姚 斌，楊紅偉，楊玲香

（石河子大學(xué) 理學(xué)院，新疆 石河子 832003）

深度學(xué)習(xí)最早由Marton等人提出，他們將學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)分為淺層學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)。Marton認(rèn)為深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者在理解學(xué)科知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)新學(xué)習(xí)的學(xué)科知識(shí)和思想方法進(jìn)行批判性的學(xué)習(xí)與融合，并將其融入自身已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中，最終能夠運(yùn)用遷移知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題［1］。李沁等基于課堂深度學(xué)習(xí)實(shí)踐困境的剖析，探尋并思考課堂深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐路徑［2］。唐玉溪從深度學(xué)習(xí)理論出發(fā)，系統(tǒng)梳理學(xué)界相關(guān)認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)研究成果，挖掘深度學(xué)習(xí)活動(dòng)背后的認(rèn)知神經(jīng)機(jī)制，以期對(duì)教學(xué)實(shí)踐有一定的啟發(fā)作用［3］。馬如霞等以課堂師生對(duì)話行為作為研究對(duì)象，通過(guò)實(shí)證研究聚焦當(dāng)前課堂深度學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，探究促進(jìn)課堂深度學(xué)習(xí)的策略［4］。

一、線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

線性代數(shù)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課之一。本課程概念、公式、定理較多，且內(nèi)容縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜但規(guī)律性強(qiáng)，解題方法靈活多變，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理性有較高的要求。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍感到課程內(nèi)容過(guò)于抽象，學(xué)習(xí)興趣隨著課程的深入越來(lái)越低，學(xué)后對(duì)很多知識(shí)點(diǎn)的掌握都流于表面，只知其行，不知其意，不懂如何運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題，只會(huì)模仿例題機(jī)械式的解題，課程的獲得感不高。

在以往的線性代數(shù)教學(xué)中，課程重點(diǎn)講授的是概念、定理及計(jì)算，注重的是知識(shí)邏輯的嚴(yán)密性和計(jì)算的準(zhǔn)確率。隨著時(shí)代的發(fā)展，不少高校在課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)軟件Matlab，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算相關(guān)問(wèn)題。但通過(guò)學(xué)生座談及問(wèn)卷調(diào)查等顯示，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)具體是如何抽象出來(lái)的，到底有什么用以及怎么用還是存在諸多困惑。學(xué)生主動(dòng)參與課堂的意愿較低。究其原因，主要是課程教學(xué)中重點(diǎn)關(guān)注的是代數(shù)方法以及計(jì)算過(guò)程的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性，而忽略了課程所體現(xiàn)的幾何觀念和解決問(wèn)題的思維產(chǎn)生過(guò)程。課程考核重點(diǎn)關(guān)注的是學(xué)生的計(jì)算水平，也就是布魯姆目標(biāo)分類理論的淺層次水平。學(xué)生很難自主構(gòu)建所學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生很難學(xué)以致用，難以用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。

二、基于“數(shù)學(xué)+”的深度學(xué)習(xí)培養(yǎng)策略

（一）數(shù)學(xué)+創(chuàng)新思維方法：優(yōu)化課程教學(xué)內(nèi)容，將創(chuàng)新思維方法融入線性代數(shù)課堂教學(xué)

當(dāng)今社會(huì)對(duì)大學(xué)生的創(chuàng)新能力提出了更高的要求?！八男隆苯ㄔO(shè)的“新”不是新舊的新，是創(chuàng)新的新，是整個(gè)發(fā)展思路、標(biāo)準(zhǔn)、路徑、技術(shù)方法和評(píng)價(jià)等系列的新變化［5］。教師應(yīng)結(jié)合時(shí)代需求及課程特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，深入研究課程的哪些知識(shí)點(diǎn)能夠與創(chuàng)新思維方法相融合。在線性代數(shù)課程教學(xué)中，著重將形象思維、逆向思維、發(fā)散思維、類比思維和批判性思維等創(chuàng)新思維方法融入課堂教學(xué)。結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，提煉相應(yīng)的科學(xué)思維方法，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)教學(xué)方式，讓學(xué)生明白思維的產(chǎn)生和運(yùn)用過(guò)程。

第一，在線性代數(shù)教學(xué)中，重視思辨數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合，幾何直觀案例，讓學(xué)生體驗(yàn)形象思維的運(yùn)用和價(jià)值。例如，以往在講解向量的夾角時(shí)，直接給出夾角公式學(xué)生能夠運(yùn)用該公式計(jì)算夾角，卻無(wú)法理解公式的來(lái)源。教學(xué)過(guò)程中，教師可以從幾何直觀入手，建立三維空間直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生直觀感受如何由內(nèi)積推導(dǎo)得出向量夾角公式，進(jìn)一步推廣到任意向量的情形。

第二，通過(guò)不同知識(shí)點(diǎn)之間的對(duì)比和細(xì)分，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深度解讀，發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別和聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維和發(fā)散思維。例如，在講解向量的線性組合時(shí)，可以從同學(xué)們熟悉的三原色原理出發(fā)，人的眼睛對(duì)紅、綠、藍(lán)最為敏感，它像一個(gè)三色接收器的體系，大多數(shù)的顏色可以通過(guò)紅、綠、藍(lán)三色按照不同的比例合成產(chǎn)生。同樣，絕大多數(shù)單色光也可以分解成紅、綠、藍(lán)三種色光，這是色度學(xué)的基本的原理，也稱三原色原理［6］。是否能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這一現(xiàn)象呢？將顏色類比成向量，則三原色原理可以表示為：

其中，x1,x2,x3分別表示紅綠藍(lán)三種顏色，xi代表任意一種顏色，123,,lll表示比例。

即任意一種顏色可以表示成紅綠藍(lán)三種顏色的比例組合。這一問(wèn)題是否可以推廣呢？進(jìn)一步通過(guò)類比引出向量的線性組合的概念。

定義：給定向量β和向量組α1,α2,… ,αn，如果存在一組數(shù)k1,k2, …,kn使得

則稱向量β為向量組α1,α2, …,αn的一個(gè)線性組合，或者說(shuō)β可由向量組α1,α2, …,αn線性表示，k1,k2, …,kn稱為組合系數(shù)［6］。

第三，在習(xí)題課的教學(xué)中，精心設(shè)計(jì)相關(guān)習(xí)題，嘗試從一題多解、逆向思考、題目變式訓(xùn)練等多個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、批判性思維和發(fā)散思維。具體要注重題目選擇的層次性，逐步遞進(jìn)，通過(guò)類似思維訓(xùn)練，有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，開闊學(xué)生思路。

（二）數(shù)學(xué)+實(shí)際問(wèn)題解決：基于實(shí)際問(wèn)題解決的線性代數(shù)深度學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)

當(dāng)前，混合式教學(xué)打破了時(shí)空界限，拓展了教學(xué)空間，成了廣受歡迎的一種教學(xué)形式。在教學(xué)過(guò)程中，依托前期建設(shè)的線性代數(shù)課程混合式教學(xué)資源，構(gòu)建了課程混合式教學(xué)環(huán)境，滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的需要。同時(shí)，在上述思維教學(xué)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化了內(nèi)容。結(jié)合“傳遞—接受”和“自主—探究”兩種模式之所長(zhǎng)，聚焦線性代數(shù)在新一代信息技術(shù)、智能制造、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)置具有開放性、發(fā)散性和探究性等特征的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生組建學(xué)習(xí)小組，從不同角度思考和探究運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，從而讓學(xué)習(xí)活動(dòng)實(shí)踐化，為調(diào)動(dòng)已有知識(shí)與創(chuàng)造新的知識(shí)提供可能與基礎(chǔ)［7］。

具體實(shí)施過(guò)程如下：以“矩陣的初等變換”為例

教師引導(dǎo)：學(xué)生課前完成在線預(yù)習(xí)任務(wù)，教師在課堂上進(jìn)一步講解初等變換的理論知識(shí)，主要結(jié)論。幫助學(xué)生掌握核心學(xué)科知識(shí)，進(jìn)行相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備，為開展深度學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

深度學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)：教師布置線上學(xué)習(xí)任務(wù)——“小組合照?qǐng)D像旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)機(jī)理探究”。具體包含如下內(nèi)容：一是正向問(wèn)題。以小組合照?qǐng)D像為例，如何利用初等變換實(shí)現(xiàn)該圖像任意角度的旋轉(zhuǎn)？二是反向發(fā)散問(wèn)題。已知一幅旋轉(zhuǎn)后的圖像，能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)推斷原圖像，并給出旋轉(zhuǎn)角度。三是拓展問(wèn)題。請(qǐng)?jiān)诖嘶A(chǔ)上提出一個(gè)新問(wèn)題，并思考解決方案。

小組任務(wù)解決：小組成員依據(jù)任務(wù)查找相關(guān)資料進(jìn)行個(gè)體的知識(shí)建構(gòu)并共享觀點(diǎn)及相關(guān)支撐材料，通過(guò)溝通，質(zhì)疑和協(xié)商后達(dá)成共識(shí)，最終完成相關(guān)任務(wù)。通過(guò)該任務(wù)幫助學(xué)生真正理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)用形象思維、逆向思維和發(fā)散思維等解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生也將在共同的協(xié)作中鍛煉復(fù)雜問(wèn)題解決能力，溝通能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

匯報(bào)交流：各小組通過(guò)匯報(bào)交流學(xué)習(xí)成果，其他小組提出相關(guān)問(wèn)題或質(zhì)疑。教師提出疑問(wèn)，引發(fā)學(xué)生思考和交流，培養(yǎng)批判性思維，提升自學(xué)能力。

上述任務(wù)貼近學(xué)生實(shí)際生活。難度稍高于學(xué)生的實(shí)際知識(shí)掌握水平。學(xué)生可在教師的指導(dǎo)和幫助下以及與小組的協(xié)作中解決。目前，智能手機(jī)都裝有圖像處理APP，學(xué)生大都能夠熟練使用這類APP處理各種照片，但很少去探究這些操作都是怎么實(shí)現(xiàn)的？這就是所謂的“黑盒子”理論，使用者的門檻很低，研發(fā)的門檻越來(lái)越高。這背后蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)過(guò)程。

三、教學(xué)實(shí)踐與分析

本研究以S大學(xué)連續(xù)兩屆線性代數(shù)教學(xué)班學(xué)生為研究對(duì)象，進(jìn)行了兩輪的教學(xué)研究實(shí)踐，具體實(shí)施情況如下。

（一）第一輪教學(xué)實(shí)踐

2021年，第一輪主要包括課前自學(xué)，課中講解匯報(bào)，課后討論測(cè)試等。教師課前通過(guò)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)發(fā)布自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，學(xué)生通過(guò)閱讀自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，明確課前學(xué)習(xí)任務(wù)，包括預(yù)習(xí)視頻、書本知識(shí)點(diǎn)、在線討論題及課前閱讀材料等。由于數(shù)學(xué)課程難度較大，完全由學(xué)生課前自學(xué)，大部分學(xué)生會(huì)比較吃力。所以課前預(yù)習(xí)主要涉及課程中相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)的概念及基本計(jì)算。課中教師會(huì)針對(duì)重要內(nèi)容進(jìn)行講解、思維訓(xùn)練及實(shí)際問(wèn)題解決案例分析。課后主要是完成作業(yè)、小組合作任務(wù)、討論及測(cè)試等。

在第一輪的教學(xué)實(shí)踐中，教師共發(fā)布在線討論題63道，討論題的設(shè)計(jì)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生思維層次的訓(xùn)練，以期讓學(xué)生在課后更深層次理解教師所講授的內(nèi)容。為了達(dá)到以測(cè)代練的目的，課后測(cè)試允許學(xué)生重復(fù)3次。小組合作任務(wù)共5道。

第一輪教學(xué)實(shí)踐完成后，教師通過(guò)面對(duì)面訪談和調(diào)查問(wèn)卷等方式，了解學(xué)生學(xué)習(xí)感受。學(xué)生普遍反映可以接受教師采取的教學(xué)方式，但也提出了一些問(wèn)題。一是自主學(xué)習(xí)任務(wù)較多，部分學(xué)生自主學(xué)習(xí)預(yù)習(xí)視頻的積極性不高。二是在線討論題過(guò)多，雖然教師只要求同學(xué)自主選擇自己感興趣的參加討論即可，但不少學(xué)生為了獲得高分，基本所有討論題都參與，導(dǎo)致討論題灌水現(xiàn)象嚴(yán)重。三是在線測(cè)試反饋不及時(shí)。每章學(xué)習(xí)完后才開始在線測(cè)試，學(xué)生又要學(xué)習(xí)新一章的內(nèi)容，基本無(wú)暇顧及上一章的知識(shí)點(diǎn)鞏固。四是小組任務(wù)設(shè)計(jì)題目偏難，部分學(xué)生查閱資料也無(wú)法有效完成。

（二）第二輪教學(xué)實(shí)踐

針對(duì)上述問(wèn)題，教師之間進(jìn)行了交流討論，對(duì)混合式教學(xué)策略進(jìn)行了一定調(diào)整。一是根據(jù)學(xué)生反饋，對(duì)自主學(xué)習(xí)任務(wù)單中相對(duì)較難的知識(shí)點(diǎn)調(diào)整為課內(nèi)教學(xué)。二是對(duì)在線討論題進(jìn)行了適度刪減，每章在線討論題不超過(guò)5道。三是課中教學(xué)使用雨課堂進(jìn)行，每節(jié)課中發(fā)布1—2道測(cè)試題，便于教師及時(shí)了解學(xué)生掌握情況，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度。四是小組合作任務(wù)題目減少到3道，并根據(jù)學(xué)生學(xué)情調(diào)整了部分任務(wù)難度，增加了部分任務(wù)解決思路的提示。

教師根據(jù)上述調(diào)整進(jìn)行了第二輪教學(xué)實(shí)踐。教學(xué)實(shí)踐完成后教師再次對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談和問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生對(duì)教師采取的教學(xué)策略滿意度明顯提升。同時(shí)，在實(shí)際問(wèn)題解決部分，學(xué)生普遍感覺還是偏難。由于本課程面向大一學(xué)生，學(xué)生專業(yè)知識(shí)儲(chǔ)備較少，所以實(shí)際問(wèn)題解決對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)較大。后期教師將在這部分的講解和反饋上加大力度。

四、建議

第一，教師要深入學(xué)習(xí)創(chuàng)新思維的內(nèi)涵，精心設(shè)計(jì)思維訓(xùn)練方式，拓展內(nèi)容的深度和廣度。注重發(fā)掘創(chuàng)新思維與數(shù)學(xué)理論之間的關(guān)聯(lián)，如新概念能不能直接從舊概念或者實(shí)際生活中的某些“通識(shí)性原理”引入；抽象的代數(shù)概念能不能從幾何的角度直觀引入；新概念引入后能不能更加“簡(jiǎn)潔方便”地得到某些已有的數(shù)學(xué)理論；一題多解的各種解法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)；同一種方法解不同類型問(wèn)題的原理和過(guò)程是否相同等方面入手，不斷拓展相關(guān)案例?？梢試L試布置習(xí)題變式等作業(yè)，讓學(xué)生自主探究相關(guān)題目的演變、拓展及延伸，以期達(dá)到思維能力的躍升。

第二，在具體實(shí)施時(shí)，要注重課程教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)改革的成敗一定程度上依賴于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)材料的選擇要時(shí)刻關(guān)注學(xué)科的最新發(fā)展態(tài)勢(shì)，動(dòng)態(tài)更新相關(guān)教學(xué)內(nèi)容。同時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)要緊跟時(shí)代步伐，融入現(xiàn)代教育教學(xué)理論與工具，不僅注重教師的教，還要研究學(xué)生的學(xué)，關(guān)注學(xué)生易于接受的教學(xué)方式及學(xué)習(xí)方式，通過(guò)有效的教學(xué)導(dǎo)引讓學(xué)生深度參與教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。

第三，深度學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)要能夠匹配學(xué)生的實(shí)際水平。不同高校的學(xué)情不同，教師在設(shè)計(jì)相關(guān)任務(wù)時(shí)，首先要考慮任務(wù)與學(xué)生實(shí)際情況的契合度，解決任務(wù)需要的數(shù)學(xué)原理和背景知識(shí)是否匹配課程的內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平；其次要考慮任務(wù)的可達(dá)性，任務(wù)是否難度適宜。小組合作任務(wù)的設(shè)計(jì)問(wèn)題不能太大，要略高于學(xué)生現(xiàn)有的能力，但不能遙不可及。這就要求教師要對(duì)任務(wù)進(jìn)行拆解，使其變成學(xué)生跳一跳就能夠做的事情；同時(shí)還要考慮任務(wù)的實(shí)用性，任務(wù)是否來(lái)源于實(shí)際生活或其他學(xué)科中的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能夠在任務(wù)解決中自主實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在線性代數(shù)教學(xué)中開展深度學(xué)習(xí)改革研究，拓展了教學(xué)時(shí)空，對(duì)學(xué)生關(guān)于課程知識(shí)的理解和計(jì)算有著一定促進(jìn)作用。各類教學(xué)環(huán)節(jié)涉及內(nèi)容廣泛，有效地拓展了學(xué)生的發(fā)散思維、逆向思維和批判性思維等，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)得到明顯增強(qiáng)，且學(xué)生對(duì)課程的獲得感也有所增強(qiáng)。在后續(xù)教學(xué)中，教師仍需不斷探索，優(yōu)化教學(xué)策略。