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        解三角形的最值問題

        2023-02-20 04:11:36馬揚博王楨宇
        數(shù)理化解題研究 2023年1期
        關鍵詞:中線邊長教科書

        馬揚博 王楨宇

        (北京市第一七一中學 100013)

        1 試題呈現(xiàn)

        圖1

        2 試題解析

        思路1 向量法.

        結合圖形,構造向量表達式,平方可以將向量運算轉(zhuǎn)化為模長運算,得到三角形邊的關系,通過均值不等式求解即可.

        解法1向量圖形運算.

        得b2+c2+bc=36.

        又因為b2+c2≥2bc,

        所以bc≤12,當且僅當b=c時取等號.

        解法2 向量圖形運算.

        兩式平方相減,得

        即2bc=36-a2.

        所以b2+c2=bc+a2.

        代入a2可得b2+c2+bc=36,后同解法1.

        解法3極化恒等式.

        所以a2=36-2bc.

        后同解法2.

        極化恒等式是將向量點積運算轉(zhuǎn)化為三角形邊長運算的重要課本結論,尤其是本題這種涉及中線長的問題,通過該式可以快速建立運算表達式.

        思路2 以角為紐帶聯(lián)系邊長.

        解法4 互補的角.

        設∠ADC=θ,∠ADB=φ,

        且cosθ+cosφ=0,

        所以2b2+2c2=36+a2.

        所以b2+c2=bc+a2.

        化簡可得b2+c2+bc=36,后同解法1.

        互補兩角的正弦值相等,余弦值相反在解三角形中是很常用的,比如證明“角分線性質(zhì)”時就可以用該方法.問題如下:

        已知:a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,AD是∠A的平分線.

        同學們快來試試吧.

        解法5 算兩次.

        所以2b2+2c2=36+a2.后同解法2.

        △ABC與△ADC內(nèi)都有∠C,分別在兩個三角形中應用余弦定理,以∠C為紐帶聯(lián)系邊長關系屬于“算兩次”的思想.該方法適用于有兩個不同的三角形共用其中的邊或角的情況,既可以通過角算兩次,也可以通過邊算兩次.

        思路3 利用教科書結論直接尋找邊長關系.

        人教A版教科書必修二第39頁例2證明了“平行四邊形對角線平方和等于四條邊平方和”.本題可以“倍長中線”構造一個ABEC,再利用上面結論解答.

        圖2

        解法6如圖2,延長AD至點E使AE=2AD.

        由上述課本結論得

        2AB2+2AC2=AE2+BC2.

        即2b2+2c2=36+a2,后同解法4.

        該課本結論,證明簡單、應用方便,其變形形式即為“中線長定理”.人教A版教科書必修第二冊53頁15題給出了該公式:

        △ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為ma,mb,mc,利用余弦定理證明

        證明略.

        思路4 坐標法.

        由AD=3,

        所以x1x2≤6,

        當且僅當x1=x2時取等號.

        綜上所述,本題在△ABC是等腰三角形時取到最大值,解題方法眾多,但也可以看出,向量方法明顯是更為行之有效的,可能這就是教科書沒有把解三角形的知識放在必修一中,而是放在必修二的向量章節(jié)中的原因吧.

        四種解題思路也是處理解三角形問題的常用方法,另外,同學們還要關注教科書中的常用結論,寶藏多多,等待大家挖掘.

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