顧宏萍

在用“統(tǒng)計與概率”知識解決相關(guān)問題時，同學(xué)們或多或少會因為對知識的錯誤理解，從而出現(xiàn)解題錯誤。本文將通過一些常見錯誤的解析，幫助同學(xué)們更好地掌握知識的本質(zhì)。

一、統(tǒng)計的簡單應(yīng)用

例1 為鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉，某學(xué)校準(zhǔn)備購買一批運動鞋供學(xué)生借用，現(xiàn)從各年級隨機抽樣調(diào)查了部分學(xué)生所穿運動鞋的尺碼，繪制了統(tǒng)計圖1和圖2（不完整）。請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（1）本次接受隨機抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為_____________，圖1中m的值為_____________；

（2）求本次調(diào)查樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，若學(xué)校計劃購買200雙運動鞋，建議購買35碼運動鞋多少雙？

【解析】讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵。本題最容易錯的是第（2）問，本次調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)是鞋號，出現(xiàn)次數(shù)最多的是35碼，共12人，所以眾數(shù)是35碼，而不是12。所有數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)圖2得第19到28個人的鞋碼都是36碼，也就是這組數(shù)據(jù)中間的兩個數(shù)都是36碼，所以中位數(shù)是36碼。

【答案】（1）40，15；（2）眾數(shù)35碼，中位數(shù)36碼；（3）60。

二、概率的簡單應(yīng)用

例2 在一個密閉不透明的袋子里有若干個白球，為估計白球個數(shù)，小張向其中投入11個黑球，攪拌均勻后隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放入袋中，不斷重復(fù)摸球420次，其中77次摸到黑球，則估計袋中有白球_____________。

【錯解】設(shè)估計袋中有x個白球，根據(jù)題意，得11∶x=77∶420，解得x=60。

【解析】運用概率進行估計，有些問題需要設(shè)未知數(shù)，用頻率作為概率的估計值列出方程。錯解中是忽略了總球數(shù)中含有11個黑球。

【正解】設(shè)估計袋中有x個白球，根據(jù)題意，得11∶（11+x）=77∶420，解得x=49。

這個“概率模型”在生活中被廣泛應(yīng)用，如在科學(xué)研究中，生物學(xué)家估計某個種群的數(shù)量；養(yǎng)魚專業(yè)戶估計魚塘里某種魚的條數(shù)等。

例3 從2021年起，江蘇省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選1科，“2”是指在化學(xué)、生物、思想政治、地理4科中任選2科。若小明在“1”中選擇了物理，求他選科為物理、化學(xué)、生物的概率。

【解析】本題以生活中的實際背景呈現(xiàn)，但對于同學(xué)們來說還是有點陌生，所以在理解上存在一定的困難，需要在讀懂題意的基礎(chǔ)上，選擇合適的解題策略來解決。

此題表面上似乎是三步試驗的概率問題，但是細細分析下來，因為在“1”中已經(jīng)選定物理學(xué)科，所以只要在“2”中的4科中選擇2科即可，應(yīng)該用兩步試驗來解決。符合在四個球中選擇兩個球的摸球試驗的模型。但同時我們一定要注意，第一步選擇的科目在第二步不能再次選擇，俗稱“不放回”。

本題既可以用畫樹狀圖，又可以用列表的方法求解，相較而言，列表法要簡潔得多。這就是考查思維的優(yōu)化意識——不僅僅是解決問題，更是要簡潔地解決問題。

【答案】用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

或列表如下（化學(xué)、生物、政治、地理分別用字母A、B、C、D代替）：

共有12個等可能的結(jié)果，其中選化學(xué)、生物的方案有2個。

∴他選物理、化學(xué)、生物的概率是[1/6]。

例4 甲、乙、丙3名學(xué)生各自隨機選擇到A、B兩個書店購書。

（1）求甲、乙2名學(xué)生在不同書店購書的概率;

（2）求甲、乙、丙3名學(xué)生在同一書店購書的概率。

【解析】本題要厘清研究的對象是甲、乙、丙3名學(xué)生選擇A、B兩個書店的情況，不是書店選擇學(xué)生的情況，可以套用“三人分別拋一枚硬幣，研究三枚硬幣的正反面”的拋硬幣游戲的模型。

第（1）問，因為甲、乙兩人都可以隨機選擇A、B，所以在分兩步試驗時，每個選項都可以重復(fù)選擇，俗稱“有放回”。在畫樹狀圖或者列表求解時，一定要注意。

第（2）問，因為分析的是3名學(xué)生分別到2個書店的情況，需要三步試驗完成，所以選擇畫樹狀圖來求解更合適。

【答案】（1）[1/2]；（2）[1/4]。

例5 某航空公司的保險合同上有這樣一個條款：飛機一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣50萬元，但保險公司需向每名乘客收取保險費20元。如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么平均來說，當(dāng)飛機失事的概率不超過多少時，才能保證保險公司的收入不小于支出？

【解析】看到這個實際問題，同學(xué)們可能會無從下手。其實，本題考查的依舊是概率的含義。那么，根據(jù)所給的保險公司的收入不少于支出這個不等量關(guān)系，我們可設(shè)飛機失事的概率為p，則在n次飛行中飛機平均失事np次，得120×20×n≥120×500000×np，解得p≤0.00004。

本章的學(xué)習(xí)難度并不大，卻有著非常重要的實際意義，運用統(tǒng)計、概率知識可以幫助我們在生活中做出估計、推斷、決策。在解題過程中，我們一定要仔細審題，注重提升從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單推斷的能力，體會“概率模型”的作用以及運用概率思考問題的特點，體會“不同的問題往往可以歸結(jié)為同一個概率模型”的模型思想，從而提升解決實際問題的能力。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學(xué)）