石憲閃， 苗鴻賓， 張偉

(中北大學機械工程學院，山西太原 030051)

0 前言

隨著社會的迅猛發(fā)展，工業(yè)生產(chǎn)逐漸走向智能化，機械臂已經(jīng)成為改善生產(chǎn)力結構、提高生產(chǎn)力的有力工具。六自由度機械臂擁有極高的靈活性，能夠完成抓取、搬運、打磨等簡單或復雜的動作。隨著工業(yè)機器人的快速發(fā)展，其應用范圍已經(jīng)擴大到了醫(yī)療衛(wèi)生、航空制造、國防科技、民生服務等領域，是工業(yè)發(fā)展面向智能化未來不可缺少的重要環(huán)節(jié)。軌跡規(guī)劃是機械臂軌跡控制的基礎[1]，而時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃關系到是否滿足企業(yè)生產(chǎn)對時間的限制和要求以及機械臂的作業(yè)效率[2]，所以也是軌跡規(guī)劃問題中最熱門的研究點。針對機械臂軌跡規(guī)劃問題的研究有很多，代瑞恒等[3]通過引入正態(tài)分布概率密度函數(shù)改進量子遺傳算法，對關節(jié)運動軌跡進行最短時間優(yōu)化；ZHAO等[4]提出了一種改進的鯨魚優(yōu)化算法來解決時間抖動最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題，機器人的軌跡由關節(jié)空間的五次B樣條插值構造，代價函數(shù)由時間和平均加加速度構成；普亞松等[5]針對工業(yè)機器人關節(jié)運動規(guī)劃存在的問題，提出一種三次多項式與四次多項式混合規(guī)劃方法，提高機器人的使用性能和壽命。

基于上述內(nèi)容，作者在4-3-4混合多項式插值函數(shù)的基礎上結合改進粒子群算法對六自由度串聯(lián)機械臂進行時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃，通過引入自適應慣性權重和非線性學習因子，解決傳統(tǒng)粒子群算法收斂速度慢、迭代尋優(yōu)差的問題，保證全局搜索和局部探索能力的平衡。通過MATLAB仿真實驗驗證該方法的有效性和優(yōu)越性。

1 機械臂運動學建模

文中所用實驗機械臂為廣州巨輪智能公司生產(chǎn)的JL8-600型串聯(lián)機械臂[見圖1(a)]，該機械臂由6個轉(zhuǎn)動關節(jié)組成，結構精巧，適用于智能制造與自動化生產(chǎn)，因此用于文中實驗十分合適。

完備性、參數(shù)最少化和連續(xù)性是機械臂運動學模型需要保證的條件[6]。因此采用D-H參數(shù)法進行運動學建模，該方法只需要θi(關節(jié)轉(zhuǎn)角)、di(連桿偏移)、ai-1(連桿長度)、αi-1(連桿扭轉(zhuǎn)角)4個運動學參數(shù)就能表征機械臂關節(jié)，各關節(jié)D-H坐標系見圖1(b)，具體D-H參數(shù)如表1所示。

圖1 JL8型機械臂(a)及其D-H坐標系(b)Fig.1 JL8 manipulator (a) and its D-H coordinate system(b)

表1 JL8-600型串聯(lián)機械臂D-H參數(shù)Tab.1 D-H parameter of JL8-600 serial manipulator

2 4-3-4多項式插值函數(shù)的構造

多項式插值的方法能夠確保機械臂在軌跡規(guī)劃中位移、速度、加速度在相關時間內(nèi)連續(xù)可控[7]，利用多項式函數(shù)設置隨時間變化的路徑點，以逐步靠近或內(nèi)插確定開始位置到目標位置之間的路徑[8]。在函數(shù)構造的過程中，低階插值函數(shù)不能保證加速度曲線平滑、連續(xù)，會產(chǎn)生沖擊；高階插值函數(shù)雖能保證平滑、連續(xù)，但是比較難求且凸包性差[9]。因此文中采用4-3-4次混合多項式函數(shù)，其中在第一、三段采用4次多項式插值函數(shù)，第二段采用3次多項式插值函數(shù)。

4-3-4混合多項式插值函數(shù)為

(1)

其中：hi1(t、hi2(t、hi3(t分別為第i個關節(jié)第一、第二、第三時間段的軌跡函數(shù)，i=1，2，3，…，6；ai1j、ai2j、ai3j分別為第i個關節(jié)軌跡第1、2、3段多項式插值的第j個系數(shù)。

根據(jù)混合多項式的約束條件，可以求出多項式中的未知系數(shù)a，根據(jù)約束條件和約束邊界可以列出矩陣A，由矩陣表達式可以看出約束條件和約束邊界只與時間t有關,具體推導過程如式(2)—式(4) 所示：

(2)

(3)

(4)

3 基于改進的粒子群算法的軌跡規(guī)劃

3.1 粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一種模擬鳥類覓食過程中群體活動規(guī)律的全局搜索算法[10]。在PSO中，把待求解問題解區(qū)域視為鳥類搜尋區(qū)域，問題的解就是粒子在搜索區(qū)域中的位置，每個粒子都有獨自的位置和速度，來確定它們的當前位置、飛行方向和距離，并且都通過適應度的變化來不斷尋找最優(yōu)位置。

粒子速度和位置更新公式為

(5)

(6)

式中：w為慣性權重；i為粒子；k為迭代次數(shù)；c1、c2為學習因子；r1、r2為[0,1]中隨機數(shù)；xid為粒子的位置；vid為粒子的速度；pid為粒子個體最優(yōu)位置；pgd為粒子群體最優(yōu)位置。

3.2 改進粒子群算法

傳統(tǒng)粒子群算法由于慣性權重w和學習因子c1、c2等參數(shù)固定，在迭代求解過程中有時候會出現(xiàn)收斂速度慢、陷入局部最優(yōu)陷阱、尋優(yōu)能力弱的問題[11]，造成全局搜索和局部探索能力的失衡，因此文中通過引入自適應慣性權重和非線性學習因子來優(yōu)化改進粒子群算法。

慣性權重是粒子群算法中調(diào)節(jié)全局搜索與局部搜索能力平衡的重要參數(shù)[12]，通過調(diào)整其取值可有效地對搜索區(qū)域的大小進行相應的控制。當權重較大時，算法搜索全局的能力就會得到加強，相反當權重較小時，得到增強的就是算法的局部搜索能力。但由于傳統(tǒng)粒子群算法慣性權重的調(diào)整只是隨迭代次數(shù)的變化單純地減小或遞增,無法及時滿足算法在搜索過程中的變化需求[13]，因此文中提出一種自適應慣性權重，它能根據(jù)搜索過程的各個階段采用相應大小的權重，即在搜索迭代早期，慣性權重較大，有利于保證算法的全局尋優(yōu)效果；搜索迭代后期，慣性權重較小[14]，有利于跳出局部最優(yōu)陷阱，保持粒子群多樣性。

其表達式如下：

w=wmax-(wmax-wmin)[1-e-(2k/Kmax)3]

(7)

式中：wmax、wmin分別為w的最大值和最小值；k、Kmax分別為迭代次數(shù)的當前值和最大值。

傳統(tǒng)粒子群算法的學習因子c1、c2是固定值，這樣會影響到算法的尋優(yōu)速度和求解精度[15]。文中引入非線性學習因子。由式(5)可知：學習因子c1影響粒子“自我認知”能力，應隨著搜索迭代次數(shù)增加而逐漸衰減；學習因子c2影響粒子“社會認知”能力，應隨著搜索迭代次數(shù)增加而逐漸增大。因此改進之后的算法在搜索尋優(yōu)前期c1>c2保證了粒子在初期充滿整個解區(qū)域且不會陷入局部極值,而在搜索迭代的后期c1

具體表達式如下：

(8)

式中：k為當前迭代次數(shù)；Kmax為最大迭代次數(shù)。

3.3 軌跡規(guī)劃目標問題描述

在機械臂時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃中恰當?shù)臅r間間隔是確保規(guī)劃成功的重點[17]，先對機械臂各個關節(jié)進行時間優(yōu)化，挑選插值時間間隔的最大值，以確保機械臂所有關節(jié)都能同步運動起來并達到某一點，當然機械臂同時需要滿足運動學約束，文中旨在提高機械臂工作效率和保證其平穩(wěn)運行的前提下，機械臂所有關節(jié)運動的時間最短。第i個關節(jié)的適應度函數(shù)及運動約束為

(9)

式中：vij為第i個關節(jié)的速度的實際值；vijmax為第i個關節(jié)的速度的最大值。

改進粒子群算法的機械臂規(guī)劃流程如圖2所示。

圖2 改進粒子群算法的機械臂規(guī)劃流程

4 仿真實驗結果與分析

為驗證改進粒子群算法在機械臂軌跡規(guī)劃中的有效性和優(yōu)劣性，文中以JL8-600型串聯(lián)機械臂為實驗對象，在MATLAB中進行仿真實驗，對機械臂在笛卡爾空間中進行軌跡規(guī)劃，確定機械臂末端經(jīng)過的4個路徑節(jié)點，再通過逆運動學將它轉(zhuǎn)換為關節(jié)空間中各關節(jié)對應的角度值如表2所示。

表2 各關節(jié)角度值 單位：rad

在MATLAB中將改進粒子群算法與傳統(tǒng)粒子群算法進行對比仿真驗證，粒子群算法初始參數(shù)設置為：初始粒子種群規(guī)模n為20，慣性權重wmax為0.9，wmin為0.4，學習因子c1、c2的大小在0.02～0.05之間，3個階段時間的初始值大小都是1.5 s，最大迭代次數(shù)Kmax為100。得到目標函數(shù)適應度變化曲線對比如圖3所示。

圖3 適應度曲線變化Fig.3 Comparison of fitness curves change

通過圖3可以看出：改進粒子群算法在第26次迭代之后收斂達到穩(wěn)定，比傳統(tǒng)粒子群算法第48次迭代要提前46%收斂，可知改進粒子群算法在收斂速度上得到了極大的提升，且改進粒子群算法的適應度大小比傳統(tǒng)粒子群算法的要小38%，能夠更快達到全局最優(yōu)，得到更好的尋優(yōu)效果。對比適應度變化規(guī)律能夠證明改進的粒子群算法勝于原始算法。

結合4-3-4混合多項式插值函數(shù)，改進后的粒子群算法對機械臂進行以時間為目標的最優(yōu)軌跡規(guī)劃，以JL8-600型串聯(lián)機械臂的關節(jié)1為例，得到關節(jié)1在3段插值時間的迭代變化過程如圖4所示。對其余5個關節(jié)采取相同方法規(guī)劃，得到所有關節(jié)在各個階段的最優(yōu)運行時間如表3所示。同時也可得到經(jīng)過優(yōu)化后的各關節(jié)角位移、角速度以及角加速度的變化曲線分別如圖5—圖7所示。

圖4 關節(jié)1最優(yōu)粒子位置迭代Fig.4 Position iterative with optimal particle of joint 1

表3 各關節(jié)最優(yōu)運行時間 單位：s

圖5 各關節(jié)角位移變化曲線Fig.5 Angular displacement curves of each joint

圖6 各關節(jié)角速度變化曲線Fig.6 Curves of angular velocity of each joint

圖7 各關節(jié)角加速度變化曲線Fig.7 Curves of angular acceleration of each joint

為了保證機械臂關節(jié)平穩(wěn)的運行，各關節(jié)的運動應保持時間同步，可取表3中關節(jié)最優(yōu)運行時間的最大值，這3個階段時間分別為 0.934 0、1.092 3、0.843 4 s，相加起來總時間為2.869 7 s，與優(yōu)化前初始值相比減少了1.630 3 s，時間上縮短大約36%，證明改進粒子群算法對提升機械臂的工作效率，優(yōu)化工作時間是有效的。

由圖5—圖7可以發(fā)現(xiàn)：機械臂各關節(jié)的角位移、角速度和角加速度變化曲線平滑無突變，并且整個變化過程保持在一個比較理想的連續(xù)性的區(qū)間之內(nèi)，有效地證明了該軌跡規(guī)劃算法在保證機械臂正常平穩(wěn)運行的同時縮短了機械臂末端的運行時間，進一步驗證了其對機械臂進行時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的可靠性。

5 結論

文中以六自由度串聯(lián)機械臂為研究對象，在4-3-4混合多項式插值函數(shù)的基礎上，結合改進粒子群算法進行時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃，通過仿真實驗得到以下結論：

(1)采用4-3-4混合多項式插值函數(shù)，有效地解決了在函數(shù)構造過程中低階插值函數(shù)曲線不平滑、高階插值函數(shù)比較難求且凸包性差的問題。

(2)通過引入自適應慣性權重和非線性學習因子，避免了傳統(tǒng)粒子群算法收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)陷阱的問題，保證了全局開發(fā)和局部開采能力的平衡。

(3)以縮短軌跡規(guī)劃時間為預期目標，實驗結果證明軌跡規(guī)劃時間縮短了36%，且整個變化過程保持在一個比較理想的連續(xù)性的區(qū)間之內(nèi)，驗證了該軌跡規(guī)劃算法對機械臂進行時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的可靠性。