周新悅,李永昆

(云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650500)

1.引言

近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程被廣泛應(yīng)用于生物物理、空氣動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、控制理論等領(lǐng)域.隨著其現(xiàn)實(shí)意義的不斷增強(qiáng),許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究,并取得了一系列成果[1-4].同時(shí),通過不同的不動(dòng)點(diǎn)定理或上下界方法求解分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性和多重性成為一個(gè)熱點(diǎn)問題[5-7].

另一方面,在研究多孔介質(zhì)中的湍流流動(dòng)時(shí),Leibenson引入了p-Laplacian算子的概念,后逐漸被應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階邊值問題[8-12].

例如,LU等人[13]利用Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理、Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理以及上下解方法,研究了如下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

在分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究中,積分邊界條件被引入.

例如,張立新和王海菊[14]應(yīng)用Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理及Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了如下邊值問題一個(gè)及多個(gè)正解的存在性,其中1<α ≤2,是標(biāo)準(zhǔn)的Liemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

另外,許佰雁等人[15]結(jié)合Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理和Banach壓縮映射原理,證明了如下邊值問題

基于上述研究,本文研究如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

為了方便,給出如下后文中將會(huì)用到的假設(shè):

2.基礎(chǔ)理論

首先,我們給出本文需要用到的定義,引理和格林函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

定義2.1[2]函數(shù)g:(0,+∞)R的α>0階Riemann-Liouville積分定義為

其中右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)定義的.

定義2.2[2]函數(shù)g:(0,+∞)R的α>0階Riemann-Liouville微分定義為

其中n為不小于α的最小整數(shù),右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)定義的.

引理2.1[16]設(shè)α>0,則對(duì)于(0,1)∩L(0,1),有

其中ciR,i1,2,···,n,n為不小于α的最小整數(shù).

引理2.2設(shè)[0,1],2<α ≤3,則邊值問題

證由引理2.1且2<α ≤3,有

由引理2.2得,邊值問題(2.5)的解為

引理2.4[17]設(shè)k(s)s(1?s)α-1,函數(shù)G1(t,s)有以下性質(zhì):

1)對(duì)任意的t,[0,1],G1(t,s)≥0;

2)對(duì)任意的t,[0,1],Γ(α)G1(t,s)≤(α ?1)k(s).

引理2.5設(shè)條件(H2)成立,則函數(shù)G(t,s)有如下性質(zhì):

對(duì)任意的t,[0,1],Γ(α)G(t,s)≤M0k(s),其中M0(α ?1)(1+

證 由引理2.4可得,

引理2.5得證.

引理2.6函數(shù)H(t,s)有如下性質(zhì):

1) 對(duì)任意的t,[0,1],H(t,s)≥0;

2)對(duì)任意的t,[0,1],Γ(β)H(t,s)≤(1?s)β-1tβ-1.

證當(dāng)0≤t ≤s ≤1時(shí)顯然成立.

當(dāng)0≤s ≤t ≤1時(shí),有0≤t ?s ≤t ?tst(1?s),則(t ?s)β-1≤tβ-1(1?s)β-1.

引理2.6得證.

引理2.7[18](Leray-Schauder連續(xù)原理) 設(shè)X是一個(gè)Banach空間,T:為全連續(xù)算子.若存在R>0使得當(dāng)uλTu,其中(0,1)時(shí),有∥u∥≤R,則算子T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

3.主要結(jié)果

令EC[0,1],定義E中的范數(shù)為∥x∥則E為Banach空間.對(duì)于,定義算子T:為

引理3.1假設(shè)條件(H1),(H2)成立,則T:是全連續(xù)算子.

故T(?)一致有界.

另一方面,易知G1(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù),故對(duì)于給定的[0,1],G(t,s)在[0,1]上一致連續(xù).因此,對(duì)于給定的[0,1]和任意ε>0,存在δ>0,使得當(dāng)t1,t2[0,1]且|t2?t1|<δ時(shí),有

即T(?)等度連續(xù).

應(yīng)用Arzela-Ascoli定理,則T:是全連續(xù)算子.引理3.1得證.

定理3.1設(shè)條件(H1)-(H3)成立,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1.4)至少有一個(gè)解.

證由引理3.1,可得T:是全連續(xù)算子.現(xiàn)在我們證明V:uμTu,0≤μ≤1}是有界的.

即∥u∥≤r.因此,V是有界的.由引理2.7,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1.4)至少有一個(gè)解.定理3.1得證.

定理3.2假設(shè)(H1),(H2),(H4),(H5)成立,則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1.4)有唯一解.

證我們有

因此,由Banach壓縮映射原理,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1.4)有唯一解.定理3.2得證.

4.例子

例1考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

計(jì)算可得M ≈12.591.取r1,則有

f(t,u(θ(t)))t+sinu(θ(t))+10≤12

由定理3.1,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(4.1)至少有一個(gè)解.

例2考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

由定理3.2,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(4.2)有唯一解.