無錫南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能裝備與信息工程學(xué)院 代淑芬

熱敏電阻是一種新型的半導(dǎo)體測(cè)溫元件[1]。熱敏電阻應(yīng)用于溫度檢測(cè)靈敏度高且具有結(jié)構(gòu)簡單、電阻率小、適用于動(dòng)態(tài)測(cè)量等突出優(yōu)點(diǎn)，但由于熱敏電阻存在其固有的熱電非線性，嚴(yán)重影響著溫度測(cè)量范圍的擴(kuò)大和溫度測(cè)量精度[2]。NTC 熱敏電阻的非線性非常嚴(yán)重，因此在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)NTC 熱敏電阻的非線性處理就非常關(guān)鍵。本設(shè)計(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法，通過對(duì)接口電路參數(shù)的分析計(jì)算，推導(dǎo)出最佳的線性化補(bǔ)償方法。

1 最佳線性化

用模擬電路實(shí)現(xiàn)最佳線性化對(duì)NTC 熱敏電阻的非線性進(jìn)行線性補(bǔ)償。首先要選擇并實(shí)現(xiàn)最佳擬合直線。

如圖1 所示為分壓式接口電路，首先通過數(shù)學(xué)建模的方法列出其電路方程，如式（1）所示：

圖1 參數(shù)式敏感元件分壓接口Fig.1 Voltage divider interface of parametric sensitive element

將電路方程進(jìn)行歸一化處理，如式（2）所示：

式中：x是輸入信號(hào)，。根據(jù)輸入溫度范圍條件，選擇一平衡點(diǎn)x=x0。為了獲得最大線性范圍輸出，將平衡點(diǎn)選在輸入范圍的中點(diǎn)。為了電路在平衡點(diǎn)x0附近的小范圍內(nèi)具有最佳線性化輸出恃性，將公式（2）在平衡點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，如式（3）所示：

在式（3）中，若令二次項(xiàng)系數(shù)為零k''(x0)=0，并且忽略三階以上非線性，則可得線性方程如式（4）所示：

通過公式（5）可知，e(x)與x間具有線性關(guān)系，其線性化條件為：

（1）x必須在平衡點(diǎn)x0附近小范圍內(nèi)變化；

（2）k(x)在平衡點(diǎn)x0上具有各階導(dǎo)數(shù)。

在滿足上述條件下，線性化的條件是平衡點(diǎn)x0上的二階導(dǎo)數(shù)為零，同時(shí)忽略三階以上導(dǎo)數(shù)。

利用泰勒級(jí)數(shù),并令二次項(xiàng)系數(shù)為零，選擇過平衡點(diǎn)的切線(其斜率為常數(shù)）的直線作擬合直線，即常數(shù)

由此可得線性化條件，如式（6）、式（7）所示：

式(7)表達(dá)了定值電阻R1與感溫電阻R(x)在平衡點(diǎn)x0上的導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系。一般R(x)為正值；但當(dāng)R''(x0)為負(fù)值時(shí)，則定值電阻R1必為負(fù)值。這表明，當(dāng)R(x)的二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)值時(shí)，不能用純電阻網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)定值電阻R1的設(shè)計(jì)，而只能用有源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)阻值為負(fù)值的R1。本設(shè)計(jì)中，熱敏電阻的二階導(dǎo)數(shù)為正值,如圖2 所示，所以熱敏電阻電路的線性化可用電阻網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。

圖2 測(cè)溫電阻特性Fig.2 Temperature resistance characteristics

2 熱敏電阻接口電路分析與設(shè)計(jì)

傳感器接口電路是傳感器與檢測(cè)控制系統(tǒng)之間相連接的中間環(huán)節(jié)，其性能直接影響到整個(gè)系統(tǒng)的測(cè)量精度和靈敏度[3]。熱敏電阻一般為過渡金屬鐵族混合氧化物的制備物，實(shí)用溫度范圍-200℃～200℃。熱敏電阻接口電路必須外加激勵(lì)電源。但熱敏電阻通電后會(huì)產(chǎn)生自加熱效應(yīng)，因而引起溫升，影響感溫精度。因此，熱敏電阻激勵(lì)電源的電壓或電流應(yīng)有所限制。

熱敏電阻具有較高的溫度靈敏度，同時(shí)也具有很高的非線性，可用指數(shù)函數(shù)表達(dá)熱敏電阻方程，如式（8）所示：

式（8）中T 為絕對(duì)溫度，A 和B 稱熱敏電阻常數(shù)，與元件及其制備材料的特性有關(guān)，可以通過在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)溫度下的實(shí)測(cè)確定。

將式（8）代入式（7），可求得串接變換方式最佳線性化條件下的R1取值，如式（9）所示：

式（9）中T0是選擇的平衡點(diǎn)溫度。設(shè)輸入溫度范圍0℃～50℃,平衡溫度25℃(T0=298K),熱敏電阻常數(shù)A=0.0585Ω，B=3260K。取E0=5V，可由式（9）算得R1=2278Ω。由式（4)、式(1)算得最大相對(duì)非線性誤差約為4%。

3 帶運(yùn)算放大器的熱敏電阻電橋電路分析與設(shè)計(jì)

帶運(yùn)放的熱敏電阻電橋電路如圖 3 所示。

這種電路的最大優(yōu)點(diǎn)是輸出電壓對(duì)地可為零，是分壓電路、純電阻電橋電路所不具備的特點(diǎn)。根據(jù)圖3 電路，并利用理想運(yùn)放條件,可推導(dǎo)出電路方程如式（10）所示：

圖3 帶運(yùn)放電橋電路Fig.3 Bridge circuit with op amp

根據(jù)熱敏電阻公式(8)，若設(shè)平衡溫度為T0，可將熱敏電阻方程作如式（11）、式（12）所示的變換：

設(shè)平衡溫度為T0，即x=1，將歸一化電路方程在平衡點(diǎn)x=1 展開成泰勒級(jí)數(shù)，如式（15）所示：

式中展開系數(shù)如式（16）-式（19）所示：

根據(jù)最佳線性化條件k2=0可得到如式（20）、式（21）所示：

將式（17）代入式（18），得到如式（22）所示：

若設(shè)計(jì)在平衡點(diǎn)時(shí)的輸出為零，則k0=0，可得如式（23）所示：

在k0=0、k2=0，平衡點(diǎn)零輸出線性化條件下有如式（24）所示：

若僅考慮立方項(xiàng)引起的立方非線性誤差，則相對(duì)立方非線性誤差如式（25）所示：

設(shè)輸入溫度范圍-25℃～35℃(T=248K～308K），在5℃(T=278K)時(shí)輸出電壓為零，在35℃時(shí)的最大輸出電壓約為1V，最大相對(duì)非線性誤差為D=0.1，計(jì)算圖3電路在最佳線性化條件下的電路參數(shù)值。

選平衡溫度為5℃(T0=278K）,則歸一化參數(shù)x的上限和下限值如式（26）、式（27）所示：

根據(jù)最大非線性誤差的要求，可列如式（28）所示：

可見，根據(jù)最大非線性誤差的要求，應(yīng)選用熱敏電阻常數(shù)B≈2780K的元件。由式（23）可得到如式（29）所示：

若熱敏電阻的另一個(gè)常數(shù)A=0.4441?，則得到如式（30）所示：

若取R3=10?，則由，可得R2=1.5K?。根據(jù)35℃時(shí)最大輸出電壓約為1V 的需求，可得到如式（31）所示：

將上面計(jì)算的參數(shù)代入電路方程可得如式（32）所示：

由此可計(jì)算偏離擬合直線的誤差并畫輸出曲線和誤差曲線如圖4 所示。

圖4 帶運(yùn)放電橋輸出特性與誤差Fig.4 Output characteristic and error of bridge with op amp

4 結(jié)語

上述關(guān)于NTC 熱敏電阻非線性的線性化處理方法，是令電路方程在平衡點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為零，對(duì)電路元件參數(shù)進(jìn)行最佳線性化分析和設(shè)計(jì)，具體總結(jié)如下：（1）根據(jù)工程實(shí)際需要，選擇一種熱敏電阻接口變換電路方式，并列出電路方程。要擬定或選擇一熱敏電阻接口變換電路方式,顯然需要具備一定數(shù)置的熱敏電阻接口變換電路的知識(shí)積累或?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)。知識(shí)的積累必須通過一定數(shù)量的電路分析和實(shí)踐才能獲得；（2）選擇一個(gè)平衡點(diǎn)，并對(duì)電路方程利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行展開。為了獲得較大線性范圍的輸出，平衡點(diǎn)的選擇，對(duì)應(yīng)輸入溫度范圍的中點(diǎn)和輸出范圍的中點(diǎn)；（3）選擇過平衡點(diǎn)的切線為擬合直線。具體做法如下：令泰勒級(jí)數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為零，則一次項(xiàng)系數(shù)必為常數(shù)。

引用

[1] 梁森.自動(dòng)檢測(cè)與轉(zhuǎn)換技術(shù)(第4版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2021.

[2] 于麗麗,王劍華,殳偉群.NTC熱敏電阻器在高精度溫度測(cè)量中的應(yīng)用[J].傳感器技術(shù),2004,23(12):75-77.

[3] 王時(shí),晁雯,高菲,等.傳感器接口電路中電橋電路的應(yīng)用[J].電子制作,2016(2):85-86.