曹洋兵，謝浩，張遂，黃真萍，邱冬冬，關(guān)慰清

(1. 福州大學(xué)紫金地質(zhì)與礦業(yè)學(xué)院，福建 福州 350108； 2. 自然資源部丘陵山地地質(zhì)災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(福建省地質(zhì)災(zāi)害重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)，福建 福州 350003； 3. 貴州省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局一〇三地質(zhì)大隊(duì)，貴州 銅仁 554300； 4. 石油化工工程質(zhì)量監(jiān)督總站，北京 102500)

0 引言

巖體結(jié)構(gòu)面力學(xué)效應(yīng)理論與巖體失穩(wěn)災(zāi)害實(shí)例均表明，數(shù)量龐大、 規(guī)模中等的節(jié)理等隨機(jī)結(jié)構(gòu)面對巖體邊坡或地下工程巖體穩(wěn)定性具有重要影響[1-3]，是工程建設(shè)中不可回避的關(guān)鍵研究對象. 從隨機(jī)結(jié)構(gòu)面中分析場地巖體結(jié)構(gòu)面發(fā)育分布特征和確定性規(guī)律，是目前合理解決巖體工程問題的主要策略. 隨機(jī)結(jié)構(gòu)面形狀被普遍認(rèn)為是薄圓盤[4-6]，在此條件下，科學(xué)合理地確定其平均直徑就成為重要的研究方向.

從統(tǒng)計(jì)學(xué)基本理論看，隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑應(yīng)基于研究區(qū)工程巖體所有隨機(jī)結(jié)構(gòu)面規(guī)模的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、 分析和確定. 但是，獲取所有結(jié)構(gòu)面數(shù)據(jù)顯然是不可行的，故只能采用抽樣方法進(jìn)行平均直徑的統(tǒng)計(jì)、 推斷. 當(dāng)前，估算平均直徑的方法主要是基于露頭面全跡長的方法. Warburton[7]推導(dǎo)出露頭面全跡長與直徑分布的隱式函數(shù)關(guān)系式； Priest[8]獲得結(jié)構(gòu)面直徑服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)露頭面平均全跡長與平均直徑的關(guān)系式； 伍法權(quán)[9]認(rèn)為露頭面與結(jié)構(gòu)面交切的平均全跡長即為圓形的平均弦長，并由此獲得基于露頭面全跡長的平均直徑估算公式； Zhang等[10]基于圓形統(tǒng)計(jì)窗法，推導(dǎo)露頭面平均全跡長計(jì)算式，并估算平均直徑； Tonon等[11]針對常見的露頭面全跡長概率分布形式，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)面直徑分布形式和平均直徑； 張國強(qiáng)等[12]提出無限測窗下跡長分布概率密度函數(shù)的多項(xiàng)式形式，并推導(dǎo)相應(yīng)的直徑分布概率密度函數(shù)的解析解； 黃磊等[13]在露頭面平均全跡長估算平均直徑的計(jì)算中糾正截短值造成的誤差； 吳超等[14]基于DBI(Davies-Bouldin index)指標(biāo)和離散系數(shù)確定節(jié)理跡長統(tǒng)計(jì)的下限值，實(shí)現(xiàn)對節(jié)理樣本的優(yōu)化并獲取節(jié)理分布特征； Xu等[15]提出一種新的快速模糊聚類方法，用其對結(jié)構(gòu)面進(jìn)行分組，提高露頭面全跡長幾何特征估計(jì)的合理性.

此外，Priest[16]基于數(shù)值積分法，通過反復(fù)嘗試直徑分布特征，在計(jì)算獲取的未刪截半跡長特征與實(shí)測值高度吻合時(shí)確定直徑分布模型與參數(shù)，提出隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑的反分析方法； Song[17]基于矩形統(tǒng)計(jì)窗法，將文獻(xiàn)[16]的數(shù)值積分法改進(jìn)為Monte-Carlo法，通過對比模擬值和實(shí)測值確定直徑分布特征； 梅濤等[18]在節(jié)理跡長分布已知條件下，設(shè)定不同平均直徑初值，通過對比平均直徑計(jì)算值和初值，確定最佳直徑分布和平均直徑； 黃磊[19]將文獻(xiàn)[17]的實(shí)體模擬法改進(jìn)為程序計(jì)算法，即直接通過幾何計(jì)算獲得各種直徑分布下的未刪截半跡長特征，對比計(jì)算值和實(shí)測值，得到最佳直徑分布； Hekmatnejad等[20]以全跡長為校準(zhǔn)參量，通過對比實(shí)測值和計(jì)算值，開展基于數(shù)值積分法的結(jié)構(gòu)面直徑無偏估計(jì).

綜上所述，關(guān)于巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算的研究目前在估算方法、 理論計(jì)算和工程應(yīng)用等方面均已取得重要進(jìn)展，但仍存在以下兩方面的問題： 1)露頭面全跡長難以被全部獲取，即露頭面平均全跡長屬于估計(jì)量而非實(shí)測量，其估算過程受隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑分布形式的約束，不易求得準(zhǔn)確的平均直徑； 2)基于實(shí)測半跡長或全跡長的平均直徑反分析方法，由于關(guān)聯(lián)函數(shù)的復(fù)雜性、 多極值等而存在多解性問題，同時(shí)存在直徑概率密度函數(shù)確定不嚴(yán)格(多以擬合誤差極小值作為直徑概率密度函數(shù)選擇依據(jù))等問題. 基于此，本研究在半跡長測線法條件下，通過理論推導(dǎo)，提出一種巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑的估算方法; 基于與測線交切半跡長實(shí)測數(shù)據(jù)，應(yīng)用隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)對該方法進(jìn)行應(yīng)用檢驗(yàn)和相關(guān)討論，以期為準(zhǔn)確獲取巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑提供有價(jià)值的參考和借鑒.

1 基于與測線交切半跡長的平均直徑估算方法

利用半跡長測線法對巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面采樣后，首先需要進(jìn)行分組，再分別對各組結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀、 直徑和體密度等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析. 因此，下述平均直徑估算理論公式推導(dǎo)是基于某組結(jié)構(gòu)面進(jìn)行的. 在推導(dǎo)之前，首先做出如下3個(gè)假設(shè)： 1) 每個(gè)結(jié)構(gòu)面是厚度可忽略的圓盤狀； 2) 同組結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀相同； 3) 結(jié)構(gòu)面直徑與產(chǎn)狀的分布函數(shù)相互獨(dú)立.

設(shè)隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑為D； 直徑的概率密度函數(shù)為y(D)； 露頭面全跡長為l； 露頭面全跡長概率密度函數(shù)為f(l)； 概率分布函數(shù)為F(l)； 與測線交切全跡長概率密度函數(shù)為g(l)； 概率分布函數(shù)為G(l)； 與測線交切半跡長為m； 與測線交切半跡長概率密度函數(shù)為h(m)； 概率分布函數(shù)為H(m).

露頭面全跡長越長，與測線交切的概率越大，則實(shí)際與測線交切全跡長落到區(qū)間[l，l+dl]內(nèi)的概率與全跡長成正比，即：

G(l)=klf(l)dl

(1)

式中:k為比例系數(shù).

與測線交切全跡長的概率密度函數(shù)為：

(2)

由密度函數(shù)性質(zhì)可知：

(3)

故：

(4)

又因?yàn)椋?/p>

(5)

式中:μl為露頭面平均全跡長.

(6)

在全跡長為l的條件下，假設(shè)跡線與測線交點(diǎn)沿跡長隨機(jī)分布，則與測線交切半跡長均勻分布在(0,l)范圍內(nèi)，其條件概率密度為：

(7)

因?yàn)榕c測線交切的半跡長落在[m，m+dm]的概率為h(m)dm，等于所有的測線中l(wèi)>m情況下與測線交切半跡長在[m，m+dm]的概率，即：

(8)

故與測線交切半跡長概率密度函數(shù)為：

(9)

將式(6)代入式(9)，與測線交切半跡長的概率密度函數(shù)可轉(zhuǎn)換為：

(10)

在獲得式(10)的過程中，未對與測線交切半跡長和露頭面全跡長的概率分布形式作出任何假設(shè)，故該式具有一定的普適性.

限于篇幅，在未對露頭面全跡長概率分布形式作出假設(shè)時(shí)，此處可直接參考文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)的露頭面全跡長概率密度函數(shù)與直徑的關(guān)系式：

(11)

式中:μD為隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑.

將式(11)代入式(10)，可得與測線交切半跡長的概率密度函數(shù)與直徑的關(guān)系式：

(12)

對上式中的雙重積分交換積分次序：

(13)

將式(13)積分并化簡：

(14)

以下假設(shè)直徑服從負(fù)指數(shù)分布：

(15)

限于篇幅，在假設(shè)直徑服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)，此處可直接參考文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)的露頭面平均全跡長與平均直徑關(guān)系式：

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14)，得：

(17)

又因?yàn)椋?/p>

(18)

式中:μm為與測線交切平均半跡長.

將式(17)代入式(18)，可得：

(19)

交換積分次序得：

(20)

值得說明的是，上式中m和D分別表示同一結(jié)構(gòu)面與測線交切的半跡長和直徑，因此必有0≤m≤D. 而上式對變量m先積分，則對m積分的上限和下限分別取D和0時(shí)，才能體現(xiàn)0≤m≤D這一關(guān)系. 由此，積分可得：

(21)

故隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑為：

(22)

由上文可知，式(14)未對分布形式作任何假設(shè)，是與測線交切半跡長與隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑之間的普適關(guān)系式. 據(jù)此，可采用數(shù)值積分法或反分析法確定直徑分布形式與平均直徑. 為便于工程應(yīng)用，推導(dǎo)出式(22). 該式為隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑服從負(fù)指數(shù)分布條件下，與測線交切平均半跡長和平均直徑的關(guān)系式，是本研究所提出的平均直徑的估算方法. 該方法無需對露頭面平均全跡長進(jìn)行估算，更加快速、 簡單. 需要強(qiáng)調(diào)的是，式(22)的推導(dǎo)過程未對與測線交切半跡長分布形式作出任何假設(shè)，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，可直接通過測線法來獲取與測線交切半跡長樣本，并進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)與分析，得到與測線交切平均半跡長.

2 應(yīng)用檢驗(yàn)與討論

由于無法獲得實(shí)際工程巖體所有隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的直徑數(shù)據(jù)，故本研究基于巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)，闡述所提方法的應(yīng)用過程，并檢驗(yàn)其可靠性. 采用現(xiàn)有成熟軟件的標(biāo)準(zhǔn)均勻隨機(jī)數(shù)生成方法和Monte-Carlo隨機(jī)模擬法[21]獲得所需的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面各幾何參量分布特征. 基于AutoCAD三維建模技術(shù)對隨機(jī)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行幾何表征，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的三維網(wǎng)絡(luò)模擬，具體設(shè)置情況如下：

1) 設(shè)定隨機(jī)結(jié)構(gòu)面生成區(qū)域大小和體密度. 為保障隨機(jī)模擬的可靠性，生成區(qū)域要足夠大(寬度和高度不小于平均直徑的3倍，長度不小于平均直徑的10倍). 在不同的平均直徑條件下，通過改變體密度大小使得與測線交切的半跡長數(shù)量足夠多，一般認(rèn)為150條以上的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面采樣數(shù)能保證工程應(yīng)用精度[21]. 本研究中樣本數(shù)量均不低于200條，從而保證數(shù)據(jù)量充足，以盡可能減小誤差.

2) 設(shè)定隨機(jī)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀與隙寬. 上述公式推導(dǎo)之前已假定每組結(jié)構(gòu)面完全平行，本次網(wǎng)絡(luò)模擬取傾向?yàn)?0°、 傾角為80°、 隙寬為0.005 m. 由于假定各參量的概率分布相互獨(dú)立，故這兩個(gè)參數(shù)值對平均直徑估算無直接影響.

3) 設(shè)定隨機(jī)結(jié)構(gòu)面為負(fù)指數(shù)分布，其平均直徑分別設(shè)置為4、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35、 40、 45、 50 m，共11種工況. 此處的平均直徑是真實(shí)工程巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的平均直徑，可作為本方法的檢驗(yàn)依據(jù).

基于上述隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)與參數(shù)設(shè)置，可生成不同平均直徑下隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模型，如圖1(a)所示. 在生成區(qū)域中心附近，沿長度方向設(shè)置截面作為露頭面，對模型剖切后可獲得該露頭面上所有跡線，如圖1(b)所示. 在該露頭面上設(shè)置測線并清除不與測線相交的結(jié)構(gòu)面，可測量出所有與測線交切的結(jié)構(gòu)面半跡長，如圖2所示. 進(jìn)行與測線交切半跡長的統(tǒng)計(jì)分析，如圖3(以平均直徑為5 m的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面為例)所示，發(fā)現(xiàn)直徑為負(fù)指數(shù)分布時(shí)，與測線交切半跡長呈現(xiàn)右偏分布特征. 前人研究表明[22-24]，半跡長多為負(fù)指數(shù)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，通過卡方檢驗(yàn)對比，對數(shù)正態(tài)分布(卡方值為4.4)優(yōu)于負(fù)指數(shù)分布(卡方值為8.7). 故應(yīng)用對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可獲得與測線交切半跡長的期望值，即為與測線交切平均半跡長.

圖1 隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模型和露頭面跡線圖

圖2 與測線交切半跡長測量示意圖

圖3 與測線交切半跡長概率密度直方圖和對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)擬合圖

為盡可能消除隨機(jī)誤差，對同一條測線分別采用與測線交切的上半跡長和下半跡長進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并應(yīng)用式(22)估算平均直徑，由此可獲得11種平均直徑工況下的平均直徑估算值(D估算). 計(jì)算各種平均直徑工況下估算值相對于真實(shí)值(D真實(shí))的相對誤差，如下：

(23)

與測線交切的上半跡長得出的平均直徑估算值、 相對誤差分別用D估算上、δ上表示； 與測線交切的下半跡長得出的平均直徑估算值、 相對誤差分別用D估算下、δ下表示. 計(jì)算結(jié)果如表1所示，通過式(22)估算的巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑與真實(shí)平均直徑差距較小，估算值的相對誤差為0.23%～12.13%. 此外，通過模擬和計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，相對誤差隨著采樣數(shù)增多而減小. 由此可以推斷，相對誤差較大的原因在于基于半跡長測線法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)面采樣數(shù)較小. 根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時(shí)，估算的平均值必然逐步收斂于真實(shí)值. 因此，在工程應(yīng)用時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量多采集樣本. 總體上看，上述檢驗(yàn)條件下，0.23%～12.13%的相對誤差已足以說明本方法的準(zhǔn)確性與實(shí)用性.

表1 各種工況下平均直徑真實(shí)值與估算值的對比

需要指出的是，式(22)的推導(dǎo)過程表明，本研究提出的平均直徑估算方法在半跡長測線法條件下適用，且隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑適用于負(fù)指數(shù)分布的情況，在其余情況下的適用性還有待研究. 但是，實(shí)際觀測經(jīng)驗(yàn)與結(jié)構(gòu)面分級理論[1]均已表明，結(jié)構(gòu)面的規(guī)模越大，其數(shù)量越少. 現(xiàn)有研究[9, 21]對巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面直徑概率密度函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)后，認(rèn)為直徑更有可能服從負(fù)指數(shù)分布，服從其它分布是由于人為舍棄或無法獲取微小結(jié)構(gòu)面所引起的. 因此，負(fù)指數(shù)分布極有可能是大部分工程巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的真實(shí)分布情況.

3 結(jié)語

在半跡長測線法條件下，提出基于與測線交切半跡長的巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算方法，應(yīng)用隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)對本方法進(jìn)行應(yīng)用檢驗(yàn)和討論，主要獲得以下結(jié)論：

2) 基于巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)，對本方法進(jìn)行檢驗(yàn). 結(jié)果表明，隨機(jī)結(jié)構(gòu)面平均直徑估算值與真實(shí)值差距較小，估算值的相對誤差為0.23%～12.13%，說明本方法具有較好的準(zhǔn)確性與實(shí)用性.

3) 相較于目前的常用方法，本方法免去對露頭面平均全跡長的估算步驟，直接基于實(shí)測的與測線交切半跡長進(jìn)行估算，計(jì)算步驟簡練且估算結(jié)果精確度較高，具有較高的應(yīng)用價(jià)值.