傅樹兵

(福建省漳州招商局經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)海濱學(xué)校 363122)

與“圓”有關(guān)的最值問題解題思路靈活多變，其中函數(shù)視角、圖形視角、對(duì)稱視角、坐標(biāo)視角、向量視角是解題的常用視角.不同視角適合分析的問題類型不同，解題細(xì)節(jié)存在較大差別，為使學(xué)生掌握不同解題視角的關(guān)鍵，教師應(yīng)以經(jīng)典例題為載體展開教學(xué)活動(dòng).

1 基于函數(shù)視角解題

基于對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)與理解不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解題時(shí)關(guān)鍵需把握兩點(diǎn)：(1)構(gòu)建正確的函數(shù)類型；(2)以函數(shù)為依托探討最值問題需圍繞自變量開展.能否正確地確定自變量范圍，關(guān)系著求解結(jié)果的正確性，需根據(jù)習(xí)題情境以及實(shí)際情況，因此，應(yīng)認(rèn)真確定自變量的上限與下限.

例1 已知圓M和N的方程分別為：(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1(0≤θ<2π)，x2+y2-2x-4y=0.若兩圓交于A，B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為____.

圖1

2 基于圖形視角解題

例2 已知直線x+y=4上存在一動(dòng)點(diǎn)P.過點(diǎn)P向圓O：x2+y2=4引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.在圓G：(x-4)2+(y-5)2=1上存在一動(dòng)點(diǎn)M，則M到直線AB距離的最大值為____.

圖2

3 基于對(duì)稱視角解題

基于對(duì)稱視角解答與“圓”有關(guān)的最值問題，首先應(yīng)突破如何尋找對(duì)稱關(guān)系這一重點(diǎn).尋找對(duì)稱關(guān)系基于相關(guān)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)圖形關(guān)系的深入洞察，尤其需思考找到“對(duì)稱”對(duì)象后接下來(lái)該怎么處理，是否實(shí)現(xiàn)了化難為易的目的.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過“對(duì)稱”處理后，最值點(diǎn)往往出現(xiàn)在點(diǎn)的共線上，并且這一共線關(guān)系和一些圓的圓心關(guān)系密切.在這一方向指引下不難尋找到正確思路，接下來(lái)只需認(rèn)真計(jì)算即可.

圖3

4 基于坐標(biāo)視角解題

對(duì)于與“圓”有關(guān)最值問題的求解，可根據(jù)實(shí)際情況從坐標(biāo)視角進(jìn)行分析，通過坐標(biāo)計(jì)算與圖形關(guān)系的結(jié)合不難尋找到解題思路.眾所周知，平面圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)系位置密切相關(guān).為降低計(jì)算復(fù)雜度應(yīng)首先依托現(xiàn)有的圖形、線段關(guān)系構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系.在此基礎(chǔ)上合理設(shè)出相關(guān)參數(shù)，對(duì)相關(guān)點(diǎn)的位置加以準(zhǔn)確刻畫.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一些點(diǎn)的位置往往是動(dòng)態(tài)變化的，其軌跡會(huì)形成一個(gè)圓或圓的一段弧.對(duì)于圓弧而言可借助圓的方程以及對(duì)應(yīng)參數(shù)范圍加以限定.以此為基礎(chǔ)充分利用題干中的已知條件逐漸向要求解的問題靠攏，直到經(jīng)過運(yùn)算能夠運(yùn)用熟悉的知識(shí)順利得出結(jié)果.

圖4

新課改思想對(duì)于教育教學(xué)有重要的指導(dǎo)作用，其要求的尊重學(xué)生學(xué)習(xí)成長(zhǎng)階段，循序漸進(jìn)的指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)對(duì)于學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)也有指導(dǎo)作用。在探索數(shù)學(xué)閱讀之道的過程中，不能忽視新課改思想的應(yīng)用，也不能忽視學(xué)生的身心發(fā)展階段性，要循序漸進(jìn)的指導(dǎo)學(xué)生閱讀行為，培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣。

5 基于向量視角解題

向量與線段的區(qū)別在于向量具有方向性，使得其運(yùn)算必須遵循自身的法則，但是向量的模與線段的長(zhǎng)度是統(tǒng)一的.針對(duì)這一情況，可從向量視角解決一些與“圓”有關(guān)的最值問題.一般情況下，基于向量視角解決與“圓”有關(guān)的最值問題時(shí)，一般題干中都會(huì)有提示，如以向量的形式給出已知條件或者要求與向量相關(guān)的最值等.當(dāng)然僅僅知道這一點(diǎn)是不行的，需充分運(yùn)用已知條件通過抽象、運(yùn)算、整理等處理，使得一些隱含的關(guān)系清晰地展示出來(lái)，為向量知識(shí)的運(yùn)用做好鋪墊.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)與“圓”有關(guān)的最值問題是非常重要的一類問題.該類問題又被進(jìn)一步細(xì)分為多種情境，而且不同情境應(yīng)用的解題思路有時(shí)存在較大差別.實(shí)踐中為使學(xué)生能夠舉一反三，實(shí)現(xiàn)解題能力以及解題靈活性的提升，在做好相關(guān)情境類似問題的基礎(chǔ)上講解常用的解題視角，并依托習(xí)題做好各視角在解題中的應(yīng)用展示，鼓勵(lì)學(xué)生多思考、多揣摩，將相關(guān)細(xì)節(jié)理解到位，把控到位.