浙江省杭州市富陽區(qū)東洲中學(xué) 陸煒平 浙江省杭州市富陽區(qū)郁達夫中學(xué) 陳建國

當課堂還沉浸在“填鴨式”教育，即“教師講講講，學(xué)生練練練”時，“雙減”政策強勢出臺，使得這種教育的“最后一根稻草”終于承受不住了.在雙減背景下，教師不得布置過重的作業(yè)，學(xué)生也沒有機會在課后尋找培訓(xùn)機構(gòu)重新補習(xí).如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量迫在眉睫！

“深度學(xué)習(xí)”就是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生能圍繞具有挑戰(zhàn)性的問題，全身心積極參與其中，并體驗成功，最終獲得發(fā)展的一個有意義的學(xué)習(xí)過程.在這個過程中，學(xué)生掌握科學(xué)的核心知識，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成既具有獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神、基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會實踐的主人.

數(shù)學(xué)是一門鍛煉個人思維能力，邏輯性、探究性很強的學(xué)科.作為數(shù)學(xué)教師，要在平時的教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生進行課堂探究，讓學(xué)生主動參與到發(fā)現(xiàn)問題、尋找答案的過程中，從而培養(yǎng)學(xué)生探究興趣，最終解決問題.本文中將以不同的課型教學(xué)為例展開具體闡述.

1 概念探究，培養(yǎng)學(xué)生的溯源能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》指出課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認知規(guī)律，它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.所以，即使是概念課也不僅要讓學(xué)生知道概念的內(nèi)容，更要讓學(xué)生思考概念形成的過程，追本溯源，才能始得真意.

1.1 概念教學(xué)課堂的探究設(shè)計

以浙教版七年級下冊第一章的第2課時“同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角”為例，一般課堂中教師會直接提出同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的概念，然后設(shè)計大量的鞏固練習(xí)對概念進行辨析.這種教法使得學(xué)生只能被動地接受和記住同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念.因此對概念進行探究很有必要，在探究的過程中讓學(xué)生也當一回數(shù)學(xué)家，體驗同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的形成過程.具體探究過程可以如下.

圖1

首先回顧兩條相交直線所產(chǎn)生的四個角(如圖1,以下簡稱“兩線四角”)的研究路徑:角的兩兩組合——分類——命名——研究數(shù)量關(guān)系——得出結(jié)論.

回顧兩線四角后，讓學(xué)生在兩線上增加一條線，學(xué)生會畫出共點(如圖2)和不共點(如圖3)的兩種情況，這時讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)圖2 是在圖1基礎(chǔ)上的深化，而圖3卻不只有對頂角和鄰補角，其他角可能也有研究價值.為了方便表達，我們將圖3稱為“三線八角”，那“三線八角”又該如何研究呢？此時，學(xué)生會很自然地類比“兩線四角”的研究過程去研究“三線八角”.此時，放手讓學(xué)生們自己去探究，學(xué)生會從以下方向去探究：

(1)將角進行兩兩組合，可以組成多少對角？

(2)利用角的位置關(guān)系，將角怎么分類？

(3)分類后的角該如何命名？

(4)角的數(shù)量關(guān)系該怎么研究呢？

圖2

圖3

在探究第(1)個問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究不共頂點的一對角，那么學(xué)生比較容易得到：將不共頂點的八個角兩兩組合，可以產(chǎn)生16對角.

第(2)個問題是利用角的位置關(guān)系，將角進行分類.此時需要對每一個角所在的位置進行統(tǒng)一規(guī)定，那么該如何規(guī)定呢？這就需要學(xué)生去探究，只要標準一致，怎么規(guī)定都沒有關(guān)系.此刻的學(xué)生正像一位數(shù)學(xué)家那樣在探索一個未知的領(lǐng)域，并且這個領(lǐng)域好像并沒有那樣的遙不可及.給學(xué)生以充足的時間去合作探究，教師指導(dǎo)有困難的學(xué)習(xí)小組.在課堂上，教師能驚喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的分類：

方法1：引用方位角，如∠1和∠5為東北角.

方法2：類似方位角，如∠1和∠5為右上角.

方法3：引用界限角，如∠1和∠5為同側(cè)同位角.

…………

分類后，名稱就呼之欲出了，但是這個權(quán)利一定要先交給學(xué)生，讓學(xué)生真正體驗一把當數(shù)學(xué)家的成就感.當然很多學(xué)生對部分組合的角，如∠1和∠5的角，已經(jīng)命名好，就叫東北角(右上角)，也未嘗不可.教師要做的事情是引導(dǎo)學(xué)生將所有的角進行命名，此時我們可借助巨人(教材)的力量，為了統(tǒng)一稱呼，規(guī)定將形如∠1和∠5的角稱同位角， 形如∠3和∠5的角稱內(nèi)錯角，形如∠4和∠5的角稱同旁內(nèi)角.教師也要帶領(lǐng)學(xué)生去探索更廣闊的知識領(lǐng)域，讓學(xué)生模仿命名剩余的角.只要教師指明方向，學(xué)生的想象是無窮的，例如∠1和∠6會命名為異旁異部角，∠1和∠7為外錯角，∠1和∠8為同旁外角……

1.2 探究概念，追本溯源

我們花了大量的時間對16對角的位置關(guān)系進行分類，首先是為了讓學(xué)生追本溯源，理解數(shù)學(xué)研究的一般過程是類似的，即研究“三線八角”可以模仿“兩線四角”的過程.同時學(xué)生對本節(jié)課之后的研究內(nèi)容——角的數(shù)量關(guān)系，也有了研究方向.最后還解決了部分學(xué)生的疑惑：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角這三類角命名的由來，以及除了這三類角，剩余的幾對角又到底是什么角.通過對角的命名，學(xué)生獲得了成功的喜悅，體驗了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)了對數(shù)學(xué)探究的熱情.

2 定理探究，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力

數(shù)學(xué)定理是無需質(zhì)疑的真命題.因此學(xué)生對于定理往往是全然接受，完全不會去挖掘定理中蘊含的秘密.殊不知，定理的產(chǎn)生本身就絕非一帆風(fēng)順，也是數(shù)學(xué)家像偵探一樣經(jīng)歷多次嘗試、冒險、質(zhì)疑，驗證，最后通過不斷地打磨、精簡得到的.

2.1 定理教學(xué)的課堂探究設(shè)計

以浙教版八年級上冊第2.8課時“直角三角形全等的判定”為例,在該課時中,用“HL”來證明兩個直角三角形全等．但是“HL”和之前我們否定過的“SSA”有著類似的條件, 這又是怎么一回事呢？這樣的引導(dǎo),勢必會激發(fā)學(xué)生去質(zhì)疑、探究．

在設(shè)計該課時，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧利用“SSA”不能證明兩個三角形全等時所采用的反例：如圖4，AC=AC1，AB=AB，∠B=∠B，但△ABC不全等于△ABC1.接著借助幾何畫板，發(fā)現(xiàn)在構(gòu)造圖4時，是因為能構(gòu)造出AC和AC1兩條相等的線段，如果拖動點C向右移動，發(fā)現(xiàn)AC和AC1兩條線段重合(如圖5)時，圖形就唯一了，SSA也就自然成立了，此時△ABC恰好為直角三角形.接著學(xué)生必定會讓老師繼續(xù)將點C向右移(如圖6)，發(fā)現(xiàn)AC1在△ABC的外部，內(nèi)部AC唯一了，即SSA也成立.采用幾何畫板演示不僅能讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)圖形的變化過程，更能發(fā)現(xiàn)問題所在，現(xiàn)只要將圖4和圖6進行對比，就能發(fā)現(xiàn)只要滿足AC>AB即可.

圖4

圖5

圖6

于是問題就轉(zhuǎn)化為：

如圖7，在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，∠B=∠B′，AC>AB.求證：△ABC≌△A′B′C′.

圖7

要證△ABC≌△A′B′C′，只要證BC=B′C′即可.假設(shè)BC≠B′C′，且BC>B′C′.這樣，在邊BC上就有一點C1，使BC1=B′C′，所以△ABC1≌△A′B′C′，故AC1=A′C′.由題設(shè)AC=A′C′，可得AC1=AC，故∠C=∠AC1C.又因為在△ABC1中，∠AC1C>∠B，從而∠C>∠B，由此AB>AC，這與題設(shè)中的AC>AB矛盾，故BC≠B′C′不成立，因此BC=B′C′成立[1].

2.2 探究定理，質(zhì)疑辨惑

引導(dǎo)學(xué)生將上述結(jié)論的符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，即“兩邊及其中大邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”這一定理，結(jié)合“HL”，發(fā)現(xiàn)“HL”的本質(zhì)其實就是“兩邊及其中大邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”這一定理.

對于學(xué)生而言，對問題質(zhì)疑正是激發(fā)他們?nèi)ヌ剿鞯膭恿Γ彩谴碳に麄內(nèi)?chuàng)造的源泉，教師一定要及時引導(dǎo)，不要錯過真正培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的機會.經(jīng)常給學(xué)生親身研究和辨析定理背后秘密的機會，久而久之，勢必會將冰冷的數(shù)學(xué)變成火熱的思考.

3 變式探究，培養(yǎng)學(xué)生的貫通能力

我們說數(shù)學(xué)之所以會有如此強的邏輯順序，那是因為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是層層遞進的.新知識的出現(xiàn)不僅要求學(xué)生掌握其表面的特征，更要求學(xué)生去探索該知識衍生出來的新應(yīng)用.變式教學(xué)能讓學(xué)生在新的應(yīng)用中再創(chuàng)造出新的認知，從而不斷地獲取新知，真正確保新知的落地.

3.1 變式教學(xué)的課堂探究設(shè)計

以浙教版七年級下冊第三章第4課時“乘法公式(2)——完全平方公式”為例，該節(jié)課的難點是認識完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并進行有效地運用.

完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2為標準形式，對標準形式的運用學(xué)生一般是沒有問題的，如“計算(a+1)2，(3+2m)2，(x+5y)2”等.作為教師，我們需要做的是通過設(shè)計簡單的變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生去探究練習(xí)背后的變與不變.如在“(a+1)2，(3+2m)2，(x+5y)2”的計算中，結(jié)合標準形式，我們可以先對條件的設(shè)置進行如下探究.

探究1：結(jié)合公式，練習(xí)中的“1”“3”是指公式中的哪一部分？你能將“1”“3”進行拓展嗎？能自己設(shè)計一些練習(xí)嗎？

探究2：練習(xí)中的“2m”“5y”又是指公式中的哪一部分？你能將“2m”“5y”進行拓展嗎？能自己設(shè)計一些練習(xí)嗎？

探究1說明標準形式中的a和b可以用數(shù)來表示，而目前學(xué)生學(xué)過的數(shù)可以拓展到正數(shù)和負數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，學(xué)生可能會設(shè)計出如(a-1)2，或者(-3+m)2的式子.

接著挑選學(xué)生設(shè)計的題目，如，計算(a-1)2，(-3+2m)2，(-a-3b)2，引導(dǎo)學(xué)生思考如何進行有效計算，探究如下.

探究3：你能利用完全平方公式的標準形式對(a-1)2，(-3+2m)2，(-a-3b)2進行計算嗎？

探究4：結(jié)合計算的結(jié)果，關(guān)于解法，你發(fā)現(xiàn)了什么？

探究3中學(xué)生基本上會套用公式得出結(jié)果，部分學(xué)生會在處理結(jié)果時忽略化簡.此時教師可做適當引導(dǎo)和展示，如(a-1)2=[a+(-1)]2=a2+2a(-1)+(-1)2=a2-2a+1.

學(xué)生的結(jié)果如下：

(a-1)2=a2-2a+1；

(-3+2m)2=9-12m+4m2；

(-a-3b)2=a2+6ab+9b2.

得出結(jié)果后，教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察條件和結(jié)果之間的符號關(guān)系進而來解決探究4，即兩數(shù)同號時中間項符號為“+”，兩數(shù)異號時，中間項符號為“-”，用符號語言表達為：

(a+b)2=(b+a)2=(-a-b)2=(-b-a)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=(b-a)2=(-a+b)2=(-b+a)2=a2-2ab+b2.

3.2 探究變式，融會貫通

通過對變式練習(xí)的初次探究，得出了兩數(shù)差的平方公式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩數(shù)差的平方公式本質(zhì)還是兩數(shù)和的平方公式，讓學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)知識的本源對知識進行貫通是數(shù)學(xué)的橫向發(fā)展，即水平數(shù)學(xué)化.

通過對變式練習(xí)的深入探究后，發(fā)現(xiàn)乘法公式是在整式單元中學(xué)習(xí)的，而且學(xué)生對根式和分式的概念也不是很清晰，但通過對比，學(xué)生體會到整式的學(xué)習(xí)方法和策略可以為分式和根式的學(xué)習(xí)提供研究方向.因此，方法的使用是貫通的，這是數(shù)學(xué)知識的縱向發(fā)展，即垂直數(shù)學(xué)化[2].

巧妙地設(shè)計和利用變式，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識與方法之間是相通的，讓學(xué)生自己去經(jīng)歷這個過程，真正地將知識方法融會貫通.

4 結(jié)語

在“雙減”背景下,學(xué)校課堂教學(xué)主陣地的地位越加凸顯．因此向課堂要質(zhì)量是教師迫切需要解決的問題．“探究式”課堂能讓學(xué)生變“被動接受”為“主動探索”,從根本上去理解數(shù)學(xué)、再創(chuàng)數(shù)學(xué),引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí),從而提高課堂質(zhì)量,確保“雙 減”有效落地.同時“探究式”課堂也能讓學(xué)生追本溯源、質(zhì)疑解惑、融會貫通,真正地確保能力落地,促進學(xué)生終身發(fā)展．