鐘振 文麒麟 梁金福

(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽 550025)

針對當(dāng)前InSight 數(shù)據(jù)無法檢測火星固態(tài)內(nèi)核是否存在的問題,提出利用火星平均密度和平均慣性矩因子估算火星固態(tài)內(nèi)核的大小及其密度組成.根據(jù)火星高階重力場模型JGMRO120f 和GMM3-120 以及最新火星歲差率,推導(dǎo)了觀測數(shù)據(jù)下的火星平均密度和平均慣性矩因子;參考火星內(nèi)部結(jié)構(gòu)的4 層模型以及不同自由參數(shù)(殼層密度、幔層密度、外核密度、內(nèi)核大小和內(nèi)核密度),求解了火星平均密度和平均慣性矩因子的模型值.利用觀測值與模型值最小殘差平方和作為約束條件,大批量統(tǒng)計結(jié)果表明: 1)兩個重力場模型求解的自由參數(shù)具有相同的分布特征,自由參數(shù)的最優(yōu)值基本一致;2)火星殼層密度、幔層密度和外核密度接近其他研究結(jié)果,表明統(tǒng)計結(jié)果有一定的參考價值;3)火星可能存在840 km 左右的固態(tài)內(nèi)核,其密度約為6950 kg?m–3.內(nèi)核密度大小表明火星內(nèi)核不由純鐵物質(zhì)組成,該結(jié)果與火星核富集輕元素物質(zhì)的近期研究一致,計算結(jié)果具有一定的參考價值.由于反演結(jié)果的非唯一性,未來隨著InSight 火星星震數(shù)據(jù)處理技術(shù)的提高,有望進一步約束火星內(nèi)核的大小及其組成.

1 引言

作為巖石質(zhì)天體的火星,其南半球高地火星殼內(nèi)存在的剩磁,揭示了火星核早期存在發(fā)電機效應(yīng)[1].通過研究火星核的大小及密度組成,可以探究巖石質(zhì)行星自吸積形成后的早期分異、行星核發(fā)電機效應(yīng)和行星幔熱演化模式等,進而從比較行星學(xué)的角度推測巖石質(zhì)天體的演化歷程[2].由于早期缺乏直接觀測數(shù)據(jù),特別是全球性的火星物理數(shù)據(jù),火星核的大小及組成在早期主要由隕石成分間接進行估算[3].通過隕石分析,結(jié)合火星物理模型,特別是黏彈性熱動力學(xué)模型,推測火星存在液態(tài)核的可能性較大,火星核的大小在1730—1840 km 之間[4,5].類似地,Bagheri 等[6]利用流體模型仿真火星內(nèi)部的黏彈性潮汐響應(yīng),發(fā)現(xiàn)火星核可能為液態(tài),其大小在1750—1890 km 之間.隨著越來越多火星探測器的成功發(fā)射,利用眾多探測器(例如,海盜號(Viking),火星探路者號(Mars Pathfinder),火星全球勘測探測器(Mars global surveyor,MGS),火星奧德賽探測器(Mars Odyssey,ODY)和火星勘測軌道器 (Mars reconnaissance orbiter,MRO))軌道跟蹤數(shù)據(jù)反演火星核的大小及密度組成也成為可能[7,8].Rivoldini等[9]利用火星探測器軌道跟蹤估算的平均慣量矩和平均密度,發(fā)現(xiàn)火星核為液態(tài)的可能性較大,火星核的大小在1794 km 左右.Konopliv 等[10]利用火星探測器多年的軌道跟蹤數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)火星存在類似地球的錢德勒擺動(Chandler wobble),并利用錢德勒擺動推測火星核的大小約為1790 km.

無論從隕石數(shù)據(jù)著手的熱動力學(xué)模型,還是基于火星探測器軌道跟蹤數(shù)據(jù)的力學(xué)模型,盡管推測火星液態(tài)核的大小在1800 km 左右,但還不能最終確定火星核的大小和狀態(tài).隨著火星洞察號InSight (the interior exploration using seismic investigations,geodesy,and heat transport)任務(wù)的成功實施,St?hler 等[11]利用InSight 任務(wù)期間積累的火星星震數(shù)據(jù),最終確定液態(tài)火星核的大小在1830 km 左右,但還不能確定火星內(nèi)核的大小.利用平均慣性矩因子,結(jié)合火星平均密度,為估算火星內(nèi)核大小及密度組成提供了一條有效的解決之路,Sohl 等[12]曾利用這種辦法估算了火星核的大小及密度分布.隨著眾多火星探測器軌道跟蹤數(shù)據(jù)的加入,火星平均慣性矩因子的可靠性不斷增強,Kahan 等[13]結(jié)合以往探測器和InSight 軌道跟蹤數(shù)據(jù),推算了最新的火星歲差變化率.參考文獻[12,14]的方法,可以通過火星歲差變化率推算較新的平均慣性矩因子,結(jié)合火星平均密度,可以推測火星內(nèi)核大小及密度組成,進而為火星內(nèi)部結(jié)構(gòu)研究提供一定的參考.

2 火星平均密度和平均慣性矩因子

當(dāng)前,火星主要高階重力場是JGMRO120d[8]和GMM3-120[7],這兩個模型的最大展開階次均為120 階次.其中,JGMRO120d 主要依據(jù)MRO以及部分MGS 的軌道跟蹤數(shù)據(jù)求解而來,被廣泛應(yīng)用于后續(xù)科學(xué)研究中[15,16],目前數(shù)據(jù)更新后的模型為JGMRO120f[17].GMM3-120 除了參考MRO和MGS的軌道跟蹤數(shù)據(jù)外,還參考了ODY 的軌道跟蹤數(shù)據(jù).在GMM3-120 基礎(chǔ)上,結(jié)合火星地形數(shù)據(jù)MarsTopo2600[18],還產(chǎn)生了新的火星重力場模型GMM3-rm1-lambda-100[19].由于GMM3-rm1-lambda-100參考了地形數(shù)據(jù),其高階位系數(shù)與模型GMM3-120 存在差異,而低階位系數(shù)沒有變化.鑒于上述緣由,本文只對JGMRO120f 和GMM3-120的低階位系數(shù)進行研究分析,這兩個模型規(guī)格化的低階系數(shù)見表1.根據(jù)重力場模型提供的火星常數(shù)GM,同時參考引力常數(shù)G的最新結(jié)果[20],可以得到火星的平均質(zhì)量M.依據(jù)求解的火星總質(zhì)量M以及火星平均參考半徑R,可以求解火星的平均密度ρˉ .不同重力場模型求解的火星總質(zhì)量M略有差別,以致估算的平均密度ρˉ 也略有差別,但不同模型估算值的偏差不超過10–3kg.火星平均密度偏差在10–1kg 內(nèi)對火星內(nèi)核估算的影響幾乎可以忽略不計[12],考慮2 個重力場模型求解的平均密度在10–3kg 內(nèi)完全一致,表1 給出了該范圍內(nèi)的火星平均密度.

為了約束火星核的大小及其密度組成,需要估算火星的平均慣性矩I.平均慣性矩I和極軸慣性矩C之間的關(guān)系為[12]

其中,M和R分別表示火星總質(zhì)量和火星平均參考半徑,C20表示重力場模型規(guī)格化的二階位系數(shù),如表1 所列.為了方便,這里稱I/(MR2) 為平均慣性矩因子,稱C/(MR2) 為極軸慣性矩因子.在計算平均慣性矩時,需考慮火星塔爾西斯山群(Tharsis)對平均慣性矩的改正[12,21].考慮Tharsis 改正的火星平均慣性矩C有如下關(guān)系[12]:

表1 參數(shù)取值Table 1.Values of the parameters used in calculation.

結(jié)合(2)式和(4)式,可以求解不同重力場模型的平均慣性矩因子(表1).

3 火星內(nèi)部圈層結(jié)構(gòu)與控制方程

St?hler 等[11]利用最新的InSight 火星星震數(shù)據(jù),最終確定火星液態(tài)外核的大小為1830 km,該研究進一步表明火星不存在相當(dāng)稠密且絕熱的下火星幔.Knapmeyer-Endrun 等[23]利用InSight 數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)火星殼存在2 層或3 層結(jié)構(gòu),平均厚度在24—72 km 之間.研究表明利用慣性矩因子和平均密度約束內(nèi)核結(jié)構(gòu)而言,內(nèi)核結(jié)構(gòu)對火星殼厚度不敏感[12,24].取文獻[15]的火星殼平均厚度50 km作為固定值,整個火星內(nèi)部圈層結(jié)構(gòu)如圖1 所示.

假設(shè)圖1 模型的平均慣性矩為Imod,則模型平均慣性矩因子為Imod/(MR2) .由圖1 可推導(dǎo)出該模型平均密度ρmod和平均慣性矩因子Imod/(MR2)分別為

圖1 火星內(nèi)部圈層結(jié)構(gòu)Fig.1.Sketch of Martian internal structure with various layers.

式中,rm和ρm分別表示火星幔頂部參考半徑和火星幔密度,rco和ρco分別表示火星外核頂部參考半徑和火星外核密度,rci和ρci分別表示火星內(nèi)核頂部參考半徑和火星內(nèi)核密度.由(5)式和(6)式可以求解得到不同待估參數(shù)的平均密度ρmod和平均慣性矩因子乘數(shù)將這兩個模型值分別與表1平均密度測量值ρˉ 及平均慣性矩因子測量值做差,以它們的最小平方和f作為判據(jù),即可以得到待估參數(shù)的最優(yōu)值.該反演問題的目標(biāo)函數(shù)f的表達式為[25]

在本文參數(shù)估算中,以目標(biāo)函數(shù)f<0.1 作為最優(yōu)參數(shù)選取的判斷條件.如圖1 所示,R表示火星平均半徑[11,12],取值見表1,火星外核項部半徑和火星殼的厚度設(shè)為固定值,其余參數(shù)為待估值,固定值與待估值范圍見表2.為了評估待求參數(shù)x對目標(biāo)函數(shù)(7)式的敏感度S,將S定義為[24]

表2 火星內(nèi)部結(jié)構(gòu)固定參數(shù)與待求參數(shù)Table 2.Fixed and free parameters of the Martian inner structure.

其中,x表示包括火星內(nèi)核半徑、火星殼密度、火星幔密度、火星外核密度以及火星內(nèi)核密度的待求參數(shù).相關(guān)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可由(5)式和(6)式求出.

4 結(jié)果與分析

為了估算火星內(nèi)核大小及其密度的組成,以(7)式作為最優(yōu)值的判據(jù),使用粒子群算法[25]對表2 中5 個自由參數(shù)進行反演.這5 個自由參數(shù)分別為火星內(nèi)核半徑rci,火星殼密度ρs,火星幔密度ρm,火星外核密度ρco,火星內(nèi)核密度ρci.在計算過程中,選取粒子群種群規(guī)模mp=1500 個粒子,每次迭代次數(shù)nmax=500 次.由于只有(5)式和(6)式作為約束條件,而自由參數(shù)個數(shù)高于約束方程的數(shù)量,對此類欠定問題而言,反演結(jié)果存在非唯一性.為了降低反演結(jié)果的不穩(wěn)定性,使用粒子群估算10000 次,類似大批量的估算結(jié)果不但穩(wěn)定,而且還具有一定的統(tǒng)計意義.表2 待估參數(shù)的分布如圖2 和圖3 所示,圖2 表示(6)式平均慣性矩因子參考重力場模型JGMRO120f 的結(jié)果(表1),圖3表示平均慣性矩因子參考重力場模型GMM3-120的結(jié)果.圖2(a)和圖3(a)顯示極大概率下的火星內(nèi)核密度ρci約為6950 kg?m–3,表明火星內(nèi)核不由純鐵物質(zhì)組成,應(yīng)該包含其他輕元素物質(zhì).該結(jié)果與文獻[3,26]的結(jié)果較一致,文獻[3]認為火星核富集硫元素,文獻[26]認為除硫元素外,火星核可能存在一定量的碳和硅等輕元素物質(zhì).圖2(b)和圖3(b)表明火星內(nèi)核大小在840 km 左右,其大小不到整個火星核體積的10%,這可能是當(dāng)前InSight數(shù)據(jù)無法檢測出火星固態(tài)內(nèi)核的原因[11].

圖2 由重力場模型JGMRO120f 推算的質(zhì)量、平均慣性矩因子和二階位系數(shù)反演的相關(guān)參數(shù)Fig.2.Parameters estimated from the calculated Martian mass,mean moment of inertia factor and gravitation coefficient of degree 2 of the gravity field model JGMRO120f.

圖3 由重力場模型GMM3-120 推算的質(zhì)量、平均慣性矩因子和二階位系數(shù)反演的相關(guān)參數(shù)Fig.3.Parameters estimated from the calculated Martian mass,mean moment of inertia factor and gravitation coefficient of degree 2 of the gravity field model GMM3-120.

圖2(c)和圖3(c)表明極大概率下的火星幔ρm=3477 kg?m–3,該密度的大小在近期研究結(jié)果的范圍內(nèi)(3100—3650 kg?m–3)[27],接近于礦物學(xué)研究結(jié)果3550 kg?m–3[28].若考慮火星幔氧化鐵的低含量特征[29],本文所估算的火星幔密度具有一定的合理性.圖2(d)和圖3(d)表明極大概率下的火星液態(tài)外核密度ρco=6400 kg?m–3,大于文獻[11]所給范圍的最大值6200 kg?m–3.St?hler 等[11]在估算火星液態(tài)外核密度范圍時,沒有考慮火星固態(tài)內(nèi)核的情況,若顧及文獻[11]不考慮火星固態(tài)內(nèi)核產(chǎn)生的差異,本文反演結(jié)果具有一定的參考價值.圖2(e)和圖3(e)表明極大概率下的火星殼密度ρc=3000 kg?m–3,在Wieczorek 等[30]所給出的范圍內(nèi)(2700—3100 kg?m–3),接近該范圍的平均值2900 kg?m–3.文獻[31]利用InSight 數(shù)據(jù),約束了火星北半球低地和南半球高地的火星殼密度范圍(2850—3100 kg?m–3).根據(jù)圖1 模型,可知本文估算的火星殼密度為殼層密度的全球平均值,很顯然本研究結(jié)果(3000 kg?m–3)接近最新火星殼密度范圍(2850—3100 kg?m–3)的平均值(2950 kg?m–3),表明本研究結(jié)果具有一定的參考價值.

為了進一步確保估算結(jié)果的有效性,有必要分析目標(biāo)函數(shù)f對不同待求參數(shù)的敏感度S.通過(5)式和(6)式可以求得平均密度和平均慣性矩因子參數(shù)對不同待求參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),結(jié)合本文估算的待求參數(shù)最優(yōu)值,以及(8)式可以估算出目標(biāo)函數(shù)對不同待求參數(shù)的敏感度.根據(jù)前文對圖2 和圖3的分析,取不同待求參數(shù)的最優(yōu)值:ρci=6950 kg?m–3,rci=840 km,ρm=3477 kg?m–3,ρco=6400 kg?m–3和ρc=3000 kg?m–3,目標(biāo)函數(shù)f對不同待求參數(shù)的敏感度見表3.表3 表明兩個高階重力場模型下,目標(biāo)函數(shù)f對同一待求參數(shù)的敏感度幾乎一致,這與兩個重力場模型平均慣性矩因子的差異較小有關(guān)(平均慣性矩因子見表1).目標(biāo)函數(shù)f對火星幔ρm的敏感度最大,對火星外核密度ρco的敏感度次之,對火星殼密度ρc和火星內(nèi)核密度ρci的敏感度類似,而對火星內(nèi)核大小rci的敏感度較小.參考表3 目標(biāo)函數(shù)f對火星內(nèi)核大小的敏感度(約為–2.65)以及(8)式敏感度的定義,可知火星內(nèi)核大小變化1%時,會導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)減小2.65%,火星內(nèi)核大小的變化對目標(biāo)函數(shù)的影響將不能忽略.因此,本文估算的火星內(nèi)核大小仍然具有一定的參考價值.

表3 目標(biāo)函數(shù)f 對不同待求參數(shù)的敏感度STable 3.Sensitivity of various parameters S to the objective function f.

5 結(jié)論

利用火星120 階次高階重力場模型JGMRO120f和GMM3-120 的二階位系數(shù),結(jié)合InSight 數(shù)據(jù)求解的火星最新歲差率,基于火星5 層內(nèi)部結(jié)構(gòu)模型以及火星平均密度和平均慣性矩因子,應(yīng)用非線性粒子群算法對火星核的大小和組成進行了估算.統(tǒng)計結(jié)果表明: 1)盡管重力場模型JGMRO120f和GMM3-120 求解的平均慣性矩因子存在一定差別,但依據(jù)兩個模型推導(dǎo)的平均慣性矩因子,結(jié)合火星平均密度反演的待估參數(shù)具有類似的分布特征,大概率情況下自由參數(shù)的最優(yōu)值基本一致;2)火星殼密度ρc的全球平均值約為3000 kg?m–3,接近InSight數(shù)據(jù)求解的平均值2950 kg?m–3;3)火星幔密度ρm的極大概率分布值約為3477 kg?m–3,約小于礦物學(xué)研究結(jié)果3550 kg?m–3;4)以InSight數(shù)據(jù)估算的火星外核大小(rco=1840 km)作為約束條件,最優(yōu)反演的火星外核密度ρco約為6400 kg?m–3,約大于近期不考慮固態(tài)內(nèi)核的估算值6200 kg?m–3;5)火星可能存在840 km 的固態(tài)內(nèi)核,最優(yōu)估算的內(nèi)核密度ρci約為6950 kg?m–3,表明火星內(nèi)核不由純鐵物質(zhì)組成,該結(jié)果與火星核富集輕元素物質(zhì)的近期研究一致.綜合考慮最優(yōu)估算的火星殼密度、火星幔密度和火星外核密度,研究得出的火星內(nèi)核大小及其密度組成具有一定的參考價值.鑒于約束方程較少以及反演結(jié)果的非唯一性,未來隨著InSight 火星星震數(shù)據(jù)處理技術(shù)的提高,有望進一步約束火星內(nèi)核的大小及其組成.