杜燁,方鐘波

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

1.引言與主要結(jié)論

我們考慮一類具有卷積型非局部項(xiàng)的擬線性橢圓不等式非負(fù)非平凡弱解的非存在性

其中m,q >0,r ≥0,微分算子LAu:=divA(x,u,?u),A: RN ×[0,∞)×RN →RN為常見的Carath′eodory函數(shù),使得

且LA為強(qiáng)p-強(qiáng)制算子(具體定義見第二節(jié)),其典型例子為通過多孔介質(zhì)的非牛頓流體的研究中常出現(xiàn)的p-Laplacian算子.符號?表示標(biāo)準(zhǔn)卷積算子,即

其中K ∈C(RN{0}),K >0滿足lim infx→0K(x)>0,且存在ρ>0和β >0使得

其中c0為正常數(shù).注意到,微分不等式(1.1)并非逐點(diǎn)意義下成立,因此稱為非局部微分不等式.同時(shí),卷積型非局部項(xiàng)出現(xiàn)于許多領(lǐng)域的實(shí)際物理現(xiàn)象的描述中,如人口動力學(xué)、生物種群理論和滲流理論[1?3].

非線性偏微分方程(不等式及組)整體解的非存在性是一類非線性Liouville定理,除了可用于分析有界區(qū)域上解的某些性質(zhì)外,它還是爆破理論或奇點(diǎn)理論的一種本質(zhì)體現(xiàn).1844年,Cauchy在文[4]中首次證明了有界整函數(shù)的Liouville定理以來已有許多方向的延伸和結(jié)果.特別是,我們首先回顧Gidas和Spruck[5]的非常巧妙且深刻的結(jié)果.他們考慮了經(jīng)典的Lane-Emden方程

其中N >2且當(dāng)1

事實(shí)上,當(dāng)q >N/(N ?2)(N >2)時(shí),取充分小的正常數(shù)c,使得

是前述微分不等式的一個正解,因此臨界指標(biāo)N/(N ?2)是最優(yōu)的.從此之后,橢圓型微分方程(組)及不等式(組)整體解的非存在性、臨界指標(biāo)等問題的研究受到了許多學(xué)者的高度關(guān)注.

不等式的右邊含有梯度非線性項(xiàng)的擬線性問題

其中1

0,r ≥0且q+r >p ?1.Mitidieri和Pohozaev[7]考慮了α=0的情形,首次利用試驗(yàn)函數(shù)法得到了當(dāng)q+r <(p ?1)(N ?r)/(N ?p)時(shí)只存在常數(shù)解的結(jié)論.之后是有Filippucci[8]及LI和LI[9]的工作.特別是,LI和LI[9]在有界區(qū)域? ?RN(邊界奇異)及整體空間?=RN上(原點(diǎn)奇異)考慮了奇異擬線性橢圓微分不等式并改進(jìn)試驗(yàn)函數(shù)法證明了非負(fù)非平凡弱解的非存在性,得到了臨界指標(biāo)(p ?1)(N ?α ?r)/(N ?p).此外,關(guān)于不含梯度項(xiàng)的擬線性微分不等式整體弱解的非存在性問題的開創(chuàng)性的工作,可參考文[10-11].

關(guān)于非局部微分不等式的研究方面,Mitidieri 和Pohozaev[12]首次考慮了具有卷積型非局部項(xiàng)的橢圓微分不等式

其中m >1,L為線性微分算子,且Kβ(x)=cβ/|x|N?β表示階數(shù)為β ∈(0,N)的Riesz勢,cβ >0.他們利用由試驗(yàn)函數(shù)構(gòu)造的非線性容度法證明了問題解的Liouville型定理.最近,Ghergu等[13]在有界及無界區(qū)域上考慮了含卷積型非局部源項(xiàng)和擬線性算子的微分不等式：?LAu ≥(Kβ ?um)uq,m >0,q ∈R,Kβ為β階的Riesz勢且擬線性算子LA包括p-Laplacian算子,p-平均曲率算子等.他們利用試驗(yàn)函數(shù)方法建立了正解的存在性與非存在性的最優(yōu)條件,并推廣到了相應(yīng)的擬線性橢圓不等式組.值得注意的是,目前我們所考慮的具有卷積型非局部項(xiàng)和梯度項(xiàng)的橢圓微分不等式的研究很少.

本文中,我們受Mitideri和Pohozaev[7]及Filippucci和Ghergu[14]的研究結(jié)果啟發(fā),在試驗(yàn)函數(shù)理論框架內(nèi)討論一大類含卷積型非局部源項(xiàng)和梯度源項(xiàng)的擬線性橢圓微分不等式(1.1)非負(fù)非平凡弱解的非存在性.

我們指出,不等式(1.1)左端的擬線性算子及右端的卷積型非局部項(xiàng)、乘冪型源項(xiàng)、梯度源項(xiàng)等各種成分的存在使得對非線性Liouville型定理的研究非常精致.特別是,由于各種因子的出現(xiàn),使先驗(yàn)估計(jì)的推導(dǎo)也更加復(fù)雜.

現(xiàn)在,我們陳述本文的主要結(jié)論.

定理1.1假設(shè)1

0,r ≥0,0<β <,且令LA為強(qiáng)p-強(qiáng)制算子,K:RN{0}→(0,∞)為連續(xù)函數(shù)滿足lim infx→0K(x)>0和(1.2).如果

則非局部不等式(1.1)在

中的非負(fù)弱解恒為常數(shù),其中0

定理1.1表明,當(dāng)算子LA的原型為p-Laplacian算子時(shí),即滿足如下不等式

其源項(xiàng)的整體指數(shù)q+m+r的臨界指標(biāo)為.尤其是,當(dāng)β →0時(shí),我們可猜測到如下范數(shù)型非局部不等式

本文的剩余部分結(jié)構(gòu)如下.在第2節(jié)中,我們引入一些預(yù)備知識.在第3節(jié)中,我們證明一些預(yù)備引理并得到精細(xì)的先驗(yàn)估計(jì)值.最后,本文的主要結(jié)論的詳細(xì)證明過程在第4節(jié)中給出.

2.預(yù)備知識

本節(jié)中,我們引入一些記號、定義并構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù).為了方便起見,在下文中,我們記C為不依賴于u的正常數(shù),其行數(shù)不同可能表達(dá)不同常數(shù).

定義2.1如果函數(shù)A(x,z,ζ):RN ×[0,∞)×RN →RN滿足

其中c1,c2>0為常數(shù),,則函數(shù)A(x,z,ζ)稱為強(qiáng)p-強(qiáng)制的(S-p-C).

由(2.1),我們可推出,存在正常數(shù)c3,c4使得對于固定的p>1滿足

且如下不等式成立：

我們定義集合

其中d為實(shí)參數(shù).

同時(shí),對任意R>0,我們令BR是在RN中以原點(diǎn)x=0為中心,半徑為R的球且定義截?cái)嗪瘮?shù);[0,1])使得

其中C為正常數(shù).

現(xiàn)在,我們仔細(xì)選取試驗(yàn)函數(shù).對任意τ >0,我們定義

3.先驗(yàn)估計(jì)值

本節(jié)中,我們介紹一些預(yù)備引理及精細(xì)的先驗(yàn)估計(jì)值.

我們首先引入一些預(yù)備引理,將在證明先驗(yàn)估計(jì)中起到關(guān)鍵作用.

引理3.1假設(shè)u ∈Sd為(1.1)的非負(fù)解,則

證令R>ρ充分大,其中ρ在(1.2)式中出現(xiàn).對于x ∈BR,由假設(shè)(1.2) 式,我們有

由(3.1)式和(3.2)式,我們易知

因此,.由于R>ρ充分大,則我們可得引理3.1結(jié)論成立.

引理3.2假設(shè)u ∈Sd為(1.1)的非負(fù)解,則如下不等式成立：

由S-p-C的定義(2.1)式及Cauchy-Schwarz不等式和(2.2)式,我們有

結(jié)合(3.4)式和(3.5)式,我們推出

由帶ε的Young不等式,我們得到

由于1<σ1<,因此uτ的指數(shù)大于0.由Beppo-Levi定理[15],此時(shí)我們可令τ →0,即可得(3.3)式.引理3.2證畢.

引理3.3我們定義

證在弱解的定義(2.3)式中選擇φ=ξλ,則我們有

其中σ2>1待定.結(jié)合引理3.2的(3.3)式可推出

即σ1滿足引理3.2的條件,σ3滿足上述條件.下面,我們估計(jì)(3.11)式的另一項(xiàng).利用Hlder不等式,我們導(dǎo)出

即σ2和σ4滿足上述條件.

將(3.12)式和(3.13)式代入(3.11)式,利用J的定義(3.8)式,我們有

由此可得(3.9)式.引理3.3證畢.

接下來,我們給出J的精細(xì)先驗(yàn)估計(jì)式,將在定理1.1的證明中起關(guān)鍵作用.

命題3.1假設(shè)u為(1.1)的非負(fù)解,J由(3.8)式定義且,則如下不等式成立：

其中R>ρ充分大.因此,由(3.15)式,我們推出

結(jié)合(3.16)式和(3.17)式,我們得到

應(yīng)用引理3.3中的(3.9)式,我們有

由此可得(3.14)式成立.命題3.1證畢.

4.主要結(jié)論的證明

本節(jié)中,我們給出定理1.1的詳細(xì)證明過程.

再由(3.10)-(3.13)式,我們得到

結(jié)合(3.18)式和(4.2)式,我們導(dǎo)出

其中R的指數(shù).現(xiàn)在,對(4.3)式取極限R →∞并由(4.1)式易得,u恒為非負(fù)常數(shù).定理1.1證畢.