江蘇省無錫市華莊中學(xué) 劉振芹 周建平

縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)題目均構(gòu)思精巧且思維含量高，注重考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備品格.因此，專題復(fù)習(xí)課的定位就要著力于學(xué)生思維的發(fā)展和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).那么，如何科學(xué)地選編復(fù)習(xí)題就顯得尤為重要！筆者在2022年無錫市初中數(shù)學(xué)教研活動中執(zhí)教了一節(jié)“與圓有關(guān)的概念”復(fù)習(xí)課，現(xiàn)就本節(jié)課如何以問題驅(qū)動指引學(xué)生的思維做回顧與思考，與同仁交流.

1 教學(xué)實例

1.1 問題情境，引發(fā)思考

引例若AB=5，BC=3，求AC.

生1：2.

師：你是怎么想的？

生1：點C在線段AB上，AC=2.

師：有沒有不同想法的同學(xué)？

生2：8.

師：說說你的想法.

生2：點C在線段AB延長線上，AC=8.

學(xué)生的回答超出筆者的預(yù)設(shè)，根據(jù)回答，筆者啟發(fā)學(xué)生再思考有沒有其他情況.

圖1

生3補充：△ABC是直角三角形且AB邊為斜邊時，AC=4.(筆者順勢請該生板演作圖，如圖1.)

追問：BC的位置確定嗎？

筆者動手演示，學(xué)生意識到BC位置不確定.筆者繼續(xù)引導(dǎo)：這樣的點C有多少個？學(xué)生回答：無數(shù)個.這時強調(diào)AC并不是一個具體的取值，而是一個范圍，最后引導(dǎo)學(xué)生給出點C的軌跡：以B為圓心，BC長為半徑的圓(如圖2).

設(shè)計意圖：通過問題情境啟發(fā)學(xué)生獨立思考，在質(zhì)疑情境中學(xué)生從特殊走向一般，再從一般走向特殊.既復(fù)習(xí)了圓的定義，又感受了運用確定性思維進行數(shù)學(xué)化思考的方法.這種創(chuàng)新概念復(fù)習(xí)的方式切實關(guān)注學(xué)生的思維體驗，比直接讓學(xué)生回憶概念，再用其解題的傳統(tǒng)方式更能讓學(xué)生達到對概念本質(zhì)的理解.

1.2 問題拓展，搭建框架

圖2

問題1 這張圖(圖2)清晰地呈現(xiàn)了點與圓的位置關(guān)系，有哪幾種？如何判斷點與圓的位置關(guān)系？

問題2 類比，直線與圓又有怎樣的位置關(guān)系？

問題3 若在直徑上取點D，大家能作出過D點的圓的最短弦嗎？

學(xué)生通過板演作圖和計算，感悟垂徑定理的作用，如圖3.

問題4 既然垂徑定理涉及弧，那么弧的度數(shù)又與什么有關(guān)？

圖3

問題5 當(dāng)∠EBN=72°時，求∠EMN的度數(shù).

學(xué)生通過計算回顧圓周角定理，如圖4.

圖4

最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，進而得到圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)課是建構(gòu)知識體系的過程，既要顧及基礎(chǔ)知識，又要提高思維含量.因此，筆者通過設(shè)置有序的問題串，把“知識線索”轉(zhuǎn)化為“問題線索”，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中建構(gòu)思維導(dǎo)圖(如圖5)，進而從知識結(jié)構(gòu)的視角實現(xiàn)思維的優(yōu)化.

圖5

圖6

體驗中考(2021年無錫中考第25題)如圖6，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，AC與BD交于點E，PB切⊙O于點B.

(1)求證：∠PBA=∠OBC；

(2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求證：△OAB∽△CDE.

學(xué)生經(jīng)過獨立思考，給出證明思路.

生4：由AC是直徑，得∠ABC=90°.由PB切⊙O于點B，得∠PBO=90°，故∠PBA=∠OBC.由∠PBA=20°，∠PBO=90°，得∠ABO=70°.又OA=OB，則∠AOB=40°，所以∠AOB=∠DCE.又∠DEC為△OBE外角，∠OBE=30°，得∠CED=70°，所以∠ABO=∠DEC，故△OAB∽△CDE.

師：有沒有更簡便的方法？

筆者適時總結(jié)，在解題方法多樣化的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方法的最優(yōu)化，復(fù)習(xí)才能事半功倍.

設(shè)計意圖：中考復(fù)習(xí)課的落腳點要回歸到中考題，通過案例體驗中考，讓學(xué)生感受本節(jié)課復(fù)習(xí)的知識點是如何串聯(lián)起來的，同時在書寫的規(guī)范性以及方法的選擇上引導(dǎo)學(xué)生.

圖7

1.3 問題延伸，發(fā)展能力

1.3.1 一題多變，著力發(fā)散思維

例題如圖7，在三角形ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若BD=2，BE=3，求AC的長.

學(xué)生容易想到用三線合一證明BE=CE.求解AC的問題，學(xué)生給出了兩種方法.

圖8

圖9

筆者稍加點撥：你還能找出其他相似三角形來求AC嗎？引導(dǎo)學(xué)生從相似角度，結(jié)合圖形深入思考.

圖10

設(shè)計意圖：本例題難度不大，通過勾股定理和相似兩種思路思考問題，并挖掘相似的兩種求解途徑，讓學(xué)生體驗解題方法的多樣性，在一題多解中有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

變式1如圖11，在△ABC中，AB=AC，若點O在AC上向點C移動，以O(shè)為圓心，OC長為半徑的圓交BC于E，ED⊥AB于D.求證：DE是⊙O的切線.

圖11

圖12

變式2如圖12，在△ABC中，AB=AC=5，若點O在AC上向點C移動，以O(shè)為圓心，OC長為半徑的圓與AB邊相切，作ED⊥AB于D.若BD=1，求DE的長.

設(shè)計意圖：變式1引起學(xué)生對直線與圓位置關(guān)系的關(guān)注，而變式2引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形中相切的特殊位置關(guān)系，并為解決追問1和追問2作鋪墊.這樣一題多變的訓(xùn)練，不僅能加強知識的聯(lián)系，還可培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和發(fā)散思維能力，從而提升學(xué)生分析問題、探究問題和解決問題的能力.

1.3.2 多題一解，讓發(fā)散走向集中

良好的思維品質(zhì)除了要有發(fā)散性思維，集中思維也是不可或缺的一部分.集中思維以發(fā)散思維為基礎(chǔ)，對學(xué)生思維能力的形成與發(fā)展具有重要作用.

接下來筆者在問題的本質(zhì)上做延伸，促使探究更深一步，引領(lǐng)學(xué)生的思維更進一步.

學(xué)生對正弦條件有點無從下手，筆者適時引導(dǎo).

師：正弦是什么圖形里有的？

眾生：直角三角形.

師：那么∠A所在的直角三角形有沒有？

學(xué)生恍然大悟，意識到需要構(gòu)造直角三角形，進而利用正弦定義建立方程求解.

教學(xué)中，筆者留給學(xué)生充分的時間進行觀察和思考，直至學(xué)生認(rèn)識到問題的本質(zhì).

追問2：若將變式2中的條件BD=1換成S△ABC=10，其余條件不變，求DE的長.

筆者在巡視中發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生愁眉緊鎖，說明他們不善于轉(zhuǎn)化條件.于是啟發(fā)學(xué)生思考：已知三角形的邊長和面積，能確定什么？學(xué)生意識到面積條件可以轉(zhuǎn)化為高，然后梳理出如下思路.

圖13

圖14

師：若是作AC邊上的高BM呢？

生7：△AHO∽△AMB，如圖14.

總結(jié)：題目的背景沒有變化，條件一直在變，但是面積條件本質(zhì)上還是∠A的正弦值，所以我們在思考問題時要關(guān)注變中不變，即萬變不離其宗的思考方法，這樣才能得到從一題多解到多題一解的訓(xùn)練提升.

設(shè)計意圖：追問1和追問2是對變式2條件的稍加改變，問題看似沒有關(guān)聯(lián)，但解決途徑是一致的，目的是利用多題一解的訓(xùn)練，幫助學(xué)生感悟基本圖形，感知問題的本質(zhì)，提煉解題思想和方法，讓思維從發(fā)散走向集中，提高綜合應(yīng)用的能力.

追問3：若將變式2中的條件BD=1換成BC=6，其余條件不變，求DE的長.

鼓勵學(xué)生課后探索.

2 教學(xué)的進一步思考

2.1 思維誘發(fā)，需重視閱讀理解能力

閱讀能力是最基礎(chǔ)、最關(guān)鍵的學(xué)習(xí)能力，而解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵就是要學(xué)會審題.審題并非將題目誦讀一遍，而是在讀題時抓住“題眼”，即試題的核心與重點，從而看透問題的本質(zhì).作為教師，應(yīng)認(rèn)識審題的重要性，舍得花時間精耕細(xì)作，讓學(xué)生經(jīng)歷“怎么做—怎么來的—怎么想到的”思維提升過程，教給學(xué)生審題技巧，提高獲取信息的能力，長此以往，學(xué)生的審題能力與解題能力將得以大幅度提升.

2.2 思維培育，要凸顯獨立思考能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱新課標(biāo))明確指出，要使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[1].不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，主要表現(xiàn)在學(xué)生的思維力上.張楚廷教授指出：“教學(xué)，從根本上說，是思考著的教學(xué)引導(dǎo)著學(xué)生思考，又讓思考著的學(xué)生促動教師思考.而在這一過程中，問題是最好的營養(yǎng)劑；在這一過程中，教師的思考和問題意識起著主導(dǎo)的作用.”[2]因此，在思維培育上，教師要多給學(xué)生一點思考的時間，多給學(xué)生一點表達的機會，讓獨立思考與自由表達自然形成思維能力.

2.3 思維優(yōu)化，要突出語言表達能力

新課標(biāo)明確提出，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.表達能力是學(xué)習(xí)能力的最高體現(xiàn)和綜合反映.只有通過表達，知識才能被激活，才能真正被轉(zhuǎn)化、升華為能力.學(xué)生用書面語言或口頭語言從不同角度、不同側(cè)面闡述看法或發(fā)表意見，這既是理解的重要標(biāo)志，也是從理解到創(chuàng)新的關(guān)鍵一步.因此，教師要鼓勵學(xué)生大膽地用自己的語言闡述自己的認(rèn)識和想法，這樣不僅能促進他們獨立思考，同時也能活躍思維，在交流和互動中產(chǎn)生新穎的觀點和思路，從而增強思維的靈活性和廣闊性.