侯進(jìn)，陳鑫強(qiáng),3

（1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院智能感知智慧運(yùn)維實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756；2.西南交通大學(xué)綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756；3.西南交通大學(xué)計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院，四川 成都 611756）

0 引言

隨著通信、雷達(dá)等領(lǐng)域的發(fā)展，波達(dá)方向（DOA,direction of arrival）估計(jì)逐漸成為人們研究的熱點(diǎn)課題。DOA 估計(jì)的基本問(wèn)題是利用陣列對(duì)空間中某一區(qū)域內(nèi)感興趣的多個(gè)信號(hào)的空間位置進(jìn)行估計(jì)，它面臨的挑戰(zhàn)主要集中在以下4 個(gè)方面：1) 在現(xiàn)實(shí)通信環(huán)境中，受高大建筑物和山丘的阻礙，電磁波在傳播時(shí)將發(fā)生反射，從而產(chǎn)生多徑效應(yīng)，這將使部分DOA 估計(jì)算法失效；2) 出于成本等因素的考慮，實(shí)際陣列的陣元數(shù)往往小于目標(biāo)信源數(shù)，因此，如何在欠定情況下進(jìn)行DOA 估計(jì)成為一個(gè)難題；3) 在某些特定情況下，目標(biāo)信源的來(lái)波方向可能相同，而目前許多DOA 估計(jì)算法無(wú)法對(duì)相同方向角的信源進(jìn)行測(cè)向，因此，“角度兼并”問(wèn)題成為DOA估計(jì)算法的另一挑戰(zhàn)；4) 多快拍數(shù)在一定程度上會(huì)降低DOA 估計(jì)算法的時(shí)效性，因此，如何在少快拍數(shù)下保證算法的高準(zhǔn)確率和高分辨率，也成為DOA 估計(jì)算法待解決的一個(gè)問(wèn)題。

目前，根據(jù)測(cè)向原理的不同，DOA 估計(jì)方法可分為3 類(lèi)：基于特征結(jié)構(gòu)子空間的方法、基于獨(dú)立成分分析（ICA,independent component analysis）的方法和基于稀疏重構(gòu)的方法。最早的超分辨率DOA估計(jì)方法是著名的多信號(hào)分類(lèi)（MUSIC,multiple signal classification）算法和基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)（ESPRIT,estimating signal parameter via rotational invariance technique）算法，它們都屬于特征結(jié)構(gòu)子空間方法，由于相干信源會(huì)使空間協(xié)方差矩陣降秩，因此傳統(tǒng)的MUSIC 算法和ESPRIT 算法無(wú)法對(duì)相干信源進(jìn)行測(cè)向。文獻(xiàn)[1-2]和文獻(xiàn)[3-4]分別提出了改進(jìn)的MUSIC 算法和改進(jìn)的ESPRIT算法用于對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行測(cè)向，但在欠定情況下該類(lèi)算法性能將大幅度下降。受均勻線陣方向矢量結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，F(xiàn)riedlander 等[5]提出了一種將均勻圓陣轉(zhuǎn)換為虛擬均勻線陣的方法，并結(jié)合均勻線陣的解相干算法，如空間平滑算法[6-7]和矩陣重構(gòu)算法[8-10]等，可以實(shí)現(xiàn)均勻圓陣對(duì)相干信號(hào)的測(cè)向，但在模式轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，噪聲會(huì)進(jìn)一步累積，因此該類(lèi)算法在低信噪比（SNR,signal to noise ratio）下的性能較差。Ziskind 等[11]提出了一種基于確定性極大似然（DML,determined maximum likelihood）估計(jì)思想的DOA 估計(jì)方法，能夠?qū)崿F(xiàn)均勻圓陣對(duì)相干信號(hào)的測(cè)向，但在求解過(guò)程中需要進(jìn)行高維搜索，因此計(jì)算量較大，且不適合欠定情況下的DOA 估計(jì)。Zamani等[12]提出了一種改進(jìn)的ICA 方法，該方法可以對(duì)混合信源進(jìn)行盲分離，但在欠定情況和信源中存在相干信號(hào)時(shí)將失效?；谙∈柚貥?gòu)的方法可以在低信噪比和信源中存在相干信號(hào)的情況下具有良好的性能，如Wang 等[13]和Trinh-Hoang 等[14]提出的正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）算法及其改進(jìn)算法、Soubies 等[15]和Zheng 等[16]提出的基于L2 范數(shù)的方法和基于稀疏貝葉斯的方法等，但在信源數(shù)較多和入射信源示向度間隔較小的情況下，該類(lèi)算法的測(cè)向性能會(huì)有所下降。

針對(duì)現(xiàn)有算法的不足，本文提出了一種基于幾何序列分解和稀疏重構(gòu)的方法用于DOA 估計(jì)。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，陣列的等時(shí)間間隔采樣使接收序列成為多個(gè)復(fù)數(shù)等比序列的疊加，各個(gè)等比序列的公比蘊(yùn)含了各個(gè)信源的頻率信息，而首項(xiàng)則蘊(yùn)含了信源的幅值和相位信息。因此，本文首先利用幾何序列分解算法對(duì)混合序列中各個(gè)序列的公比和首項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)的各個(gè)公比可用于信號(hào)重建，而估計(jì)的首項(xiàng)則可以構(gòu)建各個(gè)信源的實(shí)際方向向量，即相干組標(biāo)記。然后利用稀疏重構(gòu)方法，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)每個(gè)相干組進(jìn)行DOA 估計(jì)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 均勻圓陣模型

假設(shè)空間中均勻圓陣列的陣元數(shù)為M，半徑為r，陣元1 的空間位置為 [r,0]T，信號(hào)的來(lái)波方向相對(duì)于x軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向進(jìn)行定義，如圖1 所示。

圖1 均勻圓陣示意

若從遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)射而來(lái)的復(fù)數(shù)獨(dú)立信源數(shù)為k，則在t時(shí)刻，陣列的接收信號(hào)可表示為

其中，m=1,…,M，θi表示第i個(gè)獨(dú)立信源的波達(dá)角，λ表示信號(hào)波長(zhǎng)。

1.2 相干信號(hào)模型

對(duì)于陣列接收的數(shù)據(jù)，可以利用相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量接收信號(hào)之間的相關(guān)程度，其定義為

式(4)表明，當(dāng)2 個(gè)信號(hào)相干時(shí)，它們之間只相差一個(gè)常復(fù)數(shù)。現(xiàn)假設(shè)第i個(gè)獨(dú)立信源中含有Pi個(gè)相干信號(hào)，則第i個(gè)獨(dú)立信源的接收數(shù)據(jù)可表示為

其中，a(θip) ∈CM、Bip和φip分別表示在第i個(gè)獨(dú)立信源中第p個(gè)相干信號(hào)的理論方向向量、幅值和相位。

令

此時(shí)，第i個(gè)獨(dú)立信源的接收數(shù)據(jù)可表示為

1.3 相干組標(biāo)記

1.4 網(wǎng)格劃分

根據(jù)陣列相關(guān)理論可知，實(shí)際的陣列結(jié)構(gòu)要求方向向量a(θ)與方向角一一對(duì)應(yīng)，不能出現(xiàn)模糊現(xiàn)象，而入射信源的方向角相對(duì)于整個(gè)測(cè)向平面是稀疏的，因此，整個(gè)二維測(cè)向平面可以進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以構(gòu)成方向角參數(shù)空間。在實(shí)際應(yīng)用中，通常以1°為間隔進(jìn)行網(wǎng)格劃分，改變方向角，使方向向量a(θ)在二維空間按方向角從小到大進(jìn)行掃描，所形成的曲面稱(chēng)為陣列流形，所構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為過(guò)完備矩陣D∈CM×360，即

其中，Θ={1°,…,360°}表示方向角的參數(shù)空間。

2 基于幾何序列分解的實(shí)際方向向量估計(jì)

現(xiàn)考慮如下情況：假設(shè)均勻圓陣列的陣元數(shù)為M，入射到陣列的獨(dú)立信源數(shù)為k，第i個(gè)獨(dú)立信源中含有Pi個(gè)相干信號(hào)，信號(hào)接收機(jī)的采樣頻率為fs，快拍數(shù)為L(zhǎng)，并假設(shè)采樣是從1 時(shí)刻開(kāi)始，則陣列的接收數(shù)據(jù)可表示為

觀察式(13)可以發(fā)現(xiàn)，均勻圓陣第q個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)（觀測(cè)矩陣X的第q行數(shù)據(jù)）本質(zhì)上是k個(gè)等比序列的疊加，其中，第i個(gè)等比序列的首項(xiàng)為，公比為，而首項(xiàng)和公比分別包含了第i個(gè)獨(dú)立信源的波達(dá)角信息和頻率信息。因此，若能估計(jì)出混合序列的k個(gè)公比，然后利用一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣除法，就能將k個(gè)獨(dú)立信源的實(shí)際方向向量估計(jì)出來(lái)，從而用于DOA 估計(jì)。

Lee 等[17]提出了一種基于k維單純形轉(zhuǎn)換的幾何序列分解（GSD-ST,geometric sequence decomposition withk-simplexes transform）方法，可用于對(duì)疊加幾何序列的公比進(jìn)行估計(jì)。k維單純形是指包含了k+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的凸多面體，例如，一維單純形就是包含了2 個(gè)節(jié)點(diǎn)的線段，二維單純形就是三角形，三維單純形就是四面體，以此類(lèi)推。利用GSD-ST方法估計(jì)公比的思路主要分為4 個(gè)步驟：構(gòu)造搜索空間；構(gòu)造k維單純形序列；構(gòu)造聯(lián)合單純形；構(gòu)造多項(xiàng)式方程。而多項(xiàng)式方程的根即待求的各個(gè)序列公比的估計(jì)。

在構(gòu)造k維單純形之前，需要對(duì)原始的疊加序列按照一定方式進(jìn)行采樣，以構(gòu)成k維單純形的頂點(diǎn)集合，也稱(chēng)為搜索空間，其構(gòu)造規(guī)則按以下方式進(jìn)行。

給定自然數(shù)ic、k和φk，以φk為起始坐標(biāo)、i Ick為索引變換按字典順序?qū)旌闲蛄衳q進(jìn)行連續(xù)采樣，所構(gòu)成的集合稱(chēng)為k維搜索空間，其中，I k表示k維的全1 向量，xq表示第q個(gè)陣元接收的混合序列。例如，若ic=1，k=2，φk= [1,5]，則所構(gòu)成的k維搜索空間為

由k維單純形的定義可知，一個(gè)k維單純形具有k+1 個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)假設(shè)其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，剩余k個(gè)頂點(diǎn)由搜索空間中的k個(gè)連續(xù)頂點(diǎn)構(gòu)成，其定義為

需要指出的是，在構(gòu)造本文要求的k維單純形時(shí)，從搜索空間中選取的k個(gè)頂點(diǎn)必須是連續(xù)的，且在構(gòu)造k維單純形序列時(shí)，坐標(biāo)j的取值也需要滿足連續(xù)遞增的條件。

接著，從構(gòu)造的k維單純形序列中挑選出任意2 個(gè)連續(xù)的單純形，將其坐標(biāo)按順序排列，以構(gòu)成一個(gè)具有k+2 個(gè)頂點(diǎn)的聯(lián)合單純形C∈Ck×(k+2)，定義為

從式(17)可以看出，聯(lián)合單純形C的k+1 個(gè)非原點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上由搜索空間的k+1 個(gè)連續(xù)頂點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成；然后，對(duì)這k+1 個(gè)連續(xù)頂點(diǎn)按組合的順序進(jìn)行采樣，以構(gòu)成一個(gè)含有k+1 個(gè)新的k維單純形的序列。例如，若ic= 1,k= 2,φk= [1,5],j=1，則所構(gòu)成的聯(lián)合單純形C和含有k+1 個(gè)新的k維單純形的序列為

最后，需要構(gòu)造一個(gè)k階多項(xiàng)式，并且這個(gè)k階多項(xiàng)式的k+1 個(gè)系數(shù)由序列中單純形的體積通過(guò)運(yùn)算得到。其中，k維單純形的體積定義為

將k維單純形序列的體積運(yùn)算規(guī)則定義為

其中，表示公比的估計(jì)。

Lee 等[17]證明，給定混合序列xq和獨(dú)立信源數(shù)k，當(dāng)采樣間隔ic=1時(shí)，對(duì)于任意的自然數(shù)φk和j，k階多項(xiàng)式的系數(shù)集合是唯一的，并且由這個(gè)系數(shù)集合構(gòu)成的k階多項(xiàng)式的k個(gè)根即混合序列中k個(gè)公比的估計(jì)。由于系數(shù)集合在上述采樣方式下與常數(shù)φk和j無(wú)關(guān)，因此，可以把系數(shù)集合記為v(k,xq)。需要注意的是，為了使構(gòu)造的多項(xiàng)式是人們期望的結(jié)構(gòu)，也就是要保證這個(gè)多項(xiàng)式的唯一性，在構(gòu)造搜索空間時(shí)，一定要以1×Ik為索引變換對(duì)混合序列進(jìn)行采樣，即采樣間隔一定要等于1，而采樣起始坐標(biāo)φk和聯(lián)合多面體C的索引值j可以任取。同時(shí)，Lee 等[17]還證明，給定混合序列xq和獨(dú)立信源數(shù)k，獲取的最小樣本集合由混合序列xq的2k個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)構(gòu)成，即在估計(jì)k個(gè)獨(dú)立信源的實(shí)際方向向量時(shí)，所需要的最小快拍數(shù)L為2k，這也使該算法可以在極少快拍數(shù)下對(duì)DOA 進(jìn)行有效估計(jì)。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，在對(duì)混合序列中各個(gè)序列的公比進(jìn)行估計(jì)時(shí)，需要預(yù)先知道混合序列中的序列個(gè)數(shù)，也就是獨(dú)立信源的個(gè)數(shù)k。Lee等[17]還提出了一種利用單純形對(duì)獨(dú)立信源數(shù)k進(jìn)行估計(jì)的方法，但該方法需要進(jìn)行多維搜索，計(jì)算量較大，因此會(huì)大幅度降低DOA 估計(jì)的時(shí)效性。Bazzi 等[18]提出了一種改進(jìn)的最小描述長(zhǎng)度（MDL,minimum description length）準(zhǔn)則，可以實(shí)現(xiàn)在信噪比較低和快拍數(shù)較少的情況下對(duì)獨(dú)立信源數(shù)k進(jìn)行有效估計(jì)，且算法時(shí)效性較好，因此，可以使用該方法對(duì)k進(jìn)行估計(jì)。

受現(xiàn)實(shí)擾動(dòng)的影響，陣列在接收數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的噪聲，因此，為了提升DOA 估計(jì)的性能，需要對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。Hansen[19]提出了一種基于k截?cái)嗍狡娈愔捣纸猓⊿VD,singular value decomposition）的去噪方法，該方法的主要思想是通過(guò)迭代的方法，不斷提取原序列的k個(gè)主特征值和它們對(duì)應(yīng)的特征向量，直到重構(gòu)的序列收斂，從而達(dá)到濾除噪聲的目的。該方法的去噪過(guò)程主要分為以下5 個(gè)步驟，這里假設(shè)去噪前和去噪后的序列分別為xq和，序列的索引值從1 開(kāi)始，且快拍數(shù)為L(zhǎng)。

其中，矩陣U和矩陣V分別表示左奇異矩陣和右奇異矩陣，矩陣S為對(duì)角矩陣。

步驟3利用矩陣Q的k個(gè)主特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量重構(gòu)矩陣Q

其中，U[:,1:k]表示由矩陣U的所有行和前k列構(gòu)成的矩陣。

步驟4通過(guò)平均值的方法，將矩陣Q轉(zhuǎn)換為序列

其中，當(dāng)l≤m時(shí)，z=l，否則，z=L-l+1。

步驟5重復(fù)以上4 個(gè)步驟，直到序列xq收斂到序列，收斂后的序列即濾除噪聲后的序列。

以上就是估計(jì)k個(gè)實(shí)際方向向量的整體思路，現(xiàn)將算法流程總結(jié)如下。

算法1基于去噪GSD-ST 的實(shí)際方向向量估計(jì)算法

3 基于稀疏重構(gòu)的DOA 估計(jì)

根據(jù)上述分析可知，通過(guò)網(wǎng)格劃分構(gòu)造了一個(gè)過(guò)完備矩陣D，并利用過(guò)完備矩陣中的稀疏基對(duì)第i個(gè)相干組的實(shí)際方向向量進(jìn)行了稀疏表示，將第i個(gè)相干組中多徑信號(hào)的DOA 估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為空間譜Vi的稀疏重構(gòu)問(wèn)題，若對(duì)每個(gè)相干組都進(jìn)行稀疏重構(gòu)，得到k張空間譜(V1,…,Vk)，即可估計(jì)出所有入射信源的波達(dá)角信息。

在求解第i個(gè)相干組的稀疏矩陣Vi時(shí)，由于稀疏度Pi事先未知，且實(shí)際方向向量的維度遠(yuǎn)小于矩陣Vi的維度，因此式(26)具有無(wú)數(shù)個(gè)解。根據(jù)壓縮理論知識(shí)可知，如果過(guò)完備矩陣D滿足約束等距性（RIP,restricted isometry property）條件，即可利用矩陣Vi的稀疏性，將式(26)轉(zhuǎn)換為一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解?，F(xiàn)對(duì)該條件進(jìn)行簡(jiǎn)單驗(yàn)證，由于

在求解式(28)時(shí)，可以通過(guò)正則化對(duì)這個(gè)非線性凸優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，其代價(jià)函數(shù)為

其中，λ為正則化系數(shù)。

在實(shí)際仿真時(shí)，為了高效地找到全局最優(yōu)解，可以利用二階錐規(guī)劃（SOCP,second order cone programming）算法在內(nèi)點(diǎn)法的框架下對(duì)式(29)中的優(yōu)化表達(dá)式進(jìn)行求解，基于此，可以通過(guò)引入輔助向量的方式，將式(29)轉(zhuǎn)換為以下優(yōu)化表達(dá)式進(jìn)行求解

需要注意的是，正則化系數(shù)λ的選取對(duì)稀疏重構(gòu)的效果有著舉足輕重的作用，文獻(xiàn)[14]給出了正則化系數(shù)λ的選取規(guī)則，由于本文通過(guò)k截?cái)嗍絊VD 算法對(duì)原觀測(cè)矩陣進(jìn)行了去噪處理，因此系數(shù)λ的值不應(yīng)取得太大，在實(shí)際仿真時(shí)，系數(shù)λ在區(qū)間[0.1,3]內(nèi)進(jìn)行取值都能達(dá)到很好的效果。

以上就是本文所提算法的全部分析過(guò)程，現(xiàn)將算法流程總結(jié)如下。

算法2基于去噪GSD-ST 和稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)算法

1) 利用算法1 得到獨(dú)立信源數(shù)k和實(shí)際方向矩陣的估計(jì)

2) 以1°為間隔對(duì)空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，構(gòu)造過(guò)完備矩陣D；

5) 將稀疏矩陣Vi的元素值畫(huà)成空間譜，通過(guò)譜峰搜索返回第i個(gè)相干組的DOA 估計(jì)值；

6)i=i+1，如果i≤k，返回步驟4)，否則算法結(jié)束。

4 性能分析

由于本文使用的信源數(shù)估計(jì)算法為改進(jìn)的MDL 算法，因此，基于GSD-ST 的實(shí)際方向向量估計(jì)算法最多能夠估計(jì)出M個(gè)獨(dú)立信源的實(shí)際方向向量；并且，一般情況下入射信源的幅值滿足隨機(jī)分布，對(duì)于每一個(gè)相干組，稀疏重構(gòu)算法能夠估計(jì)出M–1 個(gè)相干信號(hào)[20]，因此，本文所提算法最多能夠估計(jì)出M(M–1)個(gè)入射信源，即能夠?qū)崿F(xiàn)在欠定情況下對(duì)相干信號(hào)的DOA 估計(jì)；在第2 節(jié)的分析中，本文對(duì)相干組進(jìn)行了拆分，即每個(gè)相干組的DOA 估計(jì)互不影響，因此，本文所提算法能夠解決“角度兼并”問(wèn)題；此外，在估計(jì)實(shí)際方向向量時(shí)，所需要的最小快拍數(shù)L=2k，因此，本文所提算法可以在極少數(shù)快拍下實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)。

5 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提算法的性能，本節(jié)將其與非線性快速獨(dú)立成分分析（FastICA,fast independent component analysis）算法[20]、OMP 算法[13]、MUSIC算法[1]和DML 算法[11]進(jìn)行對(duì)比，并通過(guò)5 個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行說(shuō)明。

實(shí)驗(yàn)1相干組拆分性能分析

實(shí)驗(yàn)條件：均勻圓陣的陣元數(shù)M=3，半徑r=0.58 m，信號(hào)的中心頻率f=500 MHz，相干組個(gè)數(shù)k=3，正確示向度分別為[32°]、[210°]、[89°]，信噪比SNR=[-18,18] dB，快拍數(shù)L=200，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)200 次。相干組拆分效果通過(guò)改進(jìn)的行元素優(yōu)勢(shì)指標(biāo)[21]進(jìn)行分析，定義為

圖2 為非線性FastICA 算法與本文所提算法的盲分離效果對(duì)比。從圖2 中可以看出，相比于非線性FastICA 算法，本文所提算法在低信噪比下的p指標(biāo)系數(shù)都小于2，這表明本文所提算法可以在低信噪比下對(duì)相干組進(jìn)行有效拆分，且拆分效果優(yōu)于非線性FastICA 算法。

圖2 2 種算法盲分離效果對(duì)比

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文所提算法拆分相干組的效果，圖3 和圖4 給出了當(dāng)信噪比為-18 dB 時(shí)相干組拆分前后的數(shù)據(jù)頻譜曲線。

圖3 拆分前的數(shù)據(jù)頻譜曲線

圖4 拆分后的數(shù)據(jù)頻譜曲線

對(duì)比圖3 和圖4 可以看出，混合數(shù)據(jù)的頻譜中有許多偽峰，而本文所提算法對(duì)混合數(shù)據(jù)進(jìn)行盲分離后，其頻譜曲線濾除了由噪聲引起的偽峰，并且能夠準(zhǔn)確恢復(fù)出信號(hào)的頻率信息，這也驗(yàn)證了算法1的正確性。

實(shí)驗(yàn)2 欠定情況下對(duì)相干信號(hào)的DOA 估計(jì)

實(shí)驗(yàn)條件：均勻圓陣的陣元數(shù)M=3，半徑r=0.58 m，信號(hào)的中心頻率f=500 MHz，相干組個(gè)數(shù)k=3，相干系數(shù)分別為=-0 .416+0.909i、= 0.921+0.389i 和= 0.853 - 0.522i，正確示向度分別為[32°,328°]、[30°,210°]、[89°,272°]，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)L=200。

在上述實(shí)驗(yàn)條件下，改進(jìn)的MDL 算法估計(jì)出的獨(dú)立信源（相干組）數(shù)k=3，因此，MUSIC算法和DML 算法只能估計(jì)出3 個(gè)信號(hào)的示向度，為了驗(yàn)證本文所提算法在欠定情況下對(duì)相干信號(hào)的DOA 估計(jì)性能，將其與OMP 算法進(jìn)行了對(duì)比。圖5 和表1 分別為OMP 算法與本文所提算法在欠定情況下對(duì)相干信號(hào)的測(cè)向空間譜和對(duì)應(yīng)的測(cè)向結(jié)果。

圖5 2 種算法在欠定情況下對(duì)相干信號(hào)的測(cè)向空間譜

表1 2 種算法在欠定情況下對(duì)相干信號(hào)的測(cè)向結(jié)果

從圖5 和表1 可以看出，在欠定情況下，OMP算法估計(jì)出的DOA 結(jié)果相較正確結(jié)果的誤差最大達(dá)到了3°，并且由于30°和32°這2 個(gè)示向度較接近，OMP 算法不能有效分辨，從而出現(xiàn)了3°這個(gè)錯(cuò)誤估計(jì)結(jié)果；本文所提算法不僅能夠有效拆分出3 個(gè)相干組，且DOA 估計(jì)結(jié)果全部正確，這也驗(yàn)證了本文所提算法所能準(zhǔn)確估計(jì)的最大信源數(shù)為M(M–1)的結(jié)論。

實(shí)驗(yàn)3極少快拍數(shù)下的測(cè)向性能

實(shí)驗(yàn)條件均勻圓陣的陣元數(shù)M=9，半徑r=0.58 m，信號(hào)的中心頻率f=500 MHz，獨(dú)立信源數(shù)k=3，正確示向度分別為[15°]、[167°]和[251°]，信噪比SNR=30 dB，快拍數(shù)L=6。

在極少快拍數(shù)的情況下，本節(jié)對(duì)比了OMP 算法、MUSIC 算法和DML 算法，由于DML 算法需要進(jìn)行高維搜索，因此沒(méi)有畫(huà)出DML 算法的空間譜，只記錄了對(duì)應(yīng)的測(cè)向結(jié)果。圖6 和表2 分別為對(duì)比算法與本文所提算法在極少快拍數(shù)下的測(cè)向空間譜和對(duì)應(yīng)的測(cè)向結(jié)果。

圖6 3 種算法在極少快拍數(shù)下的測(cè)向空間譜

表2 4 種算法在極少快拍數(shù)下的測(cè)向結(jié)果

從圖6 和表2 可以看出，在極少快拍數(shù)的情況下，OMP 算法、MUSIC 算法和DML 算法在測(cè)向時(shí)會(huì)有2°～3°的測(cè)向誤差，而本文所提算法能夠精確地對(duì)入射信號(hào)進(jìn)行DOA 估計(jì)。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)，快拍數(shù)的減小會(huì)使噪聲對(duì)測(cè)向的影響變得很大，因此，極少快拍數(shù)測(cè)向只適用于信噪比較高的情況，雖然現(xiàn)實(shí)測(cè)向情況較復(fù)雜，但本文所提算法為極少快拍數(shù)測(cè)向提供了一定的理論和仿真依據(jù)。

實(shí)驗(yàn)4入射信源角度差對(duì)測(cè)向成功率的影響

實(shí)驗(yàn)條件均勻圓陣的陣元數(shù)M=9，半徑r=0.58 m，信號(hào)的中心頻率f=500 MHz，獨(dú)立信源數(shù)k=2，正確示向度分別為 [123°] 和[123°+Δθ(Δθ=0°,…,6°)]，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)L=200，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)200 次。

圖7 為4 種算法測(cè)向成功率隨信號(hào)角度差變化的曲線。從圖7 可以看出，OMP 算法、MUSIC 算法和DML 算法都無(wú)法分辨出角度差為0°的2 個(gè)入射信號(hào)，并且OMP 算法和MUSIC 算法在入射信源夾角超過(guò)4°時(shí)才能達(dá)到很好的分辨效果。本文所提算法由于對(duì)相干組進(jìn)行了拆分，相干組之間的測(cè)向互不影響，因此可以對(duì)角度差較小的入射信號(hào)進(jìn)行精確分辨。

圖7 4 種算法測(cè)向成功率隨信號(hào)角度差變化的曲線

實(shí)驗(yàn)5信噪比對(duì)測(cè)向成功率和測(cè)向精度的影響

實(shí)驗(yàn)條件均勻圓陣的陣元數(shù)M=9，半徑r=0.58 m，信號(hào)的中心頻率f=500 MHz，獨(dú)立信源數(shù)k=3，正確示向度分別為[52°]、[189°]和[297°]，快拍數(shù)L=200，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)200 次。其中，測(cè)向精度采用均方誤差根（RMSE,root mean square error）進(jìn)行定義

其中，Q表示測(cè)向正確示向度的次數(shù)，即測(cè)向誤差結(jié)果在3°范圍內(nèi)的個(gè)數(shù)；表示在第q次測(cè)向時(shí)對(duì)第i個(gè)示向度的估計(jì)值。

圖8 和圖9 分別給出了4 種測(cè)向算法的成功率和RMSE 隨信噪比變化的曲線。從圖8 可以看出，當(dāng)信噪比大于-16 dB 時(shí)，本文所提算法的測(cè)向成功率可達(dá)90%以上，且高于OMP 算法和MUSIC 算法；當(dāng)信噪比大于-14 dB 時(shí)，本文所提算法的測(cè)向成功率可達(dá)99%以上，這充分說(shuō)明了本文所提算法在低信噪比下能夠?qū)Χ鄠€(gè)信號(hào)進(jìn)行有效的DOA 估計(jì)。從圖9 可以看出，當(dāng)信噪比大于-16 dB 時(shí)，本文所提算法的測(cè)向精度達(dá)到了0.5°以上，且對(duì)應(yīng)的精度曲線收斂到了0°，而OMP算法、MUSIC 算法和DML 算法對(duì)應(yīng)的測(cè)向精度曲線分別收斂到了0.8°、1.2°和0.7°。綜合來(lái)看，相比于其他3 種測(cè)向算法，本文所提算法的抗噪能力和測(cè)向精度更優(yōu)。

圖8 4 種算法測(cè)向成功率隨信噪比變化的曲線

圖9 4 種算法測(cè)向精度隨信噪比變化的曲線

6 結(jié)束語(yǔ)

本文以提升均勻圓陣對(duì)相干信號(hào)的測(cè)向性能為目標(biāo)，提出了一種去噪GSD-ST 與稀疏重構(gòu)相結(jié)合的DOA 估計(jì)算法，去噪GSD-ST 算法保證了對(duì)相干組拆分和估計(jì)實(shí)際方向矩陣的有效性和穩(wěn)定性，稀疏重構(gòu)算法則利用估計(jì)的實(shí)際方向矩陣對(duì)每個(gè)相干組進(jìn)行DOA 估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在欠定情況和入射信源存在相干信號(hào)時(shí)，本文所提算法的測(cè)向準(zhǔn)確率和抗擾能力都更優(yōu)。當(dāng)入射信源角度差較小和信源數(shù)較多時(shí)，本文所提算法的測(cè)向優(yōu)勢(shì)更明顯；同時(shí)，本文所提算法為極少快拍數(shù)測(cè)向提供了理論和仿真依據(jù)。接下來(lái)，筆者將進(jìn)一步探索如何在低信噪比下利用極少快拍數(shù)進(jìn)行測(cè)向的問(wèn)題，以進(jìn)一步提高算法的測(cè)向性能。