徐玲,白雪,張娟娟

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

1.引言

本文研究具有線性記憶和結(jié)構(gòu)阻尼的非自治Kirchhoff型板方程

一致吸引子的存在性,其中? ?Rn是具有光滑邊界??的有界開區(qū)域,uu(x,t)表示板在點(diǎn)x處t時刻的撓度,ν>0為常數(shù),β是任意常數(shù),函數(shù)M1(·),M2(·),g(·),μ(·),p(x,t)分別滿足如下假設(shè)

(a) 函數(shù)M11(R+),R+[0,+∞),M1(0)0滿足

(b) 函數(shù)M21(R+),M2(0)0滿足

(d) 關(guān)于記憶核函數(shù),假設(shè)μ(·)滿足

(e) 外力項p滿足

板方程源自于Woinowsky-Krieger在文[1]中所提出的彈性振動方程,若(1.1)中M1(·)0,M2(·)≡0,這種形式的Kirchhoff型項也是由Woinowsky-Krieger提出的,作者建立的長度為l,兩端固定的位于X-軸上的可擴(kuò)展梁的數(shù)學(xué)模型如下

其中H,E表示楊氏模量,A表示橫截面積,?表示桿的鏈接兩端因撓度而靠近的量,I表示橫截面的二階力矩,ρ表示密度,H表示作用在梁上的軸向力,如果H>0,則表示張力.隨后,文[2-3]討論了上述梁方程滿足一定初邊值條件時解的適定性.在此基礎(chǔ)上,諸多學(xué)者們又研究了具有記憶項和非線性阻尼的Kirchhoff型板方程

全局吸引子的存在性,見文[4],該方程源于等溫粘彈性理論,它描述了一個具有低階攝動的四階粘彈性板,并模擬了可擴(kuò)展彈性薄板在歷史空間中的橫向振動.文[5]討論了具有強(qiáng)阻尼的非自治Kirchhoff型板方程

的一致吸引子.而文[6]研究了具有非線性阻尼的非自治Kirchhoff型板方程

一致吸引子的存在性.

若M1(·)0,M2(·)0,形如(1.1)的Kirchhoff型是由Ball在文[7]中研究彈性梁時提出的,在阻力與速度成正比的粘性介質(zhì)中,若考慮兩端固定的粘彈性梁在X-Y平面中的橫向運(yùn)動時,得到數(shù)學(xué)模型

其中E表示楊氏模量,A表示橫截面積,η表示有效粘性,?表示桿的鏈接兩端因撓度而靠近的量,I表示橫截面的二階力矩,ρ表示單位長度梁的質(zhì)量,δ表示外部阻尼系數(shù).文[8]在第三章討論了非自治Kirchhoff型梁方程

一致吸引子的存在性,其中h(x,t)是依賴于時間t的周期連續(xù)函數(shù).文[9]研究了具有結(jié)構(gòu)阻尼和非線性阻尼的Kirchhoff型梁方程

強(qiáng)全局吸引子的存在性,其中非線性項g(u)和非線性阻尼項f(ut)的臨界增長指數(shù)均為β為大于0的常數(shù).

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文試圖研究帶有線性記憶和結(jié)構(gòu)阻尼的非自治Kirchhoff型板方程(1.1)一致吸引子的存在性,其中非線性項g(u)的臨界增長指數(shù)為本文的困難有以下二點(diǎn): 一是形如(1.1)中的Kirchhoff型項的引入給有界吸收集和漸近緊性的證明帶來了一定的困難;二是線性記憶項的處理,須構(gòu)造相對復(fù)雜的三元解空間,并在此空間中對解進(jìn)行先驗估計,這使得問題更加復(fù)雜化.

為了便于計算,在本文中我們引入表示歷史位移的新變量η,即

于是問題(1.1)可以轉(zhuǎn)化為

與之對應(yīng)的邊界條件為

初始條件為

本文的結(jié)構(gòu)具體如下: 第二部分,介紹本文相關(guān)的預(yù)備知識;第三部分,通過在所給定的空間中證明出問題所對應(yīng)過程族的一致有界吸收集的存在和一致漸近緊性,從而得到一致吸引子的存在性.

2.預(yù)備工作

空間H中的內(nèi)積和范數(shù)分別用(·,·)和∥·∥表示,W2的對偶空間W-2表示,對偶空間之間的對偶積用〈·,·〉表示.

定義算子A:W2-2,

〈Au,v〉〈?u,?v〉,?u,2,

D(A)2(?)∩(?)|2(?)},

則A是空間H中的自伴算子,且在空間W2中是嚴(yán)格正的.定義算子A的方冪為As(R),于是空間Ws是Hilbert空間,其內(nèi)積和范數(shù)表示如下

它是Hilbert空間,與之對應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別為

由Poincaré不等式可知

下面介紹與本文有關(guān)的非自治動力系統(tǒng)中的一些基本概念及定理,見文[10-11].

假設(shè)X是Banach空間,Σ是參數(shù)集.如果對任意的,R,

則稱{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)是X中帶有符號空間Σ的過程族.這里Id表示恒等算子.

假設(shè){T(s)}s≥0是作用于Σ的平移半群,如果

則稱{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)滿足平移恒等式.

在后面的結(jié)論中,用B(X)表示X中所有有界集的集合.

定義2.1[10]設(shè)B0(X),如果對任意的R,(X),存在時刻T0T0(B,τ)≥τ,使得

則稱B0是過程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(關(guān)于)有界吸收集.

定義2.2[10]設(shè)A ?X,如果對任意固定的R,以及每一個(X),

則稱A是過程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(關(guān)于)吸引集,其中dist(·,·)表示X中兩個集合的Hausdorff半距離.特別地,如果閉的一致吸引集AΣ ?X包含在任何封閉的一致吸引集中(最小性),則稱AΣ是過程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(關(guān)于)吸引子.

定義2.3[10]如果函數(shù)φ滿足條件

則稱(X×X)×(Σ×Σ)上的函數(shù)?(·,·;·,·)是定義在B×B上的收縮函數(shù).

contr(B,Σ)表示所有定義在B×B上收縮函數(shù)的集合.

定理2.1[11]設(shè){Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)是Banach空間(X,∥·∥)上的一個過程族,滿足平移恒等式(2.3)-(2.4),B0?X是該過程族上的一致(關(guān)于) 有界吸收集.進(jìn)一步,假設(shè)對任意的ε>0,存在TT(B0,ε)和?T(·,·;·,·)contr(B0,Σ),使得

其中?T(·,·;·,·)是依賴于T的,則稱{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)在X中是一致(關(guān)于)漸近緊的.

定理2.2[11]設(shè){Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)是Banach空間(X,∥·∥)上滿足平移恒等式(2.3)-(2.4)的一個過程族.若該過程族在X中有一致(關(guān)于)有界吸收集,并且在X中是一致(關(guān)于)漸近緊的,則{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)在X中擁有緊的一致(關(guān)于)吸引子.

3.主要結(jié)果

問題(1.14)-(1.16)的解的適定性可以根據(jù)Faedo-Galerkin逼近方法得到,這里不再陳述,我們直接給出下面的結(jié)果.

定理3.1假設(shè)條件(a)-(e)成立,R,初值(u0,u1,η0(·))1,則對任意固定的T>τ,問題(1.14)-(1.16)有唯一的解(u(t),ut(t),ηt(·))滿足

解u(t),ut(t),ηt(·)連續(xù)依賴于初值u0,u1,η0(·).

它的算子表示形式如下

于是,根據(jù)定理3.1可知,問題(1.14)-(1.16)對所有的都是適定的,而且產(chǎn)生了由Uσ(t,τ)yτy(t)所確定的過程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,),其中y(t)是問題(1.14)-(1.16) 滿足條件(a)-(e)的解,{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)滿足(2.1)-(2.2).再根據(jù)唯一可解性知,過程族滿足平移恒等式(2.3)-(2.4).

用{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)表示由系統(tǒng)(3.2)-(3.3)生成的過程族.

根據(jù)文[12]中的命題7.1,能夠得出如下結(jié)論:

下面討論問題(1.14)-(1.16)所產(chǎn)生的過程族在空間X1中的耗散性,即證明一致有界吸收集的存在性.

證令ζut+θu,用ζ與(1.14)1在H中作內(nèi)積,經(jīng)過計算可以推出

由(1.6)可知,存在λ1>λ′>0和C0,使得

聯(lián)立(3.4)-(3.6),(3.8)-(3.9),再結(jié)合(1.3),得

運(yùn)用Poincaré不等式,再結(jié)合(3.7)和條件(a),有

聯(lián)立(3.12),(3.15)-(3.18),并且運(yùn)用Poincaré不等式,有

所以X1中的一致(關(guān)于)有界吸收集B0為

下面證明問題(1.14)-(1.16)所產(chǎn)生過程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(關(guān)于)漸近緊性,然后給出一致吸引子存在的結(jié)論.為了證明過程族的漸近緊性,首先要對問題(1.14)-(1.16)的解做先驗估計,然后根據(jù)定理2.1的條件來驗證過程族的漸近緊性.

設(shè)(u(t),ut(t),ηt(·))和(v(t),vt(t),χt(·))分別是問題(1.14)-(1.16)對應(yīng)于符號σ1(t)p1(x,t)和σ2(t)p2(x,t)的兩個弱解,且它們分別依賴于初值(u0,u1,η0(·)),(v0,v1,χ0(·))0,B0是定理3.5中得到的一致(關(guān)于) 有界吸收集.令z(t)u(t)?v(t),ξt(·)ηt(·)?χt(·),則z(t),ξt(·)滿足下列方程組

其中(z(0),zt(0),ξ0(·))(u0,u1,η0(·))?(v0,v1,χ0(·)).定義

對于解的先驗估計,我們以證明下面引理的形式給出.

運(yùn)用Young不等式,H?lder不等式,再結(jié)合(1.9),有

第二步,用zt(t)乘以(3.21)1,并在[r,T]×?(0≤r ≤T)上對其積分,得

對上式在[0,T]上關(guān)于r積分,可以推出

再將(3.24)中的r取為0,并且運(yùn)用Poincaré不等式,可以得到如下估計

第三步,聯(lián)立(3.22)-(3.23),(3.25)-(3.26),得到

聯(lián)立(3.45)-(3.46),以及(3.49)-(3.52)可知

其次,由定理3.3可知

根據(jù)定理3.4,有如下結(jié)果

根據(jù)(1.5)和微分中值定理,有

其中ξ3介于u與v之間.再結(jié)合Young不等式,H?lder不等式,解的存在性以及Sobolev嵌入(H22(p+1)),可以做出如下估計

根據(jù)(3.58)-(3.59),(3.34)-(3.35)和(3.37),可以推出

綜上所述,可以知道ΦT(·,·;·,·)contr(B0,Σ).證畢.

根據(jù)前面的定理3.5和定理3.6,我們可以得到一致(關(guān)于)吸引子的存在性,結(jié)果敘述如下: