柴乃杰，周文梁

(中南大學交通運輸工程學院，長沙 410075)

引言

近些年，隨著鐵路建設的不斷加快，鐵路運輸工具成為供人們出行選擇的最主要交通方式之一，鐵路客運量呈逐年增長的趨勢[1-2]。對此，在保證滿足旅客需求的前提下，為有效地降低鐵路運輸成本，迫切需要對鐵路運營實施精細化管理。其中，客運量預測作為運營管理的重要依據之一，正發(fā)揮著越來越大的作用，它不僅能夠準確反映當前鐵路運輸發(fā)展水平，還可以預測未來鐵路發(fā)展趨勢，為鐵路新線建設、舊線技術設備改造以及列車運行方案編制提供了重要的參考依據，同時它在很大程度上還對運輸企業(yè)內部的投資結構、資金優(yōu)化配置以及經營決策發(fā)揮著重大作用[3]。

目前，關于鐵路客運量預測方法的研究，國內外應用較廣泛的有支持向量機法[4-5]、線性回歸分析法[6]、灰色模型法[7]、BP神經網絡法[8-9]、SARIMA模型[10-11]以及IOWA組合模型[12-14]等，上述方法為客運量預測研究奠定了重要的理論基礎，但它們本身也存在著一些局限性，若單獨使用往往會使得預測精度不高，達不到預期的預測效果。對此，為提高預測結果的精度和可靠性，已有不少學者研究發(fā)現，可以通過將多個單一模型優(yōu)勢互補，如芮海田[15]提出了一種新的基于指數平滑法和馬爾科夫模型客運量組合預測方法，結果表明，該組合方法比單一方法更具優(yōu)越性，其分兩步實現，第一步運用指數平滑方法對客運量進行初步擬合，第二步通過馬爾科夫方法對初步擬合結果進行修正；侯麗敏[16]運用灰色預測理論構建灰色線性回歸的組合模型，既能反映原線性回歸模型中沒有指數增長趨勢的情況，也能彌補基本灰色預測模型中沒有線性因素的不足；賀曉霞[17]通過分析鐵路客運量的非線性動態(tài)變化的特點，建立了灰色GM-周期擴展組合模型，不但能實現客運量趨勢預測，而且也能充分考慮鐵路客運量呈非線性周期波動這一特征；馮冰玉[18]通過構建灰色理論和RBF神經網絡組合模型，一方面加快神經網絡學習速度，另一方面避免在實際應用中經常遇到的過擬合、局部極小值和“維數災難”等問題；劉琳玥[19]基于PCA-BP神經網絡的鐵路客運量預測模型，提出利用主成分分析法消除原始鐵路客運量影響因素之間相關性，運用BP神經網絡對分析結果進行學習，進而使得預測結果更加準確；賈金平[20]將灰色GM(1，1)模型預測方法和馬爾科夫鏈相結合，以構造狀態(tài)轉移概率矩陣為基礎，獲得有效的滯時階數，建立灰色加權馬爾科夫鏈預測模型；ZHAO[21]根據過去10年的客運量數據統(tǒng)計序列構建三次平滑指數預測模型，并采用馬爾科夫法進行改進，取得了95%的統(tǒng)計信度的準確率。上述研究成果為鐵路客運量預測提供了方法及理論基礎，本文提出一種基于無偏灰色Verhulst-Markov組合預測動態(tài)模型，運用無偏Markov鏈預測方法對無偏灰色Verhulst模型的擬合結果進行修正。換言之，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型一般僅適用于擬合短期變化趨勢較平穩(wěn)的數據序列，尤其是呈S型增長的數據序列，但該方法本身也存在一些缺陷；相反，馬爾科夫模型更適合于擬合長期波動性較大的數據序列。因此，本文將利用兩種模型各自的優(yōu)勢，構建出一種組合預測動態(tài)模型，既能克服原單一模型使用的局限性，實現長短期波動差異性較大的數據序列擬合，又能消除傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的自身偏差，提高擬合的精度。

1 無偏灰色組合預測模型建立

1.1 傳統(tǒng)灰色Verhulst模型建立

設X(0)為原始數據序列，X(1)為X(0)的一次累加生成1-AGO序列，即

X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(k)，…，x(0)(n))

(1)

X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…x(1)(k)…，x(1)(n))

(2)

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，則有

Z(1)=(z(1)(1)，z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))

(3)

定義1：稱x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))α為GM(1，1，α)冪模型。

1.2 無偏灰色Verhulst模型建立

(1)無偏GM(1，1)模型的建模思想[22-23]

傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型的離散時間響應式為

k=1，2，…，n

(4)

將傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型的時間響應式作如下恒等式變換為

k=1，2，…，n-1

(5)

由于原始序列X(0)非負，兩邊同時取1-Y次方得到

(6)

即可得到無偏GM(1，1)模型的表達式為

k=2，3，…，n

(7)

式中，-a為發(fā)展系數；b為灰色作用量。

(8)

為計算簡便，上式(7)可表示為

k=2，3，…，n

(9)

綜上可得，無內在偏差的GM(1，1)模型是以傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型為基礎，直接建模，且使用遞推法求解得到的。同理，無內在偏差的灰色Verhulst模型也可按照相同的方法推導出。

(2)改進的無偏灰色Verhulst模型

灰色Verhulst模型的時間響應式為

(10)

將式(10)的時間響應式兩邊同時取倒數，即得到

(11)

通過觀察上式(11)，發(fā)現它正好是關于k的非齊次指數函數，故借鑒EDGM(1，1)模型的改進思想，對原始數據作倒數生成，然后再根據無偏GM(1，1)模型直接建模法的思路，生成無偏灰色Verhulst模型。具體地：

定義Y(1)為X(1)的倒數生成序列，則有

Y(1)=(y(1)(1)，y(1)(2)，…，y(1)(k)，…，y(1)(n))，y(1)(k)=1/x(1)(k)，k=1，2，…，n；

然后，稱

(12)

其中

(13)

并稱上式(13)為無偏灰色Verhulst模型。

1.3 馬爾科夫修正預測模型建立

運用馬爾科夫(Markov)預測方法[24-25]進行擬合結果修正的基本思路是：以通過原始數據序列求得的無偏灰色Verhulst預測曲線為基準，確定序列狀態(tài)劃分以及狀態(tài)轉移矩陣，并依據所構建的狀態(tài)轉移矩陣，估計出更精確的預測值。

(1)狀態(tài)劃分

⊕i=[⊕i1，⊕i2]

(14)

(2)狀態(tài)轉移概率矩陣計算

設系統(tǒng)中由狀態(tài)⊕i經過m步轉移到狀態(tài)⊕j的次數為nij(m)，且⊕i出現的次數為ni(m)，則可推算出由狀態(tài)⊕i經過m步轉移到狀態(tài)⊕j的概率為

pij(m)=nij(m)/ni(m)

(15)

由此形成相應的狀態(tài)轉移概率矩陣如下

(16)

通過式(16)可反映出系統(tǒng)中各狀態(tài)之間相互轉移的規(guī)律。因此，狀態(tài)轉移概率矩陣的構建是實現準確預測的關鍵步驟。

(3)預測值確定

通過分析狀態(tài)轉移矩陣，一旦確定了轉移狀態(tài)，也就得知了灰元⊕i1和⊕i2、預測值的變動灰區(qū)間[⊕i1，⊕i2]以及各狀態(tài)的中值⊕imid，進而得到修正后的預測模型為

(17)

1.4 無偏灰色組合動態(tài)預測模型的構想

鐵路客運量數據序列往往具有一定的時效性，因為客流量是不斷發(fā)展變化的。因此，對于預測模型構建而言，距預測年限更近時期的數據信息對預測模型的貢獻越大，而越久遠的數據信息對其貢獻越小?；谏鲜鏊枷耄疚哪Ｐ蛯⒃跀M合過程中不斷更新信息數據，一直以最新確定的初始序列來建立模型。總體思路為：利用無偏灰色組合模型每擬合出一個新值，則將其替換原始數據序列中最舊的一個數據，記為數列X0中，而且始終保持前后數列等維是相等的；然后以更新后的數據序列為基礎，重新建立無偏灰色組合預測模型，繼續(xù)擬合下一個新值，并發(fā)生替換。如此不斷更新與替換數據序列，直到實現預期的預測目標或滿足一定的精度要求為止。采用的循環(huán)模型為

(18)

綜上，按照第1.1～1.4節(jié)步驟方法，以不斷更新方式不斷修正傳統(tǒng)預測模型，構建無偏灰色組合動態(tài)預測模型。下節(jié)內容是將所構建的預測模型應用于具體實例，驗證是否可以提高擬合結果的精度。

2 預測模型的應用

為驗證本文模型的預測精度及可靠性，擬采用我國蘭青鐵路蘭州站—河口南站區(qū)段2010—2019年共10年的客運量數據作為預測原始數列(原始數據來自中經網統(tǒng)計數據庫(http://db.cei.gov.cn))，見表1。分別通過傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型、灰色Verhulst模型、無偏灰色Verhulst模型和無偏灰色Verhulst-Markov組合預測模型進行客運量預測，對各種模型的擬合結果及精度進行對比分析。

表1 2010—2019年客運量原始數據統(tǒng)計

(19)

(20)

(21)

(4)無偏灰色組合預測模型建模過程，即以式(13)無偏灰色Verhulst模型為基礎，運用Markov鏈預測方法進行修正，并稱這種模型為無偏灰色Verhulst-Markov組合預測動態(tài)模型。首先，根據式(14)和原始數據(表1)，將系統(tǒng)劃分成3個區(qū)域，分別記為⊕1、⊕2和⊕3，各狀態(tài)曲線如圖1所示。

圖1 各狀態(tài)對比曲線

其狀態(tài)⊕1、⊕2和⊕3分別表示為

(22)

最后，依據式(22)狀態(tài)轉移矩陣與式(17)Markov鏈預測模型，修正無偏灰色Verhulst模型的擬合結果，建立無偏灰色組合動態(tài)預測模型。

3 評價結果分析

(1)運用式(19)～式(22)分別求得傳統(tǒng)EDGM(1，1)、灰色Verhulst模型、無偏灰色Verhulst模型和無偏灰色組合動態(tài)預測模型的2010—2019年客運量擬合值、相對誤差、平均絕對誤差和平均相對誤差，其結果如表2所示。

(2)為更加直觀地反映上述4種模型從2010—2019年的擬合值與實際值的對比情況，繪制出圖2。

表2 4種預測模型的擬合結果對比分析

圖2 4種預測模型擬合值與實際值對比曲線

由圖2可以看出，4種預測模型擬合曲線總體上均保持一致的增長趨勢，但在不同年份的4種預測模型的擬合值存在一定的差異，雖然圖中顯示的差異性較小且不明顯，主要是由于縱坐標單位量綱較大，若換算成較小單位的量綱，則可明顯反映出它們之間擬合結果的差異性。

(3)根據預測有效性判斷標準，對表2與圖2中4種模型的擬合結果及精度作對比分析，結果表明，無偏灰色組合動態(tài)預測模型的預測精度得到明顯提高，由此驗證了本文所提模型在預測精度方面更凸顯優(yōu)勢。

4 結論

本文集成傳統(tǒng)EDGM(1，1)、灰色Verhulst模型與馬爾科夫鏈預測方法的優(yōu)點，運用優(yōu)勢互補原理，建立無偏灰色組合動態(tài)客運量預測模型，主要結論如下。

(1)借鑒EDGM(1，1)模型的改進思想，對傳統(tǒng)灰色Verhulst模型進行修正，得到無偏灰色Verhulst模型，消除了傳統(tǒng)灰色Verhulst模型自身固有的偏差，明顯提高了預測精度。

(2)利用馬爾科夫鏈方法對無偏灰色Verhulst的擬合結果進行修正，同時兼顧原始數據序列具有一定的時效性，提出在預測過程中需不斷更新信息數據，反復模擬得到無偏灰色組合動態(tài)預測模型。

(3)將本文模型應用于我國蘭青鐵路蘭州站—河口南站區(qū)段2010-2019年鐵路客運量預測，結果表明，無偏灰色組合動態(tài)預測模型比傳統(tǒng)EDGM(1，1)、灰色Verhulst模型以及無偏灰色Verhulst模型在鐵路客運量預測中更具優(yōu)越性。