何 瓊，王小霞，薛雨佳

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

1983 年，ATANASSOV［1-2］利用Zadeh 的模糊集［3］提出直覺模糊集的概念。直覺模糊拓?fù)洌?］是直覺模糊集和拓?fù)鋵W(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物，其中直覺Fuzzifying 拓?fù)洌?］是直覺模糊拓?fù)涞闹匾种?。眾所周知，閉包算子是拓?fù)鋵W(xué)中的基本內(nèi)容，在其他拓?fù)淇臻g中閉包算子的研究已經(jīng)取得了一些成果［6-7］，而在直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g中還沒有對閉包算子進(jìn)行研究。文獻(xiàn)［5，8-10］研究了直覺Fuzzifying 拓?fù)涞腗oore-Smith 收斂理論、鄰域系、子空間。文獻(xiàn)［11-12］得到了直覺Fuzzifying拓?fù)淇臻g的分離公理及其相關(guān)等價(jià)定理。文獻(xiàn)［13-15］相繼討論了基于L*-格值邏輯上直覺Fuzzifying 的一些性質(zhì)。

本文主要研究直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g的閉包算子及相關(guān)性質(zhì)。首先給出閉集族和閉包的定義以及閉包的相關(guān)性質(zhì)；其次定義了直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g的閉包算子；最后證明了拓?fù)涞闹庇XFuzzifying 閉包算子Icl的等價(jià)關(guān)系。在直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g中，利用Lukasiewicz 蘊(yùn)含算子引入閉包算子，可以完善直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g的研究，并為這一空間連通性的研究奠定基礎(chǔ)。本文所涉及到的未作特別說明的符號與專業(yè)術(shù)語均見文獻(xiàn)［16］。

1 預(yù)備知識

P(X)表示非空集合X上的全體直覺模糊集，其最小元為，最大元為表示直覺模糊集A的補(bǔ)。

本文中使用的關(guān)于賦值格為Lukasiewicz 單位區(qū)間的邏輯的一些記號。

對任意公式φ，符號[φ]表示φ的真值，這時(shí)真值集是[0，1]，一個(gè)公式為重言式。記╞φ當(dāng)且僅當(dāng)[φ]=1。

定義1.1［2］設(shè)X是一個(gè)非空集合，I=(0，1)，I0=(0，1]，I1=[0，1)。為X上的一個(gè)直覺模糊集，映射μA：X→I，γA：X→I滿足?x∈X，0 ≤μA(x) +γA(x) ≤1 成立。μA(x)和γA(x)表示x對于A的隸屬度和非隸屬度。

定義1.2［3］對于任意A，B∈P(X)，

定義1.3［3］設(shè)X是一個(gè)非空集合，P（X）上的直覺模糊集Iτ∈IFS(P(X))，即Iτ：P(X) →L*，滿足：

1）Iτ(X)=Iτ(?)=1L*=(1，0)，

即μIτ(X)=μIτ(?)=1，γIτ(X)=γIτ(?)=0；

2）?A，B∈P(X)，Iτ(A∩B) ≥L*Iτ(A) ∧Iτ(B)，

即μIτ(A∩B) ≥μIτ(A) ∧μIτ(B)，

γIτ(A∩B) ≥γIτ(A) ∨γIτ(B)；

則稱Iτ為直覺Fuzzifying 拓?fù)洌?P(X)，Iτ)為直覺Fuzzifying拓?fù)淇臻g。

定義1.4［4］設(shè)(X，Iτ)是直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g，?x∈X，定義P（X）上的直覺模糊集INx（即INx：P(X) →L*）如下則稱直覺模糊集族為直覺Fuzzifying 拓?fù)銲τ的鄰域系。

定理1.1［4］設(shè)(X，Iτ)是直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g，則Iτ的鄰域系具有以下性質(zhì)：?A，B∈P(X)有

定義1.5［12］設(shè)(X，Iτ)是直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g，A∈P(X)，A的直覺Fuzzifying 閉包A-∈IFS(X)，定義為

2 直覺Fuzzifying拓?fù)淇臻g的閉包度及性質(zhì)

定義2.1直覺Fuzzifying 閉集族IF定義為A∈P(X)，╞A∈IF：=Ac∈Iτ，即IF(A)=Iτ(Ac)。

定義2.2設(shè)(X，Iτ)是直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g，?A，B∈P(X)，映 射IclA：P(X) →L*，A的直覺Fuzzifying閉包IclA∈IFS(X)定義如下：

定理2.1設(shè)(X，Iτ)是直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g，?A，B∈P(X)，其相關(guān)性質(zhì)如下：

3 直覺Fuzzifying拓?fù)淇臻g的閉包算子

定義3.1設(shè)映射IclA：P(X) →L*滿足：

定理3.1設(shè)(X，Iτ)是直覺Fuzzifying 拓?fù)淇臻g，IclIτ：P(X) →L*，如定義2.2，IτIcl：P(X) →L*，，若IclA是拓?fù)涞闹庇XFuzzifying拓?fù)淇臻g的閉包算子，則