趙越，李贊，李冰，郝本建

（1.西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，陜西 西安 710071；2.中國(guó)人民解放軍31007 部隊(duì)，北京 100000）

0 引言

無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)（WSN,wireless sensor network）能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)覆蓋區(qū)域內(nèi)非合作信號(hào)源的感知、識(shí)別、定位等功能[1]。非合作信號(hào)源的定位一般包含2 個(gè)步驟：定位參數(shù)估計(jì)和信號(hào)源位置解算[2]。具體來(lái)說(shuō)，各個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)將采集的信號(hào)原始數(shù)據(jù)回傳至融合處理中心，后者從多組接收信號(hào)數(shù)據(jù)中提取出關(guān)于信號(hào)源位置的定位參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，融合處理中心根據(jù)定位參數(shù)和各個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)自身的準(zhǔn)確空間位置信息，構(gòu)建信號(hào)源位置信息關(guān)聯(lián)方程組并求解。常用的定位參數(shù)包括到達(dá)時(shí)間（ToA,time of arrival）、到達(dá)時(shí)間差（TDoA,time difference of arrival）、到達(dá)頻率差（FDoA,frequency difference of arrival）、到達(dá)角度（AoA,angle of arrival）等[3-5]。

在基于接收信號(hào)參數(shù)測(cè)量實(shí)現(xiàn)信號(hào)源定位的WSN 中，信號(hào)源的空間位置是根據(jù)定位參數(shù)及傳感器節(jié)點(diǎn)自身位置計(jì)算得到的。因此，WSN 對(duì)信號(hào)源的定位精度取決于各個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的接收信噪比、WSN 相對(duì)于信號(hào)源的空間幾何構(gòu)型、WSN的系統(tǒng)誤差（包括節(jié)點(diǎn)位置誤差、時(shí)鐘同步誤差等）[6]。接收信噪比受信號(hào)源的輻射強(qiáng)度、信號(hào)傳輸距離、傳感器節(jié)點(diǎn)感知能力等多種因素影響，它直接決定了WSN 對(duì)定位參數(shù)的估計(jì)精度。WSN和信號(hào)源所構(gòu)成的空間幾何構(gòu)型決定了WSN 對(duì)信號(hào)源的空間辨識(shí)度，并由此決定了信號(hào)源位置關(guān)聯(lián)信息。系統(tǒng)誤差影響了定位參數(shù)與真實(shí)信號(hào)源位置的關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確度，可等效為定位參數(shù)估計(jì)誤差和傳感器節(jié)點(diǎn)自誤差，繼而在位置解算時(shí)產(chǎn)生定位誤差。

在定位精度的影響因素中，通過(guò)增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)感知能力或物理空間上靠近信號(hào)源，可以提升各傳感器節(jié)點(diǎn)的接收信噪比；通過(guò)標(biāo)校站輔助或系統(tǒng)誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以消除系統(tǒng)誤差。然而，空間幾何構(gòu)型是由位置未知的信號(hào)源與WSN 中各節(jié)點(diǎn)的位置共同決定的[7]。當(dāng)WSN 與信號(hào)源所構(gòu)成的空間幾何構(gòu)型較好時(shí)，WSN 對(duì)信號(hào)源的空間辨識(shí)度較大，能夠提供的空間域信息較多；反之，能夠提供的空域信息較少，導(dǎo)致定位精度嚴(yán)重惡化，產(chǎn)生定位盲區(qū)。需要說(shuō)明的是，無(wú)線(xiàn)定位中盲區(qū)與無(wú)線(xiàn)通信中盲區(qū)的產(chǎn)生原因是不同的，前者是由于傳感器網(wǎng)絡(luò)對(duì)信號(hào)源的定位幾何構(gòu)型惡化或消失，而無(wú)法區(qū)分目標(biāo)的空間位置，與接收信噪比沒(méi)有直接關(guān)系；后者則是由基站覆蓋區(qū)域、障礙物遮擋、通信網(wǎng)絡(luò)擁塞、信號(hào)頻段特性等因素造成用戶(hù)接收情況惡化，進(jìn)而影響通信服務(wù)質(zhì)量[8-10]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)定位盲區(qū)進(jìn)行了闡述與分析[11-15]。文獻(xiàn)[11]提出TDoA 與FDoA 聯(lián)合定位算法，并在仿真算法性能時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信號(hào)源位于定位節(jié)點(diǎn)連線(xiàn)方向時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確定位。文獻(xiàn)[12]對(duì)TDoA 與FDoA 定位場(chǎng)景中的定位精度分布進(jìn)行了分析，并定義了定位有效區(qū)域與定位無(wú)效區(qū)域（即定位盲區(qū)）。為了解決TDoA 與FDoA 定位場(chǎng)景中的定位盲區(qū)問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]提出引入AoA 作為輔助定位信息的思路及相應(yīng)算法。文獻(xiàn)[11]論證了利用TDoA 和FDoA 實(shí)現(xiàn)信號(hào)源定位時(shí)的克拉美羅下界（CRLB,Cramer-Rao lower bound）等高線(xiàn)與僅利用TDoA 定位時(shí)的CRLB 等高線(xiàn)具有相同的分布，即TDoA 定位中在定位節(jié)點(diǎn)連線(xiàn)方向存在定位盲區(qū)。在基于TDoA 的二維定位場(chǎng)景中，文獻(xiàn)[14]研究了定位節(jié)點(diǎn)分布對(duì)定位精度的影響。在基于TDoA 的三維定位場(chǎng)景中，文獻(xiàn)[15]研究了基線(xiàn)長(zhǎng)度、基線(xiàn)角度、傳感器節(jié)點(diǎn)高程、傳感器平面等多種因素對(duì)覆蓋區(qū)域定位精度分布的影響，并通過(guò)仿真分析得出了定位盲區(qū)所在的分布區(qū)域。此外，文獻(xiàn)[16]論證了在基于AoA 的定位場(chǎng)景中，當(dāng)定位節(jié)點(diǎn)相對(duì)于信號(hào)源位于同一方向時(shí)，交叉定位結(jié)果將急劇惡化并產(chǎn)生定位盲區(qū)。

然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)定位盲區(qū)的分析仍然具有局限性。當(dāng)定位節(jié)點(diǎn)相對(duì)于信號(hào)源的空間幾何構(gòu)型確定時(shí)，現(xiàn)有文獻(xiàn)通過(guò)仿真結(jié)果證明了定位盲區(qū)的存在，并簡(jiǎn)要分析了定位盲區(qū)的出現(xiàn)區(qū)域，但未從數(shù)學(xué)角度深入剖析定位盲區(qū)的產(chǎn)生原因，也未能給出判斷及預(yù)測(cè)定位盲區(qū)所出現(xiàn)區(qū)域的方法。此外，現(xiàn)有文獻(xiàn)并未闡述當(dāng)測(cè)量矩陣滿(mǎn)秩時(shí)定位盲區(qū)的產(chǎn)生條件以及出現(xiàn)區(qū)域。

定位節(jié)點(diǎn)部署策略是定位網(wǎng)絡(luò)空間幾何構(gòu)型優(yōu)化的主要技術(shù)手段?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大多針對(duì)單一信號(hào)源進(jìn)行定位節(jié)點(diǎn)部署策略研究，在已知信號(hào)源準(zhǔn)確位置的前提下，給出最優(yōu)的節(jié)點(diǎn)部署策略。文獻(xiàn)[17]研究了二維TDoA 定位場(chǎng)景中最優(yōu)的節(jié)點(diǎn)部署策略，從CRLB 對(duì)定位節(jié)點(diǎn)方位角的駐點(diǎn)入手，推導(dǎo)出等角度陣列（UAA,uniform angular array）是使信號(hào)源CRLB 最小的部署方案。Yang等[18-20]研究了TDoA 定位中的傳感器節(jié)點(diǎn)部署策略，推導(dǎo)證明了針對(duì)單一信號(hào)源的最優(yōu)部署方式是UAA，并提出存在部署區(qū)域約束時(shí)定位精度最優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)部署策略。

在研究面向整個(gè)覆蓋區(qū)域的WSN 節(jié)點(diǎn)部署策略時(shí)，現(xiàn)有針對(duì)單信號(hào)源的部署策略不再適用。文獻(xiàn)[15]仿真分析了當(dāng)傳感器所在平面與信號(hào)源方向成不同夾角時(shí)定位盲區(qū)的分布區(qū)域，并提出應(yīng)盡可能使信號(hào)源位于傳感器所在平面中心點(diǎn)的法線(xiàn)方向，然而，該文只是粗略地給出了避免定位盲區(qū)時(shí)應(yīng)具有的條件，未能給出最優(yōu)的部署方案。文獻(xiàn)[21]提出定位精度門(mén)限的概念，并將WSN 覆蓋區(qū)域中定位精度優(yōu)于該門(mén)限的區(qū)域視為有效定位區(qū)域。繼而將最大化有效定位區(qū)域?yàn)閮?yōu)化目標(biāo)，通過(guò)仿真分析生成若干組具有不同構(gòu)型的定位網(wǎng)絡(luò)，尋求使有效定位區(qū)域面積最大的一組定位節(jié)點(diǎn)。然而，該文只分析了有限的定位節(jié)點(diǎn)構(gòu)型組合，未能給出最優(yōu)的定位節(jié)點(diǎn)部署方案。

本文以基于TDoA 定位參數(shù)的二維WSN 為基本場(chǎng)景，開(kāi)展TDoA 定位盲區(qū)分析與節(jié)點(diǎn)部署策略研究。首先，從定位誤差的理論界限CRLB的角度出發(fā)，對(duì)定位盲區(qū)的產(chǎn)生原因進(jìn)行了剖析。其次，分析了TDoA 測(cè)量誤差、WSN 相對(duì)于信號(hào)源的空間幾何構(gòu)型等不同因素對(duì)定位盲區(qū)的影響。再次，提出了平均CRLB 作為衡量WSN 覆蓋區(qū)域定位精度的表征方式；在此基礎(chǔ)上，以平均CRLB 為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建了傳感器節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化問(wèn)題，并提出了基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法對(duì)其求解。最后，計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了單信號(hào)源定位時(shí)CRLB 的性質(zhì)；驗(yàn)證了定位盲區(qū)與信號(hào)源相對(duì)于傳感器節(jié)點(diǎn)的方向向量有關(guān)，且會(huì)出現(xiàn)在滿(mǎn)秩測(cè)量矩陣的場(chǎng)景中；驗(yàn)證了所提節(jié)點(diǎn)部署算法對(duì)于WSN 覆蓋區(qū)域的定位精度優(yōu)于3 種基準(zhǔn)算法。

1 TDoA 定位場(chǎng)景及定位精度衡量參數(shù)

1.1 二維TDoA 定位場(chǎng)景

基于無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)非合作信號(hào)源定位場(chǎng)景如圖1 所示。WSN 包含M(M≥3)個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)的集合為{s1,s2,…,sM}T，其中，,?i=1,2,…,M。U為WSN 的覆蓋區(qū)域。在U內(nèi)存在一個(gè)信號(hào)輻射源，其位置坐標(biāo)為。從WSN 的角度來(lái)說(shuō)，該信號(hào)源是非合作的，即WSN 無(wú)法掌握該信號(hào)源的先驗(yàn)信息，例如信號(hào)輻射時(shí)刻、信號(hào)參數(shù)特征、歷史運(yùn)動(dòng)軌跡等。因此，WSN 采用基于TDoA 參數(shù)的定位方式，不需要與非合作信號(hào)源進(jìn)行交互即可實(shí)現(xiàn)對(duì)其位置估計(jì)。

圖1 非合作信號(hào)源定位場(chǎng)景示意

假設(shè)信號(hào)源和無(wú)線(xiàn)傳感器節(jié)點(diǎn)之間為直射路徑，則信號(hào)源所輻射的無(wú)線(xiàn)電波傳播至第i個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的時(shí)間為

其中，c為無(wú)線(xiàn)電波的傳播速度，為向量的2 范數(shù)運(yùn)算。

不失一般性，將節(jié)點(diǎn)s1視為測(cè)量TDoA 時(shí)的參考節(jié)點(diǎn)，則信號(hào)源的輻射信號(hào)傳播至第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和參考節(jié)點(diǎn)的真實(shí)時(shí)間差為

考慮高斯加性噪聲的TDoA 測(cè)量模型，通過(guò)接收信號(hào)相關(guān)運(yùn)算測(cè)量得到的信號(hào)源的TDoA 為

其中，為T(mén)DoA 測(cè)量值，ni1服從均值為零、方差為的高斯分布。

定義TDoA 測(cè)量值集合和測(cè)量誤差的集合分別為

其中，n服從均值為零、協(xié)方差矩陣為的高斯分布，d ing{x}表示將向量x作為對(duì)角元素的矩陣。

1.2 單信號(hào)源定位精度衡量參數(shù)

信號(hào)源的位置解算過(guò)程就是按照某一準(zhǔn)則從TDoA 測(cè)量值中估計(jì)出信號(hào)源的位置坐標(biāo)，并盡可能地使其接近其真實(shí)位置u。作為任何無(wú)偏估計(jì)的方差下界，基于信息理論的CRLB 在定位問(wèn)題中被廣泛地作為定位精度的衡量參數(shù)，CRLB 定義為費(fèi)希爾信息矩陣（FIM,Fisher information matrix）的逆矩陣[4]。

在基于TDoA 的定位場(chǎng)景中，利用τ? 對(duì)信號(hào)源位置u進(jìn)行估計(jì)時(shí)的CRLB 為

其中，C(u)為CRLB，J(u)=HQ-1HT為FIM。矩陣H取決于信號(hào)源u和WSN 中各節(jié)點(diǎn)的空間位置關(guān)系，其每一列是TDoA 真值（標(biāo)量）對(duì)于信號(hào)源真實(shí)位置（列向量）的導(dǎo)數(shù)，具體表達(dá)式為

其中，di1,x、di1,y分別為向量di1的橫、縱坐標(biāo)。由于C(u)是J(u)的逆矩陣，根據(jù) FIM 的行列式det(J(u))與伴隨矩陣J*(u)可進(jìn)一步得到C(u)的表達(dá)式，即

進(jìn)一步地，可得TDoA 定位場(chǎng)景中信號(hào)源位置估計(jì)的CRLB 的跡為

根據(jù)式(4)～式(10)，可以得到以下關(guān)于CRLB的若干性質(zhì)。

性質(zhì)1當(dāng)TDoA 誤差的方差恒定時(shí)，CRLB與信號(hào)源到各節(jié)點(diǎn)的距離無(wú)關(guān)。

證明在式(5)中，若矩陣Q恒定，則CRLB 只與矩陣H有關(guān)。根據(jù)式(6)中矩陣H的表達(dá)式可知，H僅與信號(hào)源到達(dá)各節(jié)點(diǎn)的方向向量有關(guān)，而與信號(hào)源和各節(jié)點(diǎn)的距離無(wú)關(guān)。此外，根據(jù)式(10)也可以得到相同結(jié)論。證畢。

性質(zhì)2在TDoA 定位中，將任一節(jié)點(diǎn)視為參考節(jié)點(diǎn)對(duì)CRLB 沒(méi)有影響。

證明性質(zhì)2 的證明可參考文獻(xiàn)[4]，該文獻(xiàn)分析了TDoA 和FDoA 聯(lián)合定位場(chǎng)景中參考節(jié)點(diǎn)選擇的無(wú)關(guān)性。需要說(shuō)明的是，若融合處理中心準(zhǔn)確已知各節(jié)點(diǎn)的接收信噪比，那么參考節(jié)點(diǎn)和其他節(jié)點(diǎn)測(cè)量得到的TDoA誤差分布特性是可計(jì)算得到的[6]，當(dāng)改變參考節(jié)點(diǎn)時(shí)，CRLB 是不變的。證畢。

2 定位盲區(qū)存在性及影響因素分析

定義1若WSN 對(duì)某一信號(hào)源的CRLB 趨于無(wú)窮大，則稱(chēng)信號(hào)源所處的空間位置為WSN 的定位盲點(diǎn)。

定義2在WSN 的覆蓋區(qū)域內(nèi)，全部定位盲點(diǎn)的集合稱(chēng)為WSN 的定位盲區(qū)。

由式(10)可知，WSN 相對(duì)于信號(hào)源的空間幾何構(gòu)型影響著定位精度衡量參數(shù)CRLB。當(dāng)幾何構(gòu)型較好時(shí)，CRLB 較小，WSN 可實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)源的精確定位；反之，CRLB 較大甚至趨于無(wú)窮，WSN 對(duì)信號(hào)源的定位誤差極大，甚至失效，此時(shí)認(rèn)為該信號(hào)源所處位置位于WSN 的定位盲區(qū)內(nèi)。

定理1在基于TDoA 的二維定位場(chǎng)景中，若傳感器節(jié)點(diǎn)相對(duì)于信號(hào)源的方向向量組中，不同向量的個(gè)數(shù)不大于2，則信號(hào)源所處位置為WSN 的定位盲點(diǎn)。從數(shù)學(xué)表達(dá)式的角度來(lái)說(shuō)，信號(hào)源u相對(duì)于全部傳感器節(jié)點(diǎn){s1,s2,…,sM}的方向向量為{d1,d2,…,dM}，若{d1,d2,…,dM}滿(mǎn)足以下任意一種情況時(shí)，WSN 對(duì)于該信號(hào)源的CRLB 不存在。

情況1 所對(duì)應(yīng)的定位幾何構(gòu)型是全部M個(gè)節(jié)點(diǎn)和信號(hào)源共線(xiàn)，且均位于信號(hào)源的同一側(cè)。情況2 表示存在2 個(gè)不同方向向量，而其余方向向量均等于其中之一，所對(duì)應(yīng)的定位幾何構(gòu)型是全部M個(gè)節(jié)點(diǎn)均位于相對(duì)于信號(hào)源的2 個(gè)不同的方向向量上。

證明根據(jù)柯西-施瓦茨不等式的一般形式可知，式(10)的分母是非負(fù)的，即

當(dāng)柯西-施瓦茨不等式中等號(hào)成立的充要條件滿(mǎn)足時(shí)，式(10)的分母為零，tr(C(u))不存在，產(chǎn)生定位盲區(qū)。式(11)取等號(hào)的充要條件為

下面討論式(12)成立的條件。

2) 若di1≠0 且d21,…d(i-1)1,d(i+1)1,…,dM1=0，則式(12)成立，此時(shí)方向向量d1,d2,d i-1,di+1…,dM均相等，且與di1不相等，所對(duì)應(yīng)的定位幾何構(gòu)型是除si外其余傳感器節(jié)點(diǎn)和信號(hào)源共線(xiàn)，且信號(hào)源位于這些節(jié)點(diǎn)的一側(cè)，如圖2(b)所示。

3) 若di1≠ 0且d21,…d(i-1)1,d(i+1)1,…,dM1=di1，則式(12)成立，此時(shí)除d1外，全部方向向量均與di相等，所對(duì)應(yīng)的定位幾何構(gòu)型是除參考節(jié)點(diǎn)s1外其余傳感器節(jié)點(diǎn)和信號(hào)源共線(xiàn)，且信號(hào)源位于這些節(jié)點(diǎn)的一側(cè)，如圖2(c)所示。

圖2 定位盲區(qū)產(chǎn)生條件的示意

4) 若di1≠ 0,dj1≠0,i≠j，則不存在λ使式(12)成立。

證畢。

推論1在二維TDoA 定位場(chǎng)景中，當(dāng)傳感器節(jié)點(diǎn)排列為線(xiàn)形陣列時(shí)，節(jié)點(diǎn)所在直線(xiàn)為定位盲區(qū)；當(dāng)存在一個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)與其余節(jié)點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，傳感器節(jié)點(diǎn)包圍的區(qū)域內(nèi)不存在定位盲點(diǎn)，包圍區(qū)域一定不是定位盲區(qū)。

證明當(dāng)傳感器節(jié)點(diǎn)排列為線(xiàn)形陣列時(shí)，若信號(hào)源位于傳感器節(jié)點(diǎn)連線(xiàn)在某一側(cè)的延伸線(xiàn)上，則定理1 中的情況1 成立，該位置為定位盲點(diǎn)；若信號(hào)源位于傳感器節(jié)點(diǎn)之間，則定理1 中的情況2 成立，該位置為定位盲點(diǎn)。綜上，當(dāng)傳感器節(jié)點(diǎn)排列為線(xiàn)形陣列時(shí)，節(jié)點(diǎn)所在直線(xiàn)為定位盲區(qū)。

另一方面，當(dāng)存在一個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)與其余節(jié)點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，節(jié)點(diǎn)包圍區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)（即使在任意2 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的連線(xiàn)上）相對(duì)于全部傳感器節(jié)點(diǎn)的相同方向向量個(gè)數(shù)都嚴(yán)格大于2，因此包圍區(qū)域內(nèi)不存在定位盲點(diǎn)。證畢。

推論2TDoA 測(cè)量誤差的強(qiáng)度并不影響定位盲區(qū)的存在，以及定位盲區(qū)所處的空間位置。

證明定理1 闡述的2 種定位盲點(diǎn)存在情況均與TDoA 測(cè)量誤差的強(qiáng)度無(wú)關(guān)，只與WSN 相對(duì)于信號(hào)源的空間幾何構(gòu)型有關(guān)。因此，即使TDoA 定位誤差的方差逐漸變小，也依然存在定位盲區(qū)，且所處空間位置不變。證畢。

推論3在3 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的WSN 中，定位盲區(qū)存在于任意2 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)連線(xiàn)的外側(cè)。

證明當(dāng)僅存在3 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)且不共線(xiàn)時(shí)，根據(jù)推論1，傳感器節(jié)點(diǎn)內(nèi)側(cè)包圍區(qū)域一定不是定位盲區(qū)。然而，當(dāng)信號(hào)源位于任意2 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的外側(cè)連線(xiàn)上時(shí)，定理1 的情況2 滿(mǎn)足，外側(cè)連線(xiàn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槎ㄎ幻^(qū)。證畢。

根據(jù)定理1 及相關(guān)推論，可以定性分析WSN 覆蓋區(qū)域中的定位盲區(qū)，繼而指導(dǎo)WSN 的部署方案、定位盲區(qū)的補(bǔ)盲方案、信號(hào)源定位結(jié)果的置信度評(píng)估等。具體來(lái)說(shuō)，在典型場(chǎng)景中部署WSN 時(shí)，應(yīng)使定位盲區(qū)遠(yuǎn)離重點(diǎn)監(jiān)測(cè)區(qū)域及目標(biāo)信號(hào)源，從而保證定位精度。其次，借鑒無(wú)線(xiàn)通信中的微蜂窩、直放站等補(bǔ)盲方式，以定理1 為理論支撐，通過(guò)部署額外的節(jié)點(diǎn)可消除定位盲區(qū)。最后，在信號(hào)源定位過(guò)程中，若連續(xù)定位結(jié)果在區(qū)域內(nèi)劇烈跳變，且多個(gè)定位點(diǎn)處于WSN 的定位盲區(qū)內(nèi)，則定位結(jié)果的置信度較差。

推論4對(duì)于某一定位網(wǎng)絡(luò)和信號(hào)源形成的矩陣H，若該矩陣的秩小于空間維度，該信號(hào)源處于定位盲區(qū)。

證明對(duì)于定理1 中的情況1，矩陣H的列向量全部為零向量，此時(shí)該矩陣的秩為0；對(duì)于定理1中的情況2，矩陣H的全部列向量是平行的（考慮存在零向量的情形），如圖2(b)和圖2(c)所示，此時(shí)，該矩陣的秩為1。因此，若矩陣H的秩小于空間維度，該信號(hào)源處于定位盲區(qū)。證畢。

3 基于平均CRLB 的傳感器節(jié)點(diǎn)部署算法

定位盲區(qū)的產(chǎn)生與WSN 的部署方式緊密相關(guān)，一旦出現(xiàn)定位盲區(qū)，WSN 所覆蓋區(qū)域的平均定位精度將急劇惡化。因此，面向重點(diǎn)監(jiān)測(cè)區(qū)域部署WSN 時(shí)，應(yīng)以避免定位盲區(qū)為首要目標(biāo)。本節(jié)首先提出區(qū)域定位精度的衡量參數(shù)，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化問(wèn)題，提出基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法進(jìn)行求解。

3.1 區(qū)域定位精度衡量參數(shù)

定義3若信號(hào)源隨機(jī)出現(xiàn)在WSN 的覆蓋區(qū)域U中，其位置坐標(biāo)服從概率密度函數(shù)f(u)，則WSN 對(duì)于信號(hào)源的平均CRLB 為

其中，積分區(qū)間是u∈U。如式(10)所示，C(u)與u呈高度非線(xiàn)性關(guān)系，難以直接給出平均 CRLB的表達(dá)式。因而，本文采用離散形式逼近平均CRLB。

定義4在覆蓋區(qū)域U中，按照概率密度函數(shù)f(u) 隨機(jī)生成N個(gè)信號(hào)源，即{u1,u2,…,uN}，則平均CRLB 可近似為

其中，pi是信號(hào)源出現(xiàn)在第i個(gè)位置時(shí)的概率，均勻分布時(shí)。當(dāng)N→∞時(shí)，

說(shuō)明如下。1) 覆蓋區(qū)域的定位精度還可以使用定位中斷概率來(lái)衡量，類(lèi)似于文獻(xiàn)[21]提出的有效定位區(qū)域的概念。然而，平均定位精度更適合于衡量存在定位盲區(qū)時(shí)的區(qū)域定位精度，這是因?yàn)橹袛喔怕手械亩ㄎ痪乳撝惦y以合理設(shè)定。2) 對(duì)于非合作信號(hào)源，其出現(xiàn)在WSN 覆蓋區(qū)域的概率密度函數(shù)是未知的，此時(shí)假設(shè)f(u) 為均勻分布是合理的。3)C(u)與信號(hào)源位置u和傳感器節(jié)點(diǎn)的位置{s1,s2,…,sM}有關(guān)，而(u)與按照隨機(jī)變量u概率密度函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生的N個(gè)采樣點(diǎn)位置{u1,u2,…,uN}和傳感器節(jié)點(diǎn)的位置{s1,s2,…,sM}有關(guān)。

3.2 節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)建與分析

在傳感器節(jié)點(diǎn)部署時(shí)，需要提前規(guī)劃各個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的部署位置，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)WSN 覆蓋區(qū)域內(nèi)潛在信號(hào)源的最優(yōu)定位精度。本文以平均CRLB 為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建約束優(yōu)化問(wèn)題為

需要說(shuō)明的是，針對(duì)單一信號(hào)源的節(jié)點(diǎn)部署方式，文獻(xiàn)[17]已證明均勻角度部署是最優(yōu)的。而在優(yōu)化問(wèn)題 P1中，目標(biāo)函數(shù)是整個(gè)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取采樣點(diǎn)后計(jì)算得到的平均CRLB，因此該優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解應(yīng)該是使區(qū)域平均定位精度最好的一種部署方式。

由式(10)可知，WSN 對(duì)單個(gè)信號(hào)源的CRLB 是關(guān)于傳感器節(jié)點(diǎn)空間位置向量的非凸函數(shù)。進(jìn)一步地，在式(15)中，目標(biāo)函數(shù)C～(u)的表達(dá)式關(guān)于待求解變量也呈現(xiàn)出非凸性質(zhì)。因而，想要直接求解優(yōu)化問(wèn)題 P1較為困難。

3.3 直接遺傳算法和基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法

遺傳算法是一種較成熟的進(jìn)化算法，在資源分配、網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃等領(lǐng)域的大量非線(xiàn)性和非凸的優(yōu)化問(wèn)題中被廣泛應(yīng)用[22-24]。遺傳算法的核心思想來(lái)源于達(dá)爾文的生物進(jìn)化論，通過(guò)模擬生物進(jìn)化過(guò)程中的自然選擇、種群繁殖、基因突變，利用“種群”的不斷進(jìn)化和淘汰，最終實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)個(gè)體的保留和劣勢(shì)個(gè)體的移除[25]。

3.3.1 直接遺傳算法

本節(jié)采用遺傳算法直接求解優(yōu)化問(wèn)題 P1，將目標(biāo)函數(shù)、決策變量映射為遺傳算法的基本元素，具體如下。

環(huán)境適應(yīng)度。優(yōu)化問(wèn)題中的約束條件僅包括傳感器節(jié)點(diǎn)的定義域，無(wú)其他約束條件，因此環(huán)境適應(yīng)度函數(shù)可直接選取目標(biāo)函數(shù)，即，其中δ是使分母不為零的極小自然數(shù)。

下面給出利用遺傳算法求解優(yōu)化問(wèn)題 P1的主要步驟。

步驟3采用聯(lián)賽選擇算法或輪盤(pán)賭選擇算法對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行選擇，盡可能保留適應(yīng)度函數(shù)較大的個(gè)體，并拋棄適應(yīng)度函數(shù)較小的個(gè)體。聯(lián)賽選擇算法的思想是隨機(jī)挑選k個(gè)個(gè)體進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，適應(yīng)性最好的將獲得遺傳權(quán)。輪盤(pán)賭選擇算法的思想是將適應(yīng)度與選擇概率聯(lián)系起來(lái)，個(gè)體被選中的概率與其適應(yīng)度大小成正比。

步驟4利用基因重組的思想，產(chǎn)生現(xiàn)有種群中個(gè)體的后代，使個(gè)體數(shù)量恢復(fù)到Np。例如，對(duì)于個(gè)體和，其后代可按照獲得，其中，l服從均勻分布U(0,1)，⊙為向量的Schur 積。

步驟5利用基因突變思想，對(duì)種群中一定比例的個(gè)體的染色體進(jìn)行隨機(jī)變化?；蛲蛔兛杀ＷC種群的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)解。

步驟6判斷迭代次數(shù)是否達(dá)到預(yù)設(shè)值，若達(dá)到預(yù)設(shè)值則算法結(jié)束，返回當(dāng)前最優(yōu)解；否則返回步驟2，且迭代次數(shù)加1。

3.3.2 基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法

在直接遺傳算法中，決策變量是WSN 中各節(jié)點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)，因此每個(gè)染色體χ中包含2M個(gè)未知標(biāo)量；此外，在遺傳算法的迭代過(guò)程中，種群在整個(gè)定義域內(nèi)進(jìn)行更新。因此，直接遺傳算法具有較大的運(yùn)算復(fù)雜度，且只能求解得到優(yōu)化問(wèn)題 P1的近似最優(yōu)解。

根據(jù)推論1，若信號(hào)源處于WSN 的部署范圍S內(nèi)，傳感器節(jié)點(diǎn)應(yīng)盡可能地部署在該區(qū)域的外部邊界，且盡可能地避免多個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)共線(xiàn)，由此可避免定位盲區(qū)，降低區(qū)域的平均定位誤差。因此，若S為凸集，可以將 P1中的決策變量修改為

其中，θi表示第i個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)相對(duì)于S內(nèi)任一參考坐標(biāo)原點(diǎn)（例如s0）的方位角，即

由于S為凸集，則方位角與位置坐標(biāo)可一一對(duì)應(yīng)，可以將節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化問(wèn)題改寫(xiě)為 P2，即

在 P2中，將 {θ1,θ2,…,θM}所對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)約束在部署區(qū)域的外部邊界，這樣的約束條件設(shè)置內(nèi)在地避免了定位盲區(qū)的產(chǎn)生，從而保證了區(qū)域的平均定位精度，因此優(yōu)化問(wèn)題 P2的解可進(jìn)一步逼近最優(yōu)節(jié)點(diǎn)部署方案。

為了對(duì)比算法復(fù)雜度，本文給出如下定義。定義算法在單個(gè)個(gè)體迭代中花費(fèi)的時(shí)間為tf=tfitness+tselection+tcrossover+tmutation，其中，tfitness表示計(jì)算環(huán)境適應(yīng)度函數(shù)的時(shí)間成本，tselection、tcrossover、tmutation分別表示執(zhí)行選擇、重組、突變的時(shí)間成本。定義可允許的最大進(jìn)化迭代次數(shù)為L(zhǎng)max，則遺傳算法的時(shí)間復(fù)雜度為ttotal=LmaxN p tf[22]，其中，Np為種群中的個(gè)體數(shù)量且已在3.3.1 節(jié)給出。需要說(shuō)明的是，在所關(guān)注的優(yōu)化問(wèn)題 P1和 P2中，決策變量維度分別為2M和M，而在進(jìn)行環(huán)境適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算時(shí)，仍然把各節(jié)點(diǎn)的角度信息轉(zhuǎn)換為二維坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，因此所提算法與直接遺傳算法的tfitness+tselection是近似相同的；由于tcrossover+tmutation和決策變量的維度有直接關(guān)系，因此所提算法的這部分時(shí)間成本更低。綜上，在求解節(jié)點(diǎn)部署優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，所提基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法的時(shí)間復(fù)雜度比直接遺傳算法稍具優(yōu)勢(shì)。

4 仿真驗(yàn)證與分析

本節(jié)通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，驗(yàn)證單信號(hào)源CRLB 的相關(guān)性質(zhì)、驗(yàn)證與分析定位盲區(qū)的存在區(qū)域、對(duì)比不同傳感器節(jié)點(diǎn)部署算法的性能。本節(jié)仿真所采用的仿真平臺(tái)是安裝于Intel(R) Core(TM) i9-9900K CPU @ 3.60 GHz 計(jì)算機(jī)的MATLAB R2021a 軟件。

需要說(shuō)明的是，針對(duì)單信號(hào)源CRLB 性質(zhì)驗(yàn)證的主要目的是闡述測(cè)量誤差給定時(shí)，定位幾何構(gòu)型對(duì)定位精度的影響；針對(duì)區(qū)域CRLB 性質(zhì)驗(yàn)證的主要目的是給出定位盲區(qū)的出現(xiàn)區(qū)域，并說(shuō)明與蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性；針對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)部署的仿真分析是為了說(shuō)明所提算法的優(yōu)勢(shì)。

4.1 單信號(hào)源CRLB 性質(zhì)驗(yàn)證

構(gòu)建存在單信號(hào)源的二維定位場(chǎng)景，其中，信號(hào)源的位置坐標(biāo)為u= [0,0]T，有M=5個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)，位置坐標(biāo)分別為s1= [300,100]T,s2=[400,150]T,s3= [300,500]T,s4= [350,200]T,s5=[ -100,-1 00]T。設(shè)這組傳感器節(jié)點(diǎn)為 WSN1。在 WSN1的基礎(chǔ)上，將傳感器節(jié)點(diǎn)s1,s3,s5的位置坐標(biāo)相對(duì)于信號(hào)源向外擴(kuò)展，生成 WSN2={ks1,s2,ks3,s4,ks5}。在本節(jié)的仿真中，k=1.2。與 WSN2相比，WSN1傳感器節(jié)點(diǎn)相對(duì)信號(hào)源的方向向量未發(fā)生變化，而部分傳感器節(jié)點(diǎn)與信號(hào)源的距離變大了。

單信號(hào)源定位場(chǎng)景中Root CRLB 和均方根誤差（RMSE,root mean squared error）的仿真結(jié)果如表1所示，其中，RMSE 是由200 次蒙特卡羅仿真得到的。CRLB 為均方誤差（MSE）的理論下界，Root CRLB（即CRLB 的平方根值）為RMSE 的理論下界。由表1可知，當(dāng)WSN中任一節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)且TDoA測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣已知時(shí)，更換參考節(jié)點(diǎn)并不影響該WSN 對(duì)信號(hào)源的CRLB，RMSE 也近似相等。此外，當(dāng)TDoA 測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣不變且WSN 中部分傳感器節(jié)點(diǎn)沿著信號(hào)源與傳感器節(jié)點(diǎn)所在射線(xiàn)（需要保證方向向量不變）移動(dòng)時(shí)，WSN 對(duì)信號(hào)源的CRLB 不變，RMSE 近似相等。

表1 單信號(hào)源定位場(chǎng)景中Root CRLB 和RMSE 的仿真結(jié)果

4.2 定位盲區(qū)仿真驗(yàn)證與分析

在對(duì)定位盲區(qū)的理論分析中，本文將CRLB 視為定位精度的衡量指標(biāo)，因?yàn)镃RLB 能夠給出某一定位場(chǎng)景下WSN 對(duì)信號(hào)源定位精度的理論下界，即任何無(wú)偏估計(jì)定位算法的定位誤差均大于CRLB。本節(jié)引入定位解析算法，并設(shè)置蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)來(lái)計(jì)算定位解析算法的RMSE，通過(guò)與CRLB 進(jìn)行對(duì)比分析來(lái)驗(yàn)證基于CRLB 對(duì)定位盲區(qū)分析的準(zhǔn)確性。

考慮一個(gè)包含M=5個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的WSN，傳感器節(jié)點(diǎn)呈線(xiàn)形排列，位置坐標(biāo)分別為。WSN 的覆蓋區(qū)域?yàn)檎叫危?。將s1視為參考節(jié)點(diǎn)，設(shè)置TDoA 測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為。當(dāng)給定WSN 中各個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)后，對(duì)覆蓋區(qū)域U均勻采樣獲取若干采樣點(diǎn)，并計(jì)算每個(gè)采樣點(diǎn)的CRLB，便可繪制覆蓋區(qū)域內(nèi)CRLB 分布等高線(xiàn)圖。WSN 中節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性排列時(shí)Root CRLB 和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖如圖3 所示。需要說(shuō)明的是，節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性排列導(dǎo)致文獻(xiàn)[4]算法產(chǎn)生奇異矩陣而失效。為了獲取RMSE，本節(jié)利用一階泰勒級(jí)數(shù)的方法[26]在真實(shí)信號(hào)源附近進(jìn)行搜索。盡管如此，信號(hào)源真實(shí)位置作為初始點(diǎn)的泰勒展開(kāi)法在絕對(duì)的定位盲點(diǎn)也無(wú)法獲取信號(hào)源位置估計(jì)值。此外，在仿真圖中，等高線(xiàn)所表示的定位精度單位為米，為避免文字重疊，圖中將定位誤差的單位省去，后續(xù)仿真圖中等高線(xiàn)的定位精度單位也并未標(biāo)注。

根據(jù)圖3 可知，線(xiàn)形排列的WSN 所在直線(xiàn)為定位盲區(qū)，在該區(qū)域，CRLB 不存在，RMSE 無(wú)窮大。由WSN 所在直線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)兩側(cè)向WSN 所在直線(xiàn)的中垂線(xiàn)方向（[-5000,5 000]與[5 000,-5 000]連線(xiàn)的方向）移動(dòng)，CRLB 逐漸變小，定位算法的RMSE 從“不存在”過(guò)渡為異常大。在中垂線(xiàn)方向，WSN 的定位精度最優(yōu)，絕大多區(qū)域定位精度在10 m 以下。

為了論證定理1 中情況2 的定位盲區(qū)，將WSN中的s5由[ -2 500,-2 500]T移動(dòng)至[ -2 500,-2 500]T，WSN 中節(jié)點(diǎn)的排列不再是線(xiàn)形，此時(shí)Root CRLB和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖如圖4 所示。由圖4 可知，1)s1至s4所在直線(xiàn)的外側(cè)仍為定位盲區(qū)，CRLB 不存在，RMSE 無(wú)窮大；2) 偏出的節(jié)點(diǎn)s5附近并不存在定位盲區(qū)；3) WSN 節(jié)點(diǎn)所包圍的區(qū)域內(nèi)定位精度可達(dá)4 m，包圍區(qū)域內(nèi)不存在盲點(diǎn)。圖4 的仿真結(jié)果與定理1 結(jié)論一致，結(jié)合圖3 與圖4 可證明推論1 的相關(guān)結(jié)論。

圖3 WSN 中節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性排列時(shí)Root CRLB 和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖

圖4 WSN 中一個(gè)節(jié)點(diǎn)偏出時(shí)Root CRLB 和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖

進(jìn)一步地，將WSN 中的s4由[ 2 500,2 500]T移動(dòng)至[ 2 500,-2 500]T，此時(shí)WSN 相對(duì)于覆蓋區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的不同方向向量個(gè)數(shù)均大于2，不滿(mǎn)足定理1中的情況2。WSN中2個(gè)節(jié)點(diǎn)偏出時(shí)Root CRLB和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖如圖5 所示。由圖5 可知，WSN 覆蓋區(qū)域內(nèi)不存在定位盲區(qū)，絕大多區(qū)域的定位精度在10 m 以下。圖5 的仿真結(jié)果證明了定理1 的正確性。

圖5 WSN 中2 個(gè)節(jié)點(diǎn)偏出時(shí)Root CRLB 和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖

為了驗(yàn)證推論2，本節(jié)選取圖4 中的WSN 部署方式，并設(shè)置4 組不同的TDoA 測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差，即。TDoA 測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差變化時(shí)Root CRLB 的分布等高線(xiàn)圖如圖6 所示。由圖6 可知，TDoA 測(cè)量誤差的強(qiáng)度并不影響CRLB的等高線(xiàn)分布，只是在不同的等高線(xiàn)上定位誤差不同；當(dāng)TDoA 測(cè)量誤差為對(duì)角矩陣時(shí)，定位精度與測(cè)量誤差的方差呈線(xiàn)性關(guān)系。需要說(shuō)明的是，在研究無(wú)線(xiàn)定位網(wǎng)絡(luò)空間幾何構(gòu)型的影響時(shí)，可將測(cè)量誤差歸一化，并采用定位精度幾何因子（GDOP,geometric dilution of precision）作為分析對(duì)象[7]。

圖6 TDoA 測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差變化時(shí)Root CRLB 的分布等高線(xiàn)圖

當(dāng)WSN 僅保留3 個(gè)節(jié)點(diǎn)，且呈等邊三角形式分布時(shí)，WSN 覆蓋區(qū)域的Root CRLB 和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖如圖7 所示。需要說(shuō)明的是，三節(jié)點(diǎn)TDoA 定位場(chǎng)景的RMSE 是利用文獻(xiàn)[27]中所提出的算法，結(jié)合一階泰勒展開(kāi)法獲得的。由圖7 可知，在任意2 個(gè)節(jié)點(diǎn)的外側(cè)，存在定位盲區(qū)，不存在CRLB，RMSE 無(wú)窮大；在節(jié)點(diǎn)包圍區(qū)域的內(nèi)部，不存在定位盲點(diǎn)，這與推論3 是一致的。

圖7 WSN 僅包含3 個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)Root CRLB 和RMSE 的分布等高線(xiàn)圖

4.3 傳感器節(jié)點(diǎn)部署算法驗(yàn)證與分析

由圖3～圖5 可知，當(dāng)傳感器節(jié)點(diǎn)部署方式發(fā)生變化時(shí)，覆蓋區(qū)域內(nèi)定位精度的等高線(xiàn)也在發(fā)生變化。本節(jié)通過(guò)仿真分析的形式，研究覆蓋區(qū)域平均CRLB 最小化的傳感器節(jié)點(diǎn)部署算法。

考慮存在M=5個(gè)節(jié)點(diǎn)的WSN，假設(shè)其部署區(qū)域與覆蓋區(qū)域相同，即S==[ -5 000,-5 000]T×[ 5 000,5 000]T。假設(shè)不考慮傳感器節(jié)點(diǎn)的通信距離與覆蓋范圍約束，并設(shè)置TDoA 測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為。

為了驗(yàn)證所提的基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法，本節(jié)設(shè)計(jì)了3 個(gè)對(duì)比算法：均勻角度部署算法、區(qū)域頂點(diǎn)部署算法、直接遺傳算法。均勻角度部署算法以覆蓋區(qū)域?yàn)橹行模瑢⑷總鞲衅鞴?jié)點(diǎn)部署于。區(qū)域頂點(diǎn)部署算法將4 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)部署于覆蓋區(qū)域的4 個(gè)頂點(diǎn)，另外一個(gè)位于覆蓋區(qū)域的中心。直接遺傳算法如3.3.1 節(jié)所述，將傳感器節(jié)點(diǎn)的空間位置作為決策變量，在覆蓋區(qū)域S中迭代搜尋，獲取使平均CRLB 最小的節(jié)點(diǎn)部署方案。

4 種節(jié)點(diǎn)部署算法對(duì)覆蓋區(qū)域定位的性能對(duì)比如圖8 所示。由圖8(a)可知，所提基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法能夠獲得最小的平均Root CRLB，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)部署方案能實(shí)現(xiàn)覆蓋區(qū)域內(nèi)信號(hào)源的最優(yōu)定位精度。當(dāng) TDoA 測(cè)量誤差的方差為時(shí)，所提算法對(duì)于區(qū)域的平均定位精度比均勻角度部署算法提高了33.92%，比區(qū)域頂點(diǎn)部署算法提高了13.74%，比直接遺傳算法提高了9.65%。

圖8 4 種節(jié)點(diǎn)部署算法對(duì)覆蓋區(qū)域定位的性能對(duì)比

圖8(b)中時(shí)間復(fù)雜度由算法的運(yùn)行時(shí)間反映。直接遺傳算法和所提基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法中均設(shè)置種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)為200 次，算法終止條件為目標(biāo)的迭代增量。由圖8(b)可知，隨著可部署的傳感器節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，2 種算法可獲得的平均Root CRLB 都在逐漸變小，這表示部署更多的傳感器節(jié)點(diǎn)可提升覆蓋區(qū)域內(nèi)目標(biāo)的定位精度。其次，基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法運(yùn)算時(shí)間小于直接遺傳算法，這是因?yàn)橹苯舆z傳算法在定義域內(nèi)進(jìn)行全域搜索，且決策變量維度較高，而所提算法只在部署區(qū)域的邊界進(jìn)行迭代搜索，且決策變量維度較低，因而時(shí)間復(fù)雜度也較低。

圖9 典型TDoA 測(cè)量誤差下4 種節(jié)點(diǎn)部署算法對(duì)區(qū)域定位時(shí)平均Root CRLB 分布等高線(xiàn)圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)TDoA 為定位參數(shù)的WSN，從單信號(hào)源定位精度CRLB 入手，探討了傳感器節(jié)點(diǎn)與信號(hào)源的方向向量對(duì)CRLB 的影響，給出了定位盲區(qū)產(chǎn)生的充分條件，并分析了TDoA 測(cè)量誤差、傳感器節(jié)點(diǎn)排列方式等多種因素對(duì)定位盲區(qū)的影響。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了傳感器節(jié)點(diǎn)部署問(wèn)題，并提出了基于定位盲區(qū)預(yù)判斷的遺傳算法來(lái)求解。仿真表明，所提算法相較于區(qū)域頂點(diǎn)部署、均勻角度部署、直接遺傳算法，可將定位精度大幅提升。本文提出的定位盲區(qū)研究方法對(duì)已部署網(wǎng)絡(luò)的定位性能分析具有參考意義，所提節(jié)點(diǎn)部署方案對(duì)待部署網(wǎng)絡(luò)的定位盲區(qū)出現(xiàn)區(qū)域具有指導(dǎo)意義，具有廣泛的應(yīng)用前景。