示。

圖5 含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)

圖6 間隙處中心軌跡

如圖5（a）、（b）所示，位移和速度對滑塊的敏感度和振動幅度較小。如圖5（c）～（e）所示，加速度、碰撞力和驅(qū)動力矩對間隙的敏感度較大，產(chǎn)生了劇烈的高頻振動和較大的峰值突變，且三者的振動峰值出現(xiàn)的時間點相近。如圖5（f）、6 所示，由間隙處嵌入深度和中心軌跡圖可知，軸在軸承中的運動軌跡主要集中于2 個對角線上，且軸在軸承中的運動狀態(tài)為自由狀態(tài)、連續(xù)接觸狀態(tài)和碰撞狀態(tài)來回切換，使得軸在軸承中產(chǎn)生不均勻碰撞，產(chǎn)生不同大小的碰撞力，并導(dǎo)致非規(guī)則磨損。

通過不同間隙值對機(jī)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的對比分析，間隙值越大導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的峰值越大、軸在軸承中的嵌入深度越大以及機(jī)構(gòu)的振動頻率加快。可見，間隙值增大會一定程度的影響機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。

4.3 含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)實驗虛擬仿真結(jié)果分析

在ADAMS 中設(shè)置和Matlab 數(shù)值仿真一致的參數(shù)，通過ADAMS仿真軟件對含轉(zhuǎn)動副間隙六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，并將ADAMS 虛擬仿真結(jié)果與Matlab數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。位移、速度、加速度、驅(qū)動力矩及間隙處碰撞力的對比分析圖，如圖7所示。

圖7 ADAMS與Matlab動力學(xué)響應(yīng)對比

通過Matlab數(shù)值計算結(jié)果和ADAMS虛擬仿真結(jié)果的對比分析可知，兩者曲線存在些許的差別，峰值的大小和振動頻率出現(xiàn)差距。ADAMS 虛擬仿真結(jié)果的振動頻率要低于Matlab 數(shù)值計算結(jié)果。ADAMS 虛擬仿真結(jié)果的振動峰值要高于Matlab 數(shù)值計算結(jié)果。主要原因在于，兩者的建模和求解方法存在一定的差異。兩者對應(yīng)曲線的趨勢基本上是一致的。因此，可基本表明，所建理論模型的正確性。

5 結(jié)語

為使學(xué)生充分掌握工程軟件在實際工程中的應(yīng)用，提高學(xué)生對含間隙機(jī)構(gòu)的分析與設(shè)計能力，聯(lián)合應(yīng)用Matlab、SolidWorks 及ADAMS 進(jìn)行機(jī)構(gòu)的設(shè)計、數(shù)值計算及實驗仿真。

（1）建立轉(zhuǎn)動副間隙模型，構(gòu)建含轉(zhuǎn)動副間隙六桿機(jī)構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，并通過Matlab 進(jìn)行數(shù)值求解；

（2）通過ADAMS搭建含轉(zhuǎn)動副間隙六桿機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型，驗證理論模型的正確性。