肖業(yè)方，郭蘊(yùn)華，高海波，胡 義

（武漢理工大學(xué)a.高性能艦船技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.能源與動力工程學(xué)院，武漢 430063）

0 引 言

隨著世界上油井和海工平臺迎來新的報(bào)廢高峰期，半潛式起重平臺作為一種重要的海洋拆卸平臺得到了快速發(fā)展[1]。半潛式起重平臺的作業(yè)要求特殊，起吊過程中會產(chǎn)生巨大的傾覆力矩。為保持平臺穩(wěn)性，平臺排水量會急劇增加數(shù)千噸，此時(shí)需要采用空氣排載系統(tǒng)。空氣排載系統(tǒng)利用高壓空氣將艙室內(nèi)的液體吹除，其排載速度可達(dá)常規(guī)離心泵的數(shù)十倍[2-5]。同時(shí)，正因?yàn)榭諝馀泡d系統(tǒng)的排載速度較快，其立柱快速壓載艙液位估計(jì)的可靠性和穩(wěn)定性對于半潛式起重平臺的安全作業(yè)就極為重要。為此，可在立柱快速壓載艙中配置多個(gè)液位傳感器，并通過濾波算法和信息融合技術(shù)提高液位估計(jì)的可靠性和穩(wěn)定性。

已經(jīng)有學(xué)者對濾波算法進(jìn)行了深入研究，先后提出了卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）、拓展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filtering，EKF）[6]、無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）[7]、容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filters，CKF）[8]等方法。近年來，信息融合技術(shù)因?yàn)榫哂锌蓴U(kuò)展性、低通信量、對節(jié)點(diǎn)故障魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)受到了越來越多的關(guān)注。Olfati-Saber等[9-11]針對離散線性高斯系統(tǒng)，利用平均一致性方法提出了分布式卡爾曼濾波（Distributed Kalman Filter，DKF）；Li等[12]基于一致性理論采用統(tǒng)計(jì)線性誤差傳播的方法，通過引入偽觀測矩陣提出了分布式UKF算法；丁家琳等[13]利用信息濾波和平均一致性理論提出一種分布式CKF 算法。近年來不少學(xué)者將這些技術(shù)用于液位測量系統(tǒng)中，丁雨淋等[14]以實(shí)時(shí)水位觀測為對象，通過水文變化語義知識約束，實(shí)現(xiàn)了卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，提高了水位測量的精度；劉經(jīng)宇等[15]以鍋爐的汽包水位測量為對象，將KF 算法用于單通道的汽包水位濾波，再將各通道濾波后的值進(jìn)行求平均值方法融合，得到了更準(zhǔn)確的汽包水位；劉慶華等[16]以船舶高精度液位測量為對象，將EKF 算法用于船舶液位測量中，并將多傳感器濾波后的值進(jìn)行加權(quán)融合，得到了更可靠的液位值。

美國“智能維護(hù)系統(tǒng)中心”研究表明：自動化系統(tǒng)40%以上的故障報(bào)警是由于傳感器系統(tǒng)自身的故障而產(chǎn)生的誤報(bào)[17]。傳感器的自身故障會導(dǎo)致觀測野值，進(jìn)一步導(dǎo)致濾波估計(jì)的性能嚴(yán)重退化，并由錯(cuò)誤的估計(jì)觸發(fā)錯(cuò)誤的報(bào)警，嚴(yán)重干擾系統(tǒng)的運(yùn)行和人員的判斷。為此，Huber 等[18]提出了廣義極大似然估計(jì)（M 估計(jì)），降低了觀測野值的權(quán)重。Tseng 等[19]將基于Huber 估計(jì)的CKF 濾波算法應(yīng)用于GPS 導(dǎo)航系統(tǒng)。彭美康等[20]在CKF 算法中引入了基于平方根逼近函數(shù)的修正因子以抑制野值的影響。這些魯棒估計(jì)方法對于含有較少野值的情形較為有效，一旦某一傳感器因?yàn)闄C(jī)械故障或者接觸不良處于半失效狀態(tài)，會導(dǎo)致觀測中存在高比例的野值。此時(shí)，已有融合算法的估計(jì)性能會嚴(yán)重退化，甚至出現(xiàn)融合估計(jì)反而不如單傳感器估計(jì)的情況。并且，液位估計(jì)方程不存在線性統(tǒng)計(jì)誤差傳播問題，現(xiàn)有的非線性分布式融合算法不適用于液位估計(jì)系統(tǒng)。針對以上問題，本文提出了一種多傳感器魯棒容積卡爾曼融合算法（MSRCKF），并將其應(yīng)用于半潛式起重平臺立柱快速壓載艙的液位估計(jì)中。在單一傳感器半失效的情況下，即使含大量野值，系統(tǒng)通過MSRCKF算法仍可以得到穩(wěn)定可靠的液位估計(jì)。

1 空氣排載數(shù)學(xué)模型

1.1 狀態(tài)方程

半潛起重平臺立柱快速壓載艙壓縮空氣排水過程分為兩個(gè)步驟，第一步是艙內(nèi)建壓，此時(shí)海底閥的閥門外處壓力大于內(nèi)處壓力而處于關(guān)閉狀態(tài)，艙內(nèi)開始充入高壓氣體；當(dāng)海底閥的閥門內(nèi)外處壓力相等時(shí)進(jìn)入第二步，此時(shí)海底閥打開，艙內(nèi)持續(xù)充入高壓氣體，艙內(nèi)液體在高壓的作用下從海底閥排出。基于理想氣體狀態(tài)方程與伯努利方程對其進(jìn)行分析，以艙室狀態(tài)的真實(shí)變化建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

式中，xk為k時(shí)刻下系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f(xk-1)為k-1時(shí)刻的真實(shí)值對k時(shí)刻的預(yù)測，wk-1為k-1時(shí)刻系統(tǒng)的過程噪聲，Γ為過程噪聲分布矩陣。

xk是由艙內(nèi)水質(zhì)量（單位：t）、艙內(nèi)空氣體積（單位：m3）、艙內(nèi)空氣進(jìn)入質(zhì)量（單位：kg）、艙內(nèi)氣壓（單位：Pa）、艙內(nèi)外氣壓差所對應(yīng)的水柱高度（單位：m）、艙內(nèi)液位（單位：m）、海底閥閥門處水流速（單位：m?s-1）和海底閥閥門處水體積流量（單位：m3?s-1）構(gòu)成的8維狀態(tài)向量，即系統(tǒng)的狀態(tài)向量維數(shù)n為8，xk可表示為

f(xk-1)的映射關(guān)系可用以下公式表示：

式中：Δt為時(shí)間步長，單位為s；ρwater為海水密度，單位為kg?m-3；QAir為充入壓縮氣體的質(zhì)量流量，單位為kg?s-1；TAir為艙內(nèi)氣體的開爾文溫度，單位為K；RAir為氣體常數(shù)，單位為J?(mol·K)-1；M為空氣摩爾質(zhì)量，單位為kg·mol-1；Ppri為艙內(nèi)初始?xì)鈮海瑔挝粸镻a；Patm為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，單位為Pa；g為重力加速度，單位為m?s-2；fcap(?)為艙容表函數(shù)，由艙室的艙容表決定；H0為外界液位離艙底的距離，單位為m；kwater為海水阻力系數(shù)；S為海底閥的閥門總面積，單位為m2；Nwater為海底閥數(shù)量；r為海底閥閥門半徑，單位為m。

1.2 量測方程

以液位傳感器的測量建立系統(tǒng)的量測方程，即

式中，zk為k時(shí)刻下艙內(nèi)液位傳感器的測量值，H為量測轉(zhuǎn)換矩陣，vk為k時(shí)刻系統(tǒng)的測量噪聲。

vk與wk均為高斯白噪聲且互不相關(guān)，它們的統(tǒng)計(jì)特性為

2 魯棒CKF算法

2.1 CKF算法

CKF 算法的核心思想是通過球面徑向容積準(zhǔn)則進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值積分運(yùn)算，是當(dāng)前最接近貝葉斯濾波的近似算法，主要有時(shí)間更新和量測更新兩個(gè)步驟。假設(shè)已知系統(tǒng)在k-1 時(shí)刻的后驗(yàn)密度函數(shù)為p（xk-1|zk-1）=N（x?k-1|k-1,Pk-1|k-1），CKF算法計(jì)算流程如下：

Step1——時(shí)間更新

對協(xié)方差矩陣Pk-1|k-1進(jìn)行Cholesky分解得到Sk-1|k-1，即

式中，ξj為第j個(gè)容積點(diǎn)，j=1，2，…，2n，n為系統(tǒng)的狀態(tài)向量維數(shù)，In為n維單位矩陣，[?]j表示矩陣[?]的第j列。

通過非線性狀態(tài)函數(shù)對cubature點(diǎn)進(jìn)行外推預(yù)測，有

2.2 Huber-CKF算法

Huber-CKF 算法與標(biāo)準(zhǔn)CKF 算法的區(qū)別主要在于引入了Huber 等價(jià)權(quán)函數(shù)，將濾波增益K中的Rk重構(gòu)為

式中，Ψz=diag[ψ(ei)]為穩(wěn)健因子，ψ(ei)為等價(jià)權(quán)函數(shù)，即

式中，ei為(zk-z?k k-1)(加權(quán)觀測殘差)的第i個(gè)分量，β為閾值。

2.3 魯棒CKF算法

對線性量測方程構(gòu)建線性回歸模型，即

式中，χk=yk-gkxk，為標(biāo)準(zhǔn)化殘差。且函數(shù)ρ(χk)的表達(dá)式為

事實(shí)上，因?yàn)檎嬷祒k不可知，在計(jì)算中用外推預(yù)測值x?k|k-1代替真值，故式（41）中δxk|k-1的值為0。同時(shí)，式（41）中的vk也可以視為觀測殘差，即vk=zk-z?k|k-1。為了與觀測殘差的經(jīng)典表示方法一致，令ek=vk，有

觀察式（42）可知，Φk是一個(gè)基于觀測殘差的無量綱數(shù)。構(gòu)建矩陣Ω為

式中，m為觀測向量維數(shù)。

根據(jù)矩陣Ω對誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，有

由式（42）和式（43）可知，矩陣Ω只對協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正，故G?k也可表示為

式中，λk可視為k時(shí)刻下的一個(gè)自適應(yīng)因子，且λk=θ-1k。

從推導(dǎo)可知，魯棒CKF（R-CKF）算法的本質(zhì)為對觀測向量的誤差協(xié)方差進(jìn)行修正，從而使損失函數(shù)最小，然后得到系統(tǒng)狀態(tài)的最佳估計(jì)。

R-CKF 算法借鑒了Huber等價(jià)權(quán)函數(shù)的思想，但又與之有著明顯區(qū)別：Huber-CKF 算法是對觀測值的每一維度分別進(jìn)行檢測，當(dāng)某一維度含有野值時(shí)，降低這一維度的權(quán)重從而降低野值的影響;而R-CKF算法是根據(jù)觀測殘差的所有維度進(jìn)行綜合評判，然后通過自適應(yīng)因子λk修正Rk。

當(dāng)傳感器測量值中的野值含量較高時(shí)，進(jìn)行故障隔離可以保障算法的穩(wěn)定性和精確性。Huber-CKF 算法觀測值某一維度含有野值時(shí)，無法判斷其對整體的影響程度，沒法進(jìn)行整體的取舍，而RCKF 算法可以使用自適應(yīng)因子λk作為綜合判據(jù)來判斷野值對整體的影響程度，當(dāng)λk大于閾值β2時(shí)，λk→∞，即對這一次的觀測值進(jìn)行隔離。故自適應(yīng)因子λk的表達(dá)式為

對應(yīng)到CKF 算法，R-CKF 算法只在新息協(xié)方差矩陣?yán)锛尤肓俗赃m應(yīng)因子λk，令Rλ,k=λkRk，將式（24）修正為

當(dāng)含有大野值時(shí)，Rλ,k→∞導(dǎo)致Pzz,k|k-1→∞，則有Kk=0，從而對這一次的觀測值進(jìn)行隔離。

3 魯棒容積卡爾曼融合算法

假定有N個(gè)傳感器同步對目標(biāo)進(jìn)行測量，則k時(shí)刻傳感器i的量測方程為

類似地，將式（54）～（55）代入式（49），可得

所以，式（26）濾波增益可重寫為

式（68）～（69）中，Rf,λ,k=λf,kRf,k，且λf,k= diag(λ1,k,λ2,k,???,λN,k)。觀察魯棒因子λ的定義可知，對于融合中心來說，λi,k中觀測殘差減去的項(xiàng)應(yīng)該為融合中心的z?f,k|k-1，但由于融合系統(tǒng)不帶反饋，子系統(tǒng)得不到融合中心的信息，故這里用z?i,k|k-1來近似。

下面將式（68）～（69）進(jìn)行變形使它可以利用各傳感器的局部預(yù)測與局部更新和中心預(yù)測x?k|k-1來表達(dá)。即融合中心不直接使用量測來進(jìn)行全局估計(jì)，而僅僅聯(lián)合局部估計(jì)。將式（66）乘以式（67），有

整理可得

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真條件

本文的研究對象為招商重工（江蘇）有限公司建造的CM-163 半潛式起重拆解平臺。選取半潛式起重拆解平臺的單機(jī)起吊工中0～400 t起吊工況下的CSBT-MP-2艙室為仿真對象。CSBT-MP-2艙室的初始參數(shù)：艙室總?cè)莘e為2249 m3，排出水體積占總艙室容積的6%，艙內(nèi)溫度為293 K，外界液位離艙底的距離為12 m，海底閥閥門數(shù)量為2，半徑為0.495 m，空氣壓縮機(jī)質(zhì)量流量為5.612 kg?s-1，艙內(nèi)初始?xì)鈮簽?01272 Pa，初始艙內(nèi)液位為8.7 m，艙內(nèi)原始水質(zhì)量為1394.38 t，海水密度為1.025×103kg?m-3，海水阻力系數(shù)為4.2。

采用蒙特卡洛方法對Huber-CKF 算法、R-CKF 算法、Huber-CKF 融合算法和MSRCKF 算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中Huber-CKF 算法的閾值β為1.345，R-CKF 算法的閾值β1為0.98，β2為5。為了保證實(shí)驗(yàn)的合理性，各算例的初始條件相同，蒙特卡洛次數(shù)為200次，時(shí)間步長為1 s，液位傳感器的量測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.05 m。在上述條件下，使用2 個(gè)液位傳感器對艙內(nèi)液位進(jìn)行測量，其中1 號傳感器因?yàn)殚g歇性的機(jī)械故障處于半失效狀態(tài)，2號傳感器處于正常工作狀態(tài)。使用各算法的濾波估計(jì)誤差值來評價(jià)其性能。

算例1：在量測過程中，1號傳感器的觀測噪聲污染率為0.2，2號傳感器的觀測噪聲污染率為0，并將被污染觀測的觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)檎Ｖ档?0倍。

算例2：在量測過程中，1號傳感器的觀測噪聲污染率為0.4，2號傳感器的觀測噪聲污染率為0，并將被污染觀測的觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)檎Ｖ档?0倍。

4.2 結(jié)果分析

算例1～2 的液位誤差如圖1～2 所示，表1 給出了算例1 和算例2 下各算法的液位誤差平均值。其中，Huber-CKF-1和Huber-CKF-2分別對應(yīng)于1號傳感器和2號傳感器的Huber-CKF 算法；R-CKF-1和R-CKF-2分別對應(yīng)于1號傳感器和2號傳感器的R-CKF 算法；Huber-CKF 融合對應(yīng)于基于Huber-CKF的融合算法；MSRCKF對應(yīng)于本文提出的多傳感器魯棒容積卡爾曼融合算法。

表1 各算法的平均液位誤差Tab.1 Average level error of algorithms

圖1 算例1液位誤差圖Fig.1 Level error diagram of Example 1

從以上仿真實(shí)驗(yàn)可以看出:

（1）如圖1和圖2所示，在觀測值中含有不同比例的野值的情況下，各算法都能隨著采樣次數(shù)的增加趨于收斂。在圖1 和圖2 中，對于不含野值的2 號傳感器觀測值，Huber-CKF 算法和R-CKF 算法的估計(jì)精度大致一樣；Huber-CKF 算法和R-CKF 算法都設(shè)有閾值，當(dāng)超過閾值時(shí)才會進(jìn)行加權(quán)，在不含野值的情況下，大多不會超過其閾值，故兩者估計(jì)精度大致一樣。在圖1和圖2中，隨著1號傳感器觀測值中野值比例的提高，R-CKF算法較Huber-CKF算法在估計(jì)精度上的優(yōu)勢越來越明顯。

圖2 算例2液位誤差圖Fig.2 Level error diagram of Example 2

（2）如圖1 所示，在1 號傳感器觀測值中野值比例為0.2 時(shí)，Huber-CKF 融合與MSRCKF 這兩種融合算法均能取得比不含野值的2 號傳感器更小的估計(jì)誤差，這是因?yàn)槿诤现行墨@得了比單個(gè)傳感器更多的信息量。如圖2 所示，隨著1 號傳感器觀測值中野值比例的提高，Huber-CKF 融合算法的估計(jì)誤差會增大，其估計(jì)誤差會比2號傳感器的估計(jì)誤差略大，這是因?yàn)槠涫艿降拇罅坎涣紨?shù)據(jù)的影響導(dǎo)致其性能出現(xiàn)退化，而MSRCKF算法由于其自適應(yīng)因子面對大的野值時(shí)會采取數(shù)據(jù)隔離，避免了不良數(shù)據(jù)的影響，從而得到比2號傳感器更小的估計(jì)誤差。

（3）表1 給出了2 個(gè)算例中各算法的所有采樣點(diǎn)的平均估計(jì)誤差。從平均估計(jì)誤差來看，MS?RCKF算法在2個(gè)算例中的平均估計(jì)誤差均是各算法中最小的，其性能更優(yōu)。

（4）如圖1 和圖2 所示，所有算法的誤差曲線在采樣50 次附近均出現(xiàn)了一個(gè)大的波動，這是由于運(yùn)動方程中的狀態(tài)矢量發(fā)生較大改變引起的。此時(shí)，排載過程從第一步的艙內(nèi)建壓變?yōu)榈诙降拇蜷_海底閥吹除艙內(nèi)液體。總體而言，本文所提方法較Huber方法對狀態(tài)跳變更加不敏感。

由于在實(shí)際工程應(yīng)用中，量測噪聲基本不會服從純高斯分布，也難以保證某個(gè)傳感器不因發(fā)生故障而產(chǎn)生觀測野值，故使用2個(gè)或2個(gè)以上的傳感器通過MSRCKF算法可以使系統(tǒng)得到更加穩(wěn)定可靠的估計(jì)值。

5 結(jié) 語

為提高半潛式起重平臺快速壓載艙的液位估計(jì)的可靠性和穩(wěn)定性，本文提出了一種基于多傳感器魯棒容積卡爾曼融合的液位估計(jì)算法MSRCKF。針對故障傳感器測量含有觀測野值的問題，借鑒Huber估計(jì)，構(gòu)造了一個(gè)自適應(yīng)因子來抑制野值的影響，提高了系統(tǒng)的精度和魯棒性，并通過基于擴(kuò)展信息濾波的矩陣變換完成了MSRCKF 算法的推導(dǎo)。MSRCKF 算法是一種分布式融合算法，它對融合中心的通信容量要求低，且工程上易于實(shí)現(xiàn)。仿真實(shí)驗(yàn)證明，MSRCKF 算法在各種算例條件下，均能得到更加穩(wěn)定可靠的液位估計(jì)，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。