徐江海，鄒冬林，張 景，塔 娜，饒柱石

（上海交通大學(xué)振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

0 引 言

非對(duì)稱載荷作用下的雙輸入-單輸出斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，以其功率密度大、結(jié)構(gòu)緊湊、動(dòng)力參數(shù)配比靈活等優(yōu)點(diǎn)，成為大型艦船重要的動(dòng)力推進(jìn)裝置中的重要結(jié)構(gòu)。然而，受制于結(jié)構(gòu)的特殊性，隨著動(dòng)力的提升，低載荷端的齒輪出現(xiàn)由隨動(dòng)耗功向主動(dòng)做功的轉(zhuǎn)變，意味著與之相連的齒輪副存在由背嚙向正嚙的狀態(tài)切換，輪齒碰撞、振動(dòng)、噪音等非線性失穩(wěn)現(xiàn)象隨之出現(xiàn)，進(jìn)而影響推進(jìn)系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。因此，考慮影響系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性的多種非線性因素，建立典型的雙輸入-單輸出斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究非對(duì)稱動(dòng)力參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性影響規(guī)律，是科學(xué)解釋失穩(wěn)機(jī)理、抑制失穩(wěn)現(xiàn)象發(fā)生的關(guān)鍵。

針對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模，已經(jīng)產(chǎn)生了很多研究成果。根據(jù)系統(tǒng)自由度數(shù)不同，先后出現(xiàn)了純扭轉(zhuǎn)模型、彎-扭耦合模型、彎-扭-擺耦合模型和彎-扭-擺-軸耦合模型等。上世紀(jì)80 年代，Iida 等[1]通過建立齒輪系統(tǒng)彎-扭耦合模型，研究了齒輪嚙合的動(dòng)力學(xué)特性；Kahraman[2]綜合考慮了齒輪-轉(zhuǎn)子在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)兩個(gè)正交方向的平移及擺動(dòng)特性，建立了齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎-扭-擺耦合振動(dòng)模型；隨著對(duì)耦合系統(tǒng)研究的深入，Eritenel 等[3]分別建立了齒輪彎-扭-軸-擺耦合模型，并開展動(dòng)力學(xué)特性的有限元分析與試驗(yàn)方法研究。輪齒嚙合本身所產(chǎn)生的內(nèi)部激勵(lì)和系統(tǒng)其它因素對(duì)輪齒嚙合產(chǎn)生作用的外部激勵(lì)，是影響系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素。Feng 等[4-6]通過切片法推導(dǎo)了斜齒輪時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算方法，并將計(jì)算結(jié)果與有限元法進(jìn)行了比較；Guilbault等[7-8]研究了單自由度直齒圓柱齒輪非線性嚙合阻尼，并提供了經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算方法；劉占生等[9]進(jìn)一步考慮彈性轉(zhuǎn)軸和不平衡質(zhì)量的影響，建立了齒輪、轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并開展了實(shí)驗(yàn)研究；Ristivojevi?等[10]提出了基于最小彈性勢(shì)能的載荷沿接觸線不均勻分布的模型，得出沿作用線的時(shí)變載荷分布系數(shù)的計(jì)算公式；Gao[11]建立了考慮油膜支承剛度的雙直齒輪并聯(lián)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并研究了兩個(gè)驅(qū)動(dòng)齒輪嚙合剛度的相位差對(duì)于振動(dòng)的影響規(guī)律。在齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性隨內(nèi)部參數(shù)的演化規(guī)律方面，也有很多深入的研究成果。楊紹普等[12]利用增量諧波平衡法研究了直齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)，得出了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻特性的影響規(guī)律；崔亞輝等[13]通過分析內(nèi)外激勵(lì)下齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔特性，研究了支承剛度、齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速附近振動(dòng)特性的影響規(guī)律；李以農(nóng)等[14]考慮齒輪嚙合力、花鍵聯(lián)軸器嚙合力和軸承非線性接觸力，研究了嚙合頻率、滾子數(shù)目和軸承游隙等參數(shù)對(duì)齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

雖然雙輸入-單輸出并聯(lián)斜齒輪結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于大型艦船的動(dòng)力推進(jìn)系統(tǒng)，但對(duì)它的動(dòng)力學(xué)特性的研究并不多見，在非對(duì)稱動(dòng)力參數(shù)下的失穩(wěn)機(jī)理仍不明確。本文在考慮斜齒輪時(shí)變嚙合剛度、嚙合剛度相位差、非線性齒側(cè)間隙、嚙合阻尼、綜合嚙合誤差等參數(shù)的基礎(chǔ)上，建立雙輸入-單輸出斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究系統(tǒng)的振動(dòng)特性隨非對(duì)稱動(dòng)力參數(shù)的演化規(guī)律，闡明系統(tǒng)運(yùn)行失穩(wěn)機(jī)理。

1 雙輸入-單輸出斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

不考慮運(yùn)動(dòng)中轉(zhuǎn)軸和軸承的影響，剛性支承的雙輸入-單輸出斜齒輪系統(tǒng)物理模型和簡(jiǎn)化的扭振模型如圖1所示。系統(tǒng)包含兩個(gè)動(dòng)力輸入齒輪（p，q）、一個(gè)動(dòng)力輸出齒輪（g）和一個(gè)慣性飛輪，其中轉(zhuǎn)軸1 為高載荷輸入軸，轉(zhuǎn)軸3 為低載荷輸入軸，各齒輪通過其基圓半徑（rbp，rbg和rbq）進(jìn)行描述。系統(tǒng)中，Tp、Tg和Tq為作用于各齒輪上的力矩，θp、θg和θq為各齒輪的動(dòng)態(tài)角位移，Jp和Jq為兩個(gè)驅(qū)動(dòng)齒輪上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jf是輸出軸上大齒輪和飛輪的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，er(t（)r=1，2）是兩對(duì)齒輪副沿嚙合線的時(shí)變綜合傳遞誤差，cm（rr=1，2）為兩對(duì)齒輪副的平均嚙合阻尼，kr(t（)r=1，2）為兩對(duì)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度，D（rr=1，2）是兩對(duì)齒輪副各自齒側(cè)間隙的一半，βb為基圓螺旋角。

圖1 雙輸入-單輸出斜齒輪系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of DI-SO helical gear system

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，建立雙輸入-單輸出斜齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程：

2 系統(tǒng)參數(shù)的數(shù)學(xué)描述

2.1 時(shí)變嚙合剛度

由于螺旋角的存在，斜齒輪嚙合剛度不僅隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角位移的變化而變化，同一時(shí)刻同一嚙合線不同位置的嚙合剛度也不相同。利用切片法和積分思想，可將斜齒輪沿軸向劃分為一系列足夠小的等厚度切片，每個(gè)切片等效為直齒輪，如圖2 所示。通過計(jì)算每個(gè)直齒輪切片的嚙合剛度，進(jìn)而積分即可得到斜齒輪單齒時(shí)變嚙合剛度[15]。

圖2 斜齒輪懸臂梁模型Fig.2 Cantilever beam model of the helical gear tooth

直齒輪的時(shí)變嚙合剛度由五個(gè)部分組成：彎曲剛度（kb）、剪切剛度（ks）、軸向壓縮剛度（ka）、基體剛度（kf）和赫茲接觸剛度（kh），各部分剛度的表達(dá)式為

式中，N為切片沿齒寬方向的數(shù)量。將各個(gè)剛度成分按照并聯(lián)方式處理，即可得到相互嚙合的單齒嚙合剛度為

單個(gè)輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的完整周期T內(nèi)的嚙合剛度變化過程如圖3所示。

圖3 單齒嚙合剛度Fig.3 Meshing stiffness of one gear pair

對(duì)于總重合介于2、3之間的斜齒輪系統(tǒng)，在嚙合過程中會(huì)出現(xiàn)雙齒-三齒交替接觸的情況。齒輪系統(tǒng)的綜合嚙合剛度是同時(shí)嚙合的各個(gè)齒對(duì)共同作用的效果，其變化過程如圖4所示。

圖4 綜合嚙合剛度Fig.4 Comprehensive meshing stiffness

將綜合時(shí)變嚙合剛度k(t)近似轉(zhuǎn)化成三次諧波的形式：

式中，km是平均嚙合剛度，kj1和kj2為諧波系數(shù)，ωe為嚙合頻率。

2.2 嚙合剛度相位差

圖5 齒輪布局結(jié)構(gòu)Fig.5 Layout structure of the system

當(dāng)∠ACB=120°，齒輪參數(shù)如表1 所示時(shí)，左右兩側(cè)嚙合剛度可通過式（10）-（11）得到，剛度曲線如圖6所示。

圖6 左-右齒輪副時(shí)變嚙合剛度Fig.6 Meshing stiffness of the left-right gear pairs

表1 斜齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of the helical gear pair

2.3 時(shí)變齒側(cè)間隙

一般而言，斜齒輪系統(tǒng)的重合度大于2，其嚙合過程的連續(xù)漸進(jìn)漸退性使得齒輪嚙入與嚙出的過程比直齒輪系統(tǒng)更加平穩(wěn)，而采用分段間隙函數(shù)g(x)，其分析結(jié)果與工程實(shí)際偏差較大，因此有必要對(duì)間隙函數(shù)g(x)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。表2給出了不同階數(shù)下多項(xiàng)式擬合對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

表2 不同階數(shù)的多項(xiàng)式擬合系數(shù)Tab.2 Coefficients of polynomials with different orders

圖7為初始分段線性函數(shù)g(x)及其各階多項(xiàng)式擬合曲線?？梢姡S著擬合階數(shù)的增大，偏差量逐漸減小。

圖7 各階擬合曲線Fig.7 Original piecewise curve and the fitting curves

綜合考慮到計(jì)算效率和計(jì)算精度，采用7階多項(xiàng)式來表示齒側(cè)間隙函數(shù)g(x)：

3 數(shù)值分析

式（3）綜合考慮了時(shí)變嚙合剛度、剛度相位差、時(shí)變齒側(cè)間隙、綜合傳遞誤差、嚙合阻尼和多種嚙合狀態(tài)，是具有強(qiáng)非線性的動(dòng)力學(xué)方程，因此通過解析方法難以求得其動(dòng)力學(xué)特性的演化規(guī)律。通過變步長(zhǎng)四階-五階Runge-Kutta 數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，舍棄前2000個(gè)時(shí)間序列的計(jì)算結(jié)果以排除瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

齒輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示，動(dòng)力輸出齒輪與飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足Jg2/Jg1=10，阻尼比ξ=0.03，ωˉ=0.5，非對(duì)稱并聯(lián)輸入的載荷比λ=|f2/f1|。

3.1 輕載工況f1=0.1

圖8 為p、g 齒對(duì)和q、g 齒對(duì)無量綱的振動(dòng)位移u和v隨載荷比λ變化的分岔圖。對(duì)于p、g 齒對(duì)，隨著載荷比的增大，系統(tǒng)由擬周期運(yùn)動(dòng)（λ=0→0.57）進(jìn)入穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（λ=0.57→1）。與之類似，對(duì)于q、g 齒對(duì)，隨著載荷比的增大，系統(tǒng)依次經(jīng)歷混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖8 齒輪系統(tǒng)關(guān)于載荷比λ的分岔圖（f1=0.1）Fig.8 Bifurcation diagrams of the gear system with the variation of parameter λ（f1=0.1）

圖9～10 為系統(tǒng)在不同載荷比λ時(shí)，無量綱振動(dòng)位移u的時(shí)頻曲線、相圖和Poin?caré 截面圖。當(dāng)λ為0.1 時(shí)，參數(shù)u在區(qū)間（0.7，1.3）內(nèi)呈現(xiàn)擬單周期振動(dòng)，表明p、g 齒對(duì)在正齒嚙合和脫嚙狀態(tài)之間來回切換，其FFT 圖包含明顯的峰值頻率0.5（基頻）和小幅值振動(dòng)頻率1.0（二倍頻）。當(dāng)λ為0.8時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，p、g齒對(duì)同樣在正齒嚙合和脫嚙狀態(tài)之間切換。圖11-12 為系統(tǒng)在不同載荷比λ時(shí)，無量綱振動(dòng)位移v的動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)λ為0.1 時(shí)，參數(shù)v在區(qū)間（-1.5，1.5）內(nèi)振蕩，表明q、g齒對(duì)在運(yùn)動(dòng)過程中存在正齒嚙合、脫嚙和背齒嚙合三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，輪齒正面沖擊和背面沖擊交替出現(xiàn)。FFT圖呈現(xiàn)具有一定寬度的離散譜。同時(shí)，其相空間軌線和Poincaré截面均表明系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)λ為0.8時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，q、g齒對(duì)在正齒嚙合和脫嚙狀態(tài)之間切換，其FFT圖包含明顯的峰值頻率0.5（基頻）和小幅值振動(dòng)頻率1.0（二倍頻）。

圖9 λ=0.1，f1=0.1時(shí)，p、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.9 Vibration characteristics of p-g gear pair(λ=0.1,f1=0.1)

圖10 λ=0.8，f1=0.1時(shí)，p、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.10 Vibration characteristics of p-g gear pair(λ=0.8,f1=0.1)

圖11 λ=0.1，f1=0.1時(shí)，q、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.11 Vibration characteristics of q-g gear pair(λ=0.1,f1=0.1)

圖12 λ=0.8，f1=0.1時(shí)，q、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.12 Vibration characteristics of q-g gear pair(λ=0.8,f1=0.1)

3.2 重載工況f1=0.5

圖13為p、g齒對(duì)和q、g齒對(duì)無量綱的振動(dòng)位移u和v隨載荷比λ變化的分岔圖。對(duì)于p、g齒對(duì)，隨著載荷比的增大，系統(tǒng)依次經(jīng)歷擬周期運(yùn)動(dòng)（λ=0→0.13）和穩(wěn)定的三周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（λ=0.13→1）。而對(duì)于q、g齒對(duì)，隨著載荷比的增大，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和三周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相對(duì)于輕載工況，重載時(shí)系統(tǒng)的非線性區(qū)間（混沌狀態(tài)和擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）較窄，表明在調(diào)整系統(tǒng)并聯(lián)輸入載荷比時(shí)，重載系統(tǒng)更容易避開失穩(wěn)區(qū)間，進(jìn)入穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖13 齒輪系統(tǒng)關(guān)于載荷比λ的分岔圖（f1=0.5）Fig.13 Bifurcation diagrams of the gear system with the variation of parameter λ(f1=0.5)

圖14～15 為系統(tǒng)在不同載荷比λ時(shí)，無量綱振動(dòng)位移u的動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)λ為0.1 時(shí)，參數(shù)u在區(qū)間（1.4，1.6）內(nèi)振蕩，表明p、g 齒對(duì)始終處于正齒嚙合狀態(tài)，其FFT 圖包含明顯的峰值頻率0.5（基頻）、1.0（二倍頻）和1.5（三倍頻），系統(tǒng)相圖呈現(xiàn)多圈纏繞的封閉曲線，Poincaré截面上的點(diǎn)主要集中在三個(gè)點(diǎn)附近，此時(shí)系統(tǒng)近似對(duì)應(yīng)三周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)λ為0.8 時(shí)，參數(shù)u在區(qū)間（1.4，1.6）內(nèi)呈現(xiàn)周期性振動(dòng)，其相圖和Poincaré截面表明系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的三周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖16-17 為系統(tǒng)在不同載荷比λ時(shí)，無量綱振動(dòng)位移v的動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)λ為0.1 時(shí)，參數(shù)v的動(dòng)力學(xué)行為與輕載工況類似，具體表現(xiàn)為在區(qū)間（-1.5，1.5）內(nèi)振蕩，即q、g 齒對(duì)在運(yùn)動(dòng)過程中存在正齒嚙合、脫嚙和背齒嚙合三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，輪齒正面沖擊和背面沖擊交替出現(xiàn)。FFT 圖呈現(xiàn)具有一定寬度的離散譜。同時(shí)，其相空間軌線和Poincaré 截面均表明系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)λ為0.8 時(shí)，參數(shù)v在區(qū)間（-1.6，-1.3）內(nèi)周期性振動(dòng)，表明q、g 齒對(duì)始終處于背齒嚙合狀態(tài)。嚙合位移的頻域信號(hào)同時(shí)出現(xiàn)峰值頻率0.5（基頻）、1.0（二倍頻）和1.5（三倍頻），且幅值逐步減小，其相圖和Poincaré截面表明系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的三周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖14 λ=0.1，f1=0.5時(shí)，p、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.14 Vibration characteristics of p-g gear pair(λ=0.1,f1=0.5)

圖15 λ=0.8，f1=0.5時(shí)，p、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.15 Vibration characteristics of p-g gear pair(λ=0.8,f1=0.5)

圖16 λ=0.1，f1=0.5時(shí)，q、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.16 Vibration characteristics of q-g gear pair(λ=0.1,f1=0.5)

圖17 λ=0.8，f1=0.5時(shí)，q、g齒對(duì)振動(dòng)特性圖Fig.17 Vibration characteristics of q-g gear pair(λ=0.8,f1=0.5)

3.3 載荷值與載荷比的交叉影響

圖18展示了無量綱振動(dòng)位移u的最大值Max(u)和振動(dòng)位移v的最小值Min(v)隨載荷比λ和載荷值f1的變化趨勢(shì)，表明：

圖18 無量綱振動(dòng)位移u和v的最值隨載荷比λ的變化規(guī)律曲線Fig.18 Diagram of Max(u)and Min(v)changing with load ratio λ

（1）載荷比的變化對(duì)于高載荷輸入端的p、g齒對(duì)的影響較??；而對(duì)于低載荷輸入端的q、g齒對(duì)，隨著載荷比λ的提高，Min(v)會(huì)存在一次穩(wěn)定性突變，與前述分析對(duì)應(yīng)，說明系統(tǒng)在該失穩(wěn)臨界點(diǎn)存在混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與周期性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的跳變。

（2）隨著載荷f1的增大，高載荷輸入端的Max(u)隨之增大；而對(duì)于低載荷輸入端，隨著載荷f1的提高，失穩(wěn)臨界點(diǎn)向載荷比λ減小的方向發(fā)展。

當(dāng)載荷比λ＜0.13 時(shí)，所有載荷f1工況下系統(tǒng)均處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)隨著載荷f1的提高，| Min(v)|逐漸增大；當(dāng)0.13＜λ＜0.57 時(shí)，| Min(v)|的變化趨勢(shì)與不同載荷f1通過失穩(wěn)臨界點(diǎn)的時(shí)機(jī)有關(guān)；當(dāng)載荷比λ＞0.57 時(shí)，所有載荷f1工況下系統(tǒng)均處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)隨著載荷f1的提高，|Min(v)|同樣逐漸增大。

4 結(jié) 論

雙輸入-單輸出斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是船舶動(dòng)力推進(jìn)裝置的重要組成部分。本文基于齒輪系統(tǒng)內(nèi)部非線性參數(shù)的數(shù)學(xué)描述，考慮了時(shí)變嚙合剛度、并聯(lián)輸入兩端的剛度激勵(lì)相位差、時(shí)變齒側(cè)間隙、嚙合阻尼和綜合傳遞誤差，建立了雙輸入-單輸出斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過系統(tǒng)分岔圖、時(shí)域和頻域曲線、相圖、Poincaré截面等研究了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為隨非對(duì)稱動(dòng)力參數(shù)的演化規(guī)律，結(jié)果表明：

（1）隨著高低并聯(lián)輸入兩端載荷比的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到提高，其增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的效果對(duì)于低載荷輸入端的齒輪副尤其明顯；

（2）隨著載荷值的提高，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的載荷比區(qū)間逐漸變寬，意味著重載系統(tǒng)的載荷比調(diào)整范圍更加寬泛；

（3）隨著載荷值的提高，雖然系統(tǒng)穩(wěn)定性得到提升，但在失穩(wěn)區(qū)間內(nèi)，兩對(duì)齒輪副的相對(duì)振動(dòng)位移幅值均隨之增大，失穩(wěn)振動(dòng)現(xiàn)象更加劇烈。