江蘇省江陰市教師發(fā)展中心 王俊蓉

問(wèn)題串因其內(nèi)涵豐富、功能多樣，在教學(xué)設(shè)計(jì)中時(shí)常被廣泛運(yùn)用.“借助問(wèn)題串設(shè)計(jì)能立課堂之骨架，讓課堂更立體；重視經(jīng)驗(yàn)的積累與提升，可以讓課堂更充實(shí)、豐盈；注重對(duì)學(xué)生高階思維的培育，才能彰顯課堂的學(xué)科價(jià)值、提升課堂的生長(zhǎng)力、賦予課堂生命力.”[1]筆者將問(wèn)題串設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課二者結(jié)合在一起研究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題串設(shè)計(jì)能有效地將“做中學(xué)”的理念滲透到教學(xué)實(shí)踐中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的特有價(jià)值.下面，以蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)中的實(shí)驗(yàn)“16 數(shù)格點(diǎn) 算面積——發(fā)現(xiàn)皮克公式”為例進(jìn)行闡述.

1 教學(xué)流程及說(shuō)明

問(wèn)題1同學(xué)們，我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常借助一些工具，譬如可以用刻度尺測(cè)量線段的長(zhǎng)度.你還能列舉一些數(shù)學(xué)工具嗎？

教學(xué)說(shuō)明：(1)讓學(xué)生梳理使用過(guò)的數(shù)學(xué)工具及其功能，除對(duì)實(shí)物型工具(譬如三角板、直尺、圓規(guī)等)的回顧，還要回顧經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的概念型工具(譬如數(shù)軸、網(wǎng)格等).引導(dǎo)學(xué)生激活對(duì)數(shù)軸、網(wǎng)格等工具運(yùn)用的基本經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)這些工具數(shù)學(xué)功能的理解.

(2)引導(dǎo)學(xué)生回顧關(guān)于網(wǎng)格的基本數(shù)學(xué)問(wèn)題，歸納出畫平行線、垂線等是將網(wǎng)格線作為基本參考物，體現(xiàn)網(wǎng)格線之間的位置關(guān)系；求三角形面積等，體現(xiàn)網(wǎng)格可以反映數(shù)量關(guān)系，激活學(xué)生對(duì)網(wǎng)格問(wèn)題的已有經(jīng)驗(yàn)，建立學(xué)生對(duì)本節(jié)課的情感聯(lián)系，為后繼研究做好知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備.特別是，在該環(huán)節(jié)中結(jié)合“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，讓學(xué)生體會(huì)“網(wǎng)格”作為數(shù)學(xué)問(wèn)題研究工具的必要性和可行性.

圖1

問(wèn)題2根據(jù)圖1，你能求出哪些量？

教學(xué)說(shuō)明：(1)開(kāi)放型問(wèn)題的價(jià)值主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多層面分析、思考問(wèn)題.該問(wèn)題中，學(xué)生容易想到的是求圖形的面積、周長(zhǎng)，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)的存在，并將要研究的格點(diǎn)按位置分為在邊上和在內(nèi)部?jī)深?，便于研究多邊形的面積、邊上的格點(diǎn)數(shù)、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)三者之間的關(guān)系.

(2)本節(jié)課中圖形面積的計(jì)算是研究基礎(chǔ)，夯實(shí)該部分內(nèi)容才能對(duì)后面的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行有效探究.教學(xué)時(shí)，通過(guò)不斷拖動(dòng)點(diǎn)A的位置，讓學(xué)生計(jì)算圍成的圖形面積，確保每位學(xué)生能熟練掌握割補(bǔ)法求圖形面積的方法.

問(wèn)題3同學(xué)們，在改變點(diǎn)A位置時(shí)發(fā)現(xiàn)，改變的不僅是圖形的面積，還有一些量也在改變.你能提出一些假設(shè)嗎？

教學(xué)說(shuō)明：讓學(xué)生在問(wèn)題情境中自由探索，感受各量之間互相影響的依存關(guān)系.該問(wèn)題的設(shè)置意在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，感受問(wèn)題的真實(shí)性，激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣與熱情.學(xué)生可能會(huì)提出各種問(wèn)題，在有限的時(shí)間與空間內(nèi)顯然不可能一一探究，教師可選擇與本節(jié)課相關(guān)的問(wèn)題深入展開(kāi).同時(shí)，對(duì)其他問(wèn)題的價(jià)值予以肯定，激發(fā)學(xué)生的同理心，將注意力與興趣點(diǎn)有效轉(zhuǎn)移到同一個(gè)話題上，形成思維聚焦，孕育思維場(chǎng).

問(wèn)題4如果一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這種多邊形叫做格點(diǎn)多邊形(如圖1的五邊形ABCDE).如果格點(diǎn)多邊形的面積、邊上的格點(diǎn)數(shù)、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)確實(shí)存在某種關(guān)系，我們?cè)撊绾螌ふ疫@種關(guān)系呢？請(qǐng)小組討論，選派一位組員集中匯報(bào).

教學(xué)說(shuō)明：(1)給出格點(diǎn)多邊形的概念，便于進(jìn)一步深入研究該對(duì)象.

(2)以小組合作交流的形式開(kāi)展這一問(wèn)題的探究，凸顯學(xué)生主體地位的同時(shí)，讓每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與，特別是基礎(chǔ)薄弱但思維活躍的學(xué)生在該環(huán)節(jié)中一般會(huì)有較好的表現(xiàn)，從而有效增強(qiáng)這類學(xué)生群體學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.當(dāng)各組員積極參與活動(dòng)，制定研究計(jì)劃時(shí)，組內(nèi)同學(xué)的思維會(huì)受群體思維的影響作出改變，個(gè)體思維在思維場(chǎng)的作用下逐漸向深處蔓延.

(3)以小組為單位匯報(bào)各自的研究計(jì)劃，其他各組成員會(huì)對(duì)匯報(bào)者的研究計(jì)劃進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，與本小組的計(jì)劃進(jìn)行比較、評(píng)估，完善自己小組的計(jì)劃.這一過(guò)程，思維場(chǎng)對(duì)群體性思維、個(gè)體性思維都產(chǎn)生良性作用，激發(fā)學(xué)生大腦接收外界信息刺激的同時(shí)，積極分解、消化，能有效促進(jìn)學(xué)生高階思維的培育.

(4)將學(xué)生提供的思路進(jìn)行完善，增強(qiáng)其可行性及嚴(yán)謹(jǐn)性.一般而言，運(yùn)用特殊到一般的方式進(jìn)行不完全歸納.但由于涉及三個(gè)變量之間的關(guān)系，所以采用控制變量法，即通過(guò)固定某一個(gè)量來(lái)探索其他兩個(gè)變量的變化規(guī)律，從而將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.若多邊形的面積記為S、邊上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，則可以先確定N的值，然后發(fā)現(xiàn)S，L之間的關(guān)系.

(5)如果根據(jù)上述方式每個(gè)小組分別取若干個(gè)N的值進(jìn)行計(jì)算，顯然課堂時(shí)間是不允許的，可以采用分組合作的方式.以六個(gè)小組為例，前四個(gè)小組分別計(jì)算當(dāng)N從0開(kāi)始到3時(shí)，某一滿足條件的圖形中S，L的值，并探究三者之間的關(guān)系；第五、六小組可以自主選擇一些N的值進(jìn)行探究.這樣在提高效率的同時(shí)，使N具有普遍性，從而體現(xiàn)結(jié)論的一般意義.

問(wèn)題5分工合作，根據(jù)操作單完成探究任務(wù).(圖2是以n=0為例進(jìn)行示范，當(dāng)N取其他值時(shí)，各組自行畫圖并探究.)

探索N=時(shí)的格點(diǎn)多邊形中S與L之間的關(guān)系.

(1)圖2-1,2-2,2-3分別為N=的格點(diǎn)多邊形，請(qǐng)你在圖2-4中再畫出一個(gè)N=的格點(diǎn)多邊形.

圖2-1

圖2-2

圖2-3

圖2-4

(2)觀察圖形并填寫下表：

圖號(hào)LS圖2-1圖2-2圖2-3圖2-4

當(dāng)N=時(shí)，若用含有L的代數(shù)式表示S，則有S=.

問(wèn)題6猜想：格點(diǎn)多邊形的面積S與邊上的格點(diǎn)數(shù)L、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)N之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)說(shuō)明：將各組的結(jié)論匯總在一張表格中呈現(xiàn)給所有同學(xué)進(jìn)行研究，各小組匯報(bào)研究的結(jié)果.該環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維碰撞會(huì)比較激烈，教師可以將話語(yǔ)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生交流溝通.思維在碰撞的過(guò)程中，會(huì)從感性走向理性，從片面走向全面.學(xué)生的思維狀態(tài)能夠很好地實(shí)現(xiàn)層級(jí)躍遷，即從低階思維狀態(tài)進(jìn)入到高階思維狀態(tài)，再次促進(jìn)高階思維的培育.此時(shí)，教師的主導(dǎo)地位主要體現(xiàn)在當(dāng)話題偏離主線時(shí)，及時(shí)介入、引導(dǎo)，確保學(xué)生的爭(zhēng)論點(diǎn)聚焦于核心問(wèn)題.

問(wèn)題7同學(xué)們，這個(gè)公式是奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年給出的，被稱為“皮克定理”.你能運(yùn)用公式提出一些問(wèn)題嗎？

教學(xué)說(shuō)明：(1)數(shù)學(xué)文化的滲透讓學(xué)生既感受到歷史的溫度、內(nèi)涵的深度、數(shù)學(xué)的美度，又能讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)家在不同時(shí)空對(duì)同一問(wèn)題的研究過(guò)程，感受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的興奮感、提出問(wèn)題的困惑感、分析問(wèn)題的急切感以及解決問(wèn)題的滿足感，體驗(yàn)探究本身帶來(lái)的樂(lè)趣，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力.

(2)皮克公式的運(yùn)用不是本節(jié)課的重點(diǎn)，但從數(shù)學(xué)抽象的角度來(lái)說(shuō)，需要獲得對(duì)發(fā)現(xiàn)的公式進(jìn)行運(yùn)用體驗(yàn).特別地，該公式給出了三個(gè)量之間的關(guān)系，如果其中兩個(gè)量確定，則可以運(yùn)用方程思想求出第三個(gè)量；若給定面積，根據(jù)兩個(gè)格點(diǎn)數(shù)是整數(shù)，可求不定方程的整數(shù)解.

問(wèn)題8若把正方形網(wǎng)格換成等邊三角形網(wǎng)格，或者是有一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形網(wǎng)格(如圖3)，格點(diǎn)多邊形的面積S與邊上的格點(diǎn)數(shù)L、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)N之間還有這樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

圖3

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)類比遷移，將皮克公式向一般化進(jìn)行推廣.進(jìn)一步擴(kuò)大公式的適用范圍，既是提高公式本身的數(shù)學(xué)價(jià)值，也是探究公式的一般方法.

問(wèn)題9通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？還存在哪些困惑？

教學(xué)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探究過(guò)程中的體驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，如活動(dòng)的設(shè)計(jì)、自己的感受等，將這些體驗(yàn)上升為經(jīng)驗(yàn)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而為今后研究類似問(wèn)題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2 教學(xué)反思

2.1 問(wèn)題串設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的變革

學(xué)習(xí)方式的變革是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂改革的重點(diǎn)之一.增強(qiáng)問(wèn)題的情境化，能讓學(xué)生在問(wèn)題情境中發(fā)展“四能”.本案例借助問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，在尋求問(wèn)題解決的策略時(shí)，教師不是直接給出實(shí)驗(yàn)路徑，而是放權(quán)給學(xué)生，讓他們以自主設(shè)計(jì)、小組交流、分享匯報(bào)的方式完成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié).教師擺正“主導(dǎo)”的位置不越界，只是當(dāng)學(xué)生的討論在無(wú)用的細(xì)節(jié)處糾纏或找不到問(wèn)題解決的出口時(shí)，教師發(fā)揮其作用，將學(xué)生討論的話題引導(dǎo)回歸主題.在探究公式的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)全員分工、小組合作交流等方式開(kāi)展活動(dòng)，教師不急于給出答案，也不輕易介入學(xué)生的探究過(guò)程.學(xué)生自主探究、自由交流，分享自己的成果，主動(dòng)向同伴尋求幫助.在問(wèn)題串的引領(lǐng)下，學(xué)習(xí)方式多樣化，學(xué)生主體地位得以彰顯.

2.2 問(wèn)題串促進(jìn)高階思維的培養(yǎng)

用問(wèn)題串建構(gòu)課堂流程，對(duì)問(wèn)題串的功能剖析能明晰教學(xué)的實(shí)際組織方式與學(xué)生的學(xué)習(xí)樣態(tài).本案例采用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的組織方式，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定不僅指向知識(shí)與技能的獲得，更是指向經(jīng)驗(yàn)的激活、積累、沉淀與再運(yùn)用，指向?qū)W生“四能”的提升.教師始終只把握教學(xué)主題，對(duì)獲得結(jié)果的方式方法、具體路徑等都由學(xué)生自主探究、交流合作而來(lái).他們面對(duì)的問(wèn)題是自己發(fā)現(xiàn)的，所以解決問(wèn)題的急切感強(qiáng)烈.學(xué)生的思維觸角在自主探究的氛圍中自然延伸，在主觀能動(dòng)性的驅(qū)使下不斷向深度探尋.特別是，當(dāng)學(xué)生思維在激烈碰撞時(shí)，個(gè)體思維之間不斷相互作用，思維場(chǎng)能有效促進(jìn)學(xué)生的思維從低階思維向高階思維的層級(jí)躍遷.

“初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦‘做’數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)活動(dòng)”，“力圖通過(guò)‘做實(shí)驗(yàn)’的主動(dòng)探究過(guò)程來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)”[2].問(wèn)題串引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提升學(xué)生探究的意識(shí)與能力，最大化地發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的價(jià)值.